人教版高中数学必修二检测：第一章空间几何体课后提升作业五1-3-1含解析 9页

课后提升作业 五 柱体、锥体、台体的表面积与体积 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表 面积为 ( ) A. B.π+ C. + D. + 【解析】选 C.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为 1，高 为 ，所以表面积 S=×2× +×π×12+×π×1×2= + . 2.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D.1 【解析】选 A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧 视图得高 h=1,底面积 S=×1×1=,所以体积 V=Sh=. 3.(2016·太原高一检测)如图，正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4， 动点 E，F 在棱 AB 上，且 EF=2，动点 Q 在棱 D′C′上，则三棱锥 A′-EFQ 的体积 ( ) .Com] A.与点 E，F 的位置有关 B.与点 Q 的位置有关 C.与点 E，F，Q 的位置都有关 D.与点 E，F，Q 的位置均无关，是定值 【解析】选 D.VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值， 与点 E，F，Q 的位置均无关. 4.(2016·邯郸高二检测)已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积是 ( ) A.16 B.24 C.32 D.48 【解析】选 D.由三视图知，该几何体是一个四棱锥 E-ABCD， 底面 ABCD 是一个直角梯形，各边长如图所示，BC⊥AB，EB⊥ 底面 ABCD，AB=6，所以由棱锥的体积公式得，V=××(6+2) ×6×6=48. 5.(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图 所示.则该几何体的体积为 ( ) A.+π B.+ π C.+ π D.1+ π 【解析】选 C.由三视图可知,半球的半径为 ,四棱锥底面正方形边长为 1,高为 1,所以该组合体的体积=π· ×+×1×1×1=+ π. 6.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 ( ) A.8-π B.8-π C.8-2π D.π 【解析】选 A.这个几何体是一个棱长为 2 的正方体中挖去一个圆锥，这 个圆锥的高为 2，底面半径为 1，故这个几何体体积为 23-π×12×2=8- π. 【延伸探究】本题条件不变，求该几何体的表面积. 【解析】这个几何体是一个棱长为 2 的正方体中挖去一个圆锥，这个圆 锥的高为 2，底面半径为 1，可求得圆锥的母线 l= = .所以该 几何体的表面积为 S 表=5×22+22-π×12+π×1× =24-π+ π=24+( -1)π. 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A.180 B.200 C.220 D.240 【解析】选 D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.底面积 为 2××(8+2)×4=40，由三视图知，梯形的腰为 =5，梯形的 周长为 8+2+5+5=20，所以四棱柱的侧面积为 20×10=200，表面积为 240. 8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ( ) A.10+ B.10+ C.6+2 + D.6+ + 【解析】选 C.由三视图知四边形 ABCD 为直角梯形，其面积为 S1= =3.三角形 PAB 为直角三角形，其面积为 S2=×2× 1=1. 三角形 PAD 面积为 S3=×2×2=2，PD=2 ， 三角形 PDC 面积为 S4=×2×2 =2 . 又 PB=BC= ，PC=2 ，作 BE⊥PC 于 E， 则 BE= = = ， 所以三角形 PBC 的面积为 S5=×2 × = ， 故表面积为 S=S1+S2+S3+S4+S5=6+2 + . 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.(2016·宁波高二检测)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去 一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为 ________，三棱锥 D-BCE 的体积为________. 【解析】根据题意分析可知，正视图为两条直角边分别是 2，4 的直角 三角形，所以 S=×2×4=4， VD-BCE=VB-DCE=××4×2×2=. 答案：4 10.(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几 何体的体积为________m3. 【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，两端是底面半径为 1，高为 1 的圆锥，所以该几何体的体积 V=12 ×π×2+2××12×π×1=π(m3). 答案：π 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 11.(2016·郑州高二检测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， (1)求此几何体的表面积. (2)求此几何体的体积. 【解析】(1)由题意知，该几何体是一个组合体，上边是长方体，长为 4cm，宽为 4cm，高为 2cm，下边是一个四棱台，上底边长为 4cm，下底 边长为 8cm，高是 3cm，四棱台的斜高为 = ，则该几何体 的 表 面 积 S=4 × 4+4 × 2 × 4+8 × 8+(4+8) × ÷ 2 × 4=(112+24 )cm2. (2)该几何体的体积 V=4×4×2+(42+82+4×8)×3=144(cm3). 12.如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥D′ -A′DC，求棱锥 D′-A′DC 的体积与剩余部分的体积之比. 【解析】设 AB=a，AD=b，DD′=c， 则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc，因为V 三棱锥D′-A′DC=V 三棱锥C-A′DD′， 又 S△A′DD′=bc，且三棱锥 C-A′DD′的高为 CD=a. 所以 V 三棱锥 C-A′DD′=S△A′DD′·CD=abc. 则剩余部分几何体的体积 V 剩=abc-abc=abc. 故 V 三棱锥 D′-A′DC∶V 剩=abc∶abc=1∶5. 【一题多解】已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱 ADD′A′ - BCC′B′，设它的底面 ADD′A′面积为 S，高为 h，则它的体积为 V=Sh. 因为 V 三棱锥 D′-A′DC=V 三棱锥 C-A′DD′， 而棱锥 C-A′DD′的底面面积为 S，高为 h， 因此棱锥 C-A′DD′的体积 VC-A′DD′=×Sh=Sh.余下的体积是 Sh-Sh=Sh. 所以棱锥 C-A′DD′，即棱锥 D′-A′DC 的体积与剩余部分的体积之比 为 Sh∶Sh=1∶5. 【能力挑战题】 如图，正三棱锥 O-ABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的体积及 表面积. 【解析】由已知条件可知，正三棱锥 O-ABC 的底面△ABC 是边长为 2 的 正三角形， 经计算得底面△ABC 的面积为 . 所以该三棱锥的体积为× ×1= . 设 O′是正三角形 ABC 的中心. 由正三棱锥的性质可知，OO′⊥平面 ABC. 延长 AO′交 BC 于 D，连接 OD，得 AD= ，O′D= . 又因为 OO′=1，所以正三棱锥的斜高 OD= . 故侧面积为 3××2× =2 . 所以该三棱锥的表面积为 +2 =3 ， 因此，所求三棱锥的体积为 ，表面积为 3 .