高中数学人教a版选修1-1章末综合测评2word版含解析 14页

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．抛物线 y＝－1 8x2 的准线方程是( ) A．x＝ 1 32 B．y＝2 C．y＝ 1 32 D．y＝－2 【解析】 将 y＝－1 8x2 化为标准形式为 x2＝－8y，故准线方程为 y＝2. 【答案】 B 2．(2015·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为 y＝±2x 的是 ( ) A．x2－y2 4 ＝1 B.x2 4 －y2＝1 C．x2－y2 2 ＝1 D.x2 2 －y2＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为 y＝±2x，可得y 2 ＝±x，所以双 曲线的标准方程可以为 x2－y2 4 ＝1 或y2 4 －x2＝1，舍去 . 法二 A 中的渐近线方程为 y＝±2x；B 中的渐近线方程为 y＝ ±1 2x；C 中的渐近线方程为 y＝± 2x；D 中的渐近线方程为 y＝± 2 2 x. 故选 A. 【答案】 A 3．(2015·湖南高考)若双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的一条渐近线经过点(3， －4)，则此双曲线的离心率为( ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝4 3 ， ∴b2 a2＝16 9 . 又 b2＝c2－a2，∴c2－a2 a2 ＝16 9 ， 即 e2－1＝16 9 ，∴e2＝25 9 ，∴e＝5 3. 【答案】 D 4．抛物线 y2＝1 4x 关于直线 x－y＝0 对称的抛物线的焦点坐标是 ( ) 【导学号：26160065】 A．(1,0) B. 0， 1 16 C．(0,1) D. 1 16 ，0 【解析】 ∵y2＝1 4x 的焦点坐标为 1 16 ，0 ， ∴关于直线 y＝x 对称后抛物线的焦点为 0， 1 16 . 【答案】 B 5．设 F1，F2 是双曲线x2 3 －y2＝1 的两个焦点，P 在双曲线上，当 △F1PF2 的面积为 2 时，PF1 → ·PF2 → 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】 设 P(x0，y0)，又 F1(－2,0)，F2(2,0)， ∴PF1 → ＝(－2－x0，－y0)，PF2 → ＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4. S△PF1F2＝1 2|F1F2|·|y0|＝2， ∴|y0|＝1.又x20 3 －y20＝1， ∴x20＝3(y20＋1)＝6，∴PF1 → ·PF2 → ＝x20＋y20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】 B 6．(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2 ＝2px(p＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( ) A．2 3p B．4 3p C．6 3p D．8 3p 【解析】 设 A、B 在 y2＝2px 上，另一个顶点为 O，则 A、B 关 于 x 轴 对 称 ， 则 ∠ AOx ＝ 30° ， 则 OA 的 方 程 为 y ＝ 3 3 x. 由 y＝ 3 3 x， y2＝2px， 得 y＝2 3p，∴△AOB 的边长为 4 3p. 【答案】 B 7．已知|A B→|＝3，A，B 分别在 y 轴和 x 轴上运动，O 为原点， O P→＝1 3O A→＋2 3O B→，则动点 P 的轨迹方程是( ) A.x2 4 ＋y2＝1 B．x2＋y2 4 ＝1 C.x2 9 ＋y2＝1 D．x2＋y2 9 ＝1 【解析】 设 P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝1 3(0， y0)＋2 3(x0,0)，即 x＝2 3x0，y＝1 3y0，所以 x0＝3 2x，y0＝3y.因为|A B→|＝3， 所以 x20＋y20＝9，即 3 2x 2＋(3y)2＝9，化简整理得动点 P 的轨迹方程是 x2 4 ＋y2＝1. 【答案】 A 8．AB 为过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的中心的弦 F1 为一个焦点， 则△ABF1 的最大面积是(c 为半焦距)( ) A．ac B．ab C．bc D．b2 【解析】 △ABF1 的面积为 c·|yA|，因此当|yA|最大， 即|yA|＝b 时，面积最大．故选 C. 【答案】 C 9．若 F1，F2 是椭圆x2 9 ＋y2 7 ＝1 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且 ∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 的面积为( ) A．7 B.7 2 C.7 4 D.7 5 2 【解析】 |F1F2|＝2 2，|AF1|＋|AF2|＝6， 则|AF2|＝6－|AF1|， |AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45° ＝|AF1|2－4|AF1|＋8， 即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8， 解得|AF1|＝7 2 ， 所以 S＝1 2 ×7 2 ×2 2× 2 2 ＝7 2. 【答案】 B 10．(2015·重庆高考)设双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的右焦点是 F， 左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B，C 两点．