（新高考）2021届高三入学调研试卷 数学（一） Word版含解析 14页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎（新高考）2021届高三入学调研试卷 数 学（一）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎4．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为的样本，那么应抽出男运动员的人数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知单位向量，分別与平面直角坐标系，轴的正方向同向，且向量，，则平面四边形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A． B．‎ C．是奇函数 D．是偶函数 ‎11．已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，下列说法中不正确的是（ ）‎ A．，在点处有相同的切线 B．对于任意，恒成立 C．，的图象有且只有一个交点 D．，的图象有且只有两个交点 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．椭圆的两个焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，则的值为 ．‎ ‎14．已知等比数列的首项为，且，则 ．‎ ‎15．已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，则 ，的系数为 ．‎ ‎16．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，是线段上的点，且，若、分别为线段、上的动点，则的最小值为__________．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为，且，求三角形的周长．‎ ‎18．（12分）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，公比为的等比数列中，，，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式，；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎19．（12分）为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩分以上的学生也越来越多．用表示月后体育成绩分以上的学生的百分比，得到了如下数据．‎ ‎（1）求出关于的回归直线方程；‎ ‎（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测个月后，体育成绩分以上的学生的百分比是多少?‎ 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是其中，‎ ‎，．‎ ‎20．（12分）在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）假设在线段上存在一点，使，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若任意的，恒成立，请求出的取值范围．‎ ‎22．（12分）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．‎ ‎（1）求直线与轴的交点坐标；‎ ‎（2）若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与三角形的边，分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由．‎ ‎（新高考）2021届高三入学调研试卷 数 学（一）答 案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】，，∴．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】，．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】第一步，将名老师分成三组，其中一组人，其他两组每组人，不同的分法种数是种，‎ 第二步，分到三个班的不同分法有种，‎ 故不同的分配方案为种．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】设抽取的男运动员的人数为，则抽取的女运动员的人数为，‎ ‎∴，解得．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，‎ 则以内的素数的个数为．‎ - 14 -‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】如图，取，，的中点，分别为，，，连结，，，‎ 则，，所以或其补角即为所求的角．‎ 因为平面平面，，所以平面，所以，‎ 设正方形边长为，，所以，则，‎ 所以，所以是等边三角形，．‎ 所以直线与所成的角为．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】，∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面四边形的面积．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】由已知，即，∴关于中心对称，‎ 又当时，，作出函数的图象如图所示，‎ - 14 -‎ 由图可知的解集为．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．【答案】AC ‎【解析】因为，故，整理得到，解得或．‎ ‎10．【答案】ABD ‎【解析】由图可得，所以A、B正确；‎ ‎，故C错；‎ 为偶函数，所以D正确．‎ ‎11．【答案】AC ‎【解析】∵函数为增函数，∴，即，可得，‎ ‎∴A、C正确．‎ ‎12．【答案】ABC ‎【解析】因为，，，，‎ 所以，在点处的切线不同，选项A不正确；‎ ‎，‎ - 14 -‎ ‎，‎ 因为，；，；‎ ‎，，‎ 所以时，有最小值，所以当时，不恒成立，选项B不正确；‎ 由上可知，函数在上有且只有两个零点，所以，的图象有且只有两个交点．‎ 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，解得，‎ 故答案为．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，则，所以，‎ ‎．‎ ‎15．【答案】，‎ ‎【解析】二项展开式的第项的通项公式为，‎ 由展开式中第项与第项的二项式系数之比是，可得，解得，‎ 所以，‎ - 14 -‎ 令，解得，‎ 所以的系数为．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】首先的最小值就是到的距离．‎ 连接交于，连接，则平面，故，‎ 从而的最小值，可知为的中点，为的四分之一．‎ 其次，连接，在线段上取点，使，连接，则，‎ 从而，‎ 最后，连接交于，则当为时，取得最小值，所求最小值为，‎ ‎∵正方体的棱长为，∴．‎ 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴在中，．‎ - 14 -‎ ‎（2）∵的面积为，即，∴，‎ 又∵，由正弦定理得，‎ ‎∴，，‎ 则，∴，‎ ‎∴的周长为．‎ ‎18．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可得：等差数列，，；‎ 因为等比数列中，，，，，‎ 所以，，，∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由表格数据可得，，‎ ‎，，‎ 故关于的回归直线方程为．‎ - 14 -‎ ‎（2）由（1）知，‎ 令，解得．‎ ‎20．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）因为平面，平面，所以，‎ 又，，所以平面，则，‎ 又，为等腰直角三角形，为的中点，所以，‎ 又，所以平面，‎ 因平面，则有平面平面．‎ ‎（2）分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 那么，，，，因此，，设，那么，‎ 由，得，解得，‎ 因此，因此．‎ ‎（3）由（2）知，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，即，‎ 令，得，，因此，‎ 设直线与平面所成角为，那么．‎ - 14 -‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，，，‎ 所以切线方程为．‎ ‎（2）不等式，对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立．‎ 令，则，令，则，‎ 易知在上单调递增，‎ 因为，，‎ 所以存在唯一的，使得，即，则．‎ 当时，单调递减，当时，单调递增．‎ 则在处取得最小值，‎ 且最小值为，‎ 所以，即在上单调递增，‎ - 14 -‎ 所以．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）是定值，．‎ ‎【解析】（1），，设，，‎ 过点的切线方程为，过点的切线方程为，‎ 联立这两个方程可得，，‎ 又，故直线的方程为，‎ 化简得，令，，‎ 又，∴，∴直线过点．‎ ‎（2）由（1）得，同理可得，，，，‎ ‎∴，同理，∴，‎ 设，记，则，‎ 同理，，，，‎ - 14 -‎ 于是，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ - 14 -‎