若 A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A．±1 2 B．± 2 2 C．±1 D．± 2 【解析】 由题设易知 A1(－a,0)，A2(a,0)，B c，b2 a ，C c，－b2 a . ∵A1B⊥A2C， ∴ b2 a c＋a · －b2 a c－a ＝－1，整理得 a＝b. ∵渐近线方程为 y＝±b ax，即 y＝±x， ∴渐近线的斜率为±1. 【答案】 C 11．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点， O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积是( ) A．3 2 B．2 2 C. 2 D.3 2 2 【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0)， 又|AF|＝3，由抛物线定义知：点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3， ∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知点 A 的纵坐标 y＝2 2， ∴A(2,2 2)， ∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)． 联立直线与抛物线的方程 y＝2 2x－1， y2＝4x， 解之得 x＝1 2 ， y＝－ 2 或 x＝2， y＝2 2. 由图知 B 1 2 ，－ 2 ， ∴S△AOB＝1 2|OF|·|yA－yB|＝1 2 ×1×|2 2＋ 2|＝3 2 2. 【答案】 D 12．已知椭圆 C1：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与双曲线 C2：x2－y2 4 ＝1 有公共的焦点，C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A， B 两点．若 C1 恰好将线段 AB 三等分，则( ) A．a2＝13 2 B．a2＝13 C．b2＝1 2 D．b2＝2 【解析】 由题意，知 a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2 ＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为 y＝2x，联立方程消去 y， 得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长 d＝ 5×2 a4－5a2 5a2－5 ＝2 3a，解得 a2＝11 2 ，b2＝1 2 ，故选 C. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填 在题中的横线上) 13．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线 x2－y2 b2＝1(b>0)的一个焦 点，则 b＝________. 【解析】 由题意得，双曲线焦点在 x 轴上，且 c＝2.根据双曲 线的标准方程，可知 a2＝1.又 c2＝a2＋b2，所以 b2＝3.又 b>0，所以 b ＝ 3. 【答案】 3 14．设 F1，F2 为曲线 C1：x2 6 ＋y2 2 ＝1 的焦点，P 是曲线 C2：x2 3 － y2＝1 与 C1 的一个交点，则△PF1F2 的面积为________． 【解析】 由题意知|F1F2|＝2 6－2＝4，设 P 点坐标为(x，y)． 由 x2 6 ＋y2 2 ＝1， x2 3 －y2＝1， 得 x＝±3 2 2 ， y＝± 2 2 . 则 S△PF1F2＝1 2|F1F2|·|y|＝1 2 ×4× 2 2 ＝ 2. 【答案】 2 15.如图 1，已知抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 的右焦点 F，且两条曲线的交点连线也经过焦点 F，则该椭圆的离心 率为________． 图 1 【解析】 由条件知，c＝p 2 ， ∴其中一个交点坐标为(c,2c)， ∴c2 a2＋4c2 b2 ＝1，∴e4－6e2＋1＝0， 解得 e2＝3±2 2，∴e＝±( 2±1)． 又 00)． 点 P(3,4)在椭圆上，则16 a2＋ 9 a2－25 ＝1，得 a2＝40， 双 曲 线 过 点 P(3,4) 的 渐 近 线 方 程 为 y ＝ b 25－b2 x ， 即 4 ＝ b 25－b2 ×3，得 b2＝16. 所以椭圆方程为y2 40 ＋x2 15 ＝1，双曲线方程为y2 16 －x2 9 ＝1. 18．(本小题满分 12 分)(2016·厦门高二检测)已知直线 l：y＝x＋ m 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点， (1)若|AB|＝10，求 m 的值； (2)若 OA⊥OB，求 m 的值． 【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1) y＝x＋m， y2＝8x ⇒x2＋(2m－8)x＋m2＝0 ⇒ Δ＝2m－82－4m2＞0， x1＋x2＝8－2m， x1x2＝m2. |AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝10， 得 m＝ 7 16 ，∵m＜2，∴m＝ 7 16. (2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0， 2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0， 2m2＋m(8－2m)＋m2＝0， m2＋8m＝0，m＝0 或 m＝－8. 经检验 m＝－8. 19．(本小题满分 12 分)已知双曲线过点 P(－3 2，4)，它的渐近 线方程为 y＝±4 3x. (1)求双曲线的标准方程； (2)设 F1 和 F2 为该双曲线的左、右焦点，点 P 在此双曲线上，且 |PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2 的余弦值． 【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横 坐标为－3 2的点 P′的纵坐标的绝对值为 4 2. ∵4 2>4，∴双曲线的焦点在 x 轴上，设方程为x2 a2－y2 b2＝1. ∵双曲线过点 P(－3 2，4)， ∴18 a2－16 b2＝1.① 又b a ＝4 3 ，② 由①②，得 a2＝9，b2＝16， ∴所求的双曲线方程为x2 9 －y2 16 ＝1. (2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2， 则 d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d1－d2|＝2a＝6. 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝d21＋d22－|F1F2|2 2d1d2 ＝d1－d22＋2d1d2－|F1F2|2 2d1d2 ＝ 9 41. 20．(本小题满分 12 分)(2015·安徽高考)设椭圆 E 的方程为x2 a2＋y2 b2 ＝1(a>b>0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a,0)，点 B 的坐标为(0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线 OM 的斜率为 5 10. (1)求 E 的离心率 e； (2)设点 C 的坐标为(0，－b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MN ⊥AB. 【导学号：26160066】 【解】 (1)由题设条件知，点 M 的坐标为 2 3a，1 3b ， 又 kOM＝ 5 10 ，从而 b 2a ＝ 5 10. 进而 a＝ 5b，c＝ a2－b2＝2b，故 e＝c a ＝2 5 5 . (2)证明：由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为 a 2 ，－b 2 ，可得NM→ ＝ a 6 ，5b 6 . 又AB→＝(－a，b)， 从而有AB→·NM→ ＝－1 6a2＋5 6b2＝1 6(5b2－a2)． 由(1)的计算结果可知 a2＝5b2， 所以AB→·NM→ ＝0，故 MN⊥AB. 21．(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左焦 点 F 及点 A(0，b)，原点 O 到直线 FA 的距离为 2 2 b. (1)求椭圆 C 的离心率 e； (2)若点 F 关于直线 l：2x＋y＝0 的对称点 P 在圆 O：x2＋y2＝4 上，求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标． 【解】 (1)由点 F(－ae,0)，点 A(0，b)，及 b＝ 1－e2a，得直线 FA 的方程为 x －ae ＋ y 1－e2a ＝1，即 1－e2x－ey＋ae 1－e2＝0. 因为原点 O 到直线 FA 的距离为 2 2 b＝ae 1－e2， 所以 2 2 1－e2·a＝ae 1－e2， 解得 e＝ 2 2 . (2)设椭圆 C 的左焦点 F － 2 2 a，0 关于直线 l：2x＋y＝0 的对称 点为 P(x0，y0)，则有 y0 x0＋ 2 2 a ＝1 2 ， 2· x0－ 2 2 a 2 ＋y0 2 ＝0， 解得 x0＝3 2 10 a，y0＝2 2 5 a. 因为 P 在圆 x2＋y2＝4 上，所以 3 2 10 a 2＋ 2 2 5 a 2＝4. 所以 a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4. 故椭圆 C 的方程为x2 8 ＋y2 4 ＝1， 点 P 的坐标为 6 5 ，8 5 . 22．(本小题满分 12 分)(2016·郑州高二检测)已知经过点 A(－4,0) 的动直线 l 与抛物线 G：x2＝2py(p>0)相交于 B，C，当直线 l 的斜率 是1 2 时，A C→＝1 4A B→. (1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范 围． 【解】 (1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知，当 kl＝1 2 时，l 的方 程为 y＝1 2(x＋4)，即 x＝2y－4. 由 x2＝2py， x＝2y－4， 得 2y2－(8＋p)y＋8＝0， 所以 y1y2＝4， y1＋y2＝8＋p 2 ， 又因为 A C→＝1 4A B→， 所以 y2＝1 4y1 或 y1＝4y2. 由 p>0 得：y1＝4，y2＝1，p＝2，即抛物线方程为 x2＝4y. (2)设 l：y＝k(x＋4)，BC 中点坐标为(x0，y0)， 由 x2＝4y， y＝kx＋4， 得 x2－4kx－16k＝0.① 所以 x0＝x1＋x2 2 ＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. 所以 BC 的中垂线方程为 y－2k2－4k＝－1 k(x－2k)， 所以 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2， 对于方程①由Δ＝16k2＋64k>0 得 k>0 或 k<－4.所以 b∈(2，＋ ∞)．