数学北师大版（2019）必修第二册：单元素养评价 第一章 三角函数 学案与作业 13页

单元素养评价(一)(第一章) (120 分钟 150 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 40 分) 1.cos = ( ) A. B.- C.- D. 【解析】选 D.cos =cos = . 2.(2020·西安高一检测)已知角α的终边经过点 ,则 sin α+ = ( ) A.- B. C. D. 【解析】选 D.因为角α的终边经过点 , 所以 r= =5,则 sin α=- ,cos α= ,即 sin α+ = . 3.点 A 位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选 C.因为 2 019°=5×360°+219°,所以 2 019°为第三象限 角,则 sin 2 019°<0,cos 2 019°<0, 所以点 A 位于第三象限. 4.为了得到函数 y=sin 的图象,可以将函数 y=sin 2x 的图象 ( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 【解析】选 D.因为 y=sin =sin 2 , 所以将函数 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位,便可得到函数 y=sin 的图象. 5.(2020·浙江高考)函数 y=xcos x+sin x 在区间[-π,π]的图象大致 为 ( ) 【解析】选 A.因为-xcos (-x)+sin (-x)=-xcos x-sin x,故 y=xcos x+sin x 为奇函数,排除 C,D 选项,当 x=π时,y=-π,故选 A. 【补偿训练】 已知函数 f =sin (x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将 f 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,则 φ的一个值是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.由函数的最小正周期公式可得:ω= = =2,则函数的解 析式为 f =sin ,将 f 的图象向右平移φ个单位长度后 所得的函数解析式为: g =sin =sin , 函数图象关于 y 轴对称,则函数 g 为偶函数,即当 x=0 时: 2x-2φ+ =-2φ+ =kπ+ , 则φ=- - ,① 令 k=-1 可得φ= , 其余选项明显不适合①式. 6.(2020·宁波高一检测)已知 cos = ,且-π<α<- ,则 cos 等于 ( ) A. B. C.- D.- 【解析】选 D.依题意 cos =sin =sin = ,由于-π<α<- , 所以 < -α< ,故 cos =- =- . 7.已知 tan θ=3,则 等于 ( ) A.- B. C.0 D. 【解析】选 B.因为 tan θ=3, 所以 = = = = . 8.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则 ( ) A.acos >cos >0, 即 0tan =1,即 b0 D.f > 【解析】选 AC.f(x)=tan x 的周期为π,故 A 正确;函数 f(x)=tan x 为 奇函数,故 B 不正确; C 表明函数为增函数,而 f(x)=tan x 为区间 上的增函数,故 C 正确; 由函数 f(x)=tan x 的图象可知, 函数在区间 上有 f > ,在区间 上有 f < ,故 D 不正确. 11.关于函数 f =cos x+ 有下述四个结论,其中正确的是 ( ) A.f 是偶函数 B.f 在区间 上递减 C.f 为周期函数 D.f 的值域为 【解析】选 AC.因为 f =cos + =cos x+ =f , 所以 f 为偶函数,A 正确; 当 x∈ 时,f =cos x-cos x=0,不满足单调递减定义,B 错误; 当 x∈ ,k∈Z 时,f =2cos x; 当 x∈ ,k∈Z 时,f =0, 所 以 f 是 以 2 π 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 ,C 正 确 ; 当 x ∈ ,k∈Z 时,f ∈ , 当 x∈ ,k∈Z 时,f =0, 故 f 的值域为 ,D 错误. 12.已知函数 f =Asin (其中 A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点 M 成中心对称,且与点 M 相邻的一个最低点为 N ,则下 列判断正确的是 ( ) A.函数 f =Asin 中 T=π,ω=2 B.直线 x= 是函数 f 图象的一条对称轴 C.点 是函数 f 的一个对称中心 D.函数 y=1 与 y=f 的图象的所有交点的横坐标之和 为 7π 【解析】选 ACD.因为函数 f(x)的图象关于 M 成中心对称,且最 低点为 N ,所以 A=3,T=4× =π,ω= = =2, 所 以 f =3sin , 将 N 代 入 得 φ = , 所 以 f =3sin ,由此可得 B 错误,C 正确,D 当- ≤x≤ 时,0≤ 2x+ ≤ 6 π , 所 以 与 y=1 有 6 个 交 点 , 设 各 个 交 点 坐 标 依 次 为 x1,x2,x3,x4,x5,x6, 则 x1+x2+x3+x4+x5+x6=7π. 三、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.(2020· 亳 州 高 一 检 测 )y=cos 在 上 的 值 域 为 . 【解析】因为 0≤x≤ π,所以- ≤x- ≤ , 所以 ≤cos ≤1,即 ≤y≤1. 答案: 14.已知一扇形的弧所对的圆心角为 54°,半径 r=20 cm,则扇形的周长 为 cm. 【解析】因为圆心角α=54°= , 所以 l=|α|·r=6π,所以周长为(6π+40)cm. 答案:(6π+40) 15.已知函数 f(x)=sin ,x∈ ,则函数 f(x)的单调递增区 间为 . 【解析】令- +2kπ≤3x- ≤ +2kπ , 解得- +2kπ≤3x≤ +2kπ ,故- + ≤x≤ + ,令 k=1,解得 ≤x≤ , 故函数的单调递增区间为 . 答案: 16.tan ≥ 的解集为 . 【解析】由题得 kπ+ ≤2x+ 0,ω>0, <π)的一段图 象如图所示. (1)求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈ ,求函数 f(x)的值域. 【解析】(1)由题图可得 f(x)=2sin , 由- +2kπ≤2x+ π≤ +2kπ,k∈Z, 得- +kπ≤x≤- +kπ,k∈Z, 所以函数 f 的单调增区间为 ,k∈Z. (2)因为 x∈ ,所以 2x+ π∈ 所以当 x= 时,f =- , 当 x=- 时,f =2, 所以函数 f 的值域为[- ,2]. 20.(12 分)(2020·潍坊高一检测)方程 cos x= 在 x∈ 上有两 个不同的实数根,求实数 a 的取值范围. 【解析】作出 y=cos x,x∈ 与 y= 的大致图象,如图所示. 由图象可知,当 ≤ <1,即-10) 的最小正周期为π. (1)求 f(x)的单调增区间和对称轴; (2)若 x∈ ,求 f(x)的最大值和最小值. 【解析】(1)由题意知 T=π= ,解得ω=2, 所以 f(x)=2cos , 令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z), 解得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z), 所以 f(x)的单调增区间为 (k∈Z), 令 2x+ =kπ(k∈Z),解得 x=- + ,k∈Z, 所以 f(x)的对称轴为 x=- + (k∈Z); (2)由(1)知函数 f(x)=2cos 在 上单调递增,在 上单调递减, 因为 f =2cos = , f =2cos 0=2,f =2cos =- , 所以当 x∈ 时,f =2,f =- . 22.(12 分)已知函数 f(x)=-sin2x+asin x+1. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的值域; (2)若当 a>0 时,函数 f(x)的最大值是 3,求实数 a 的值. 【解析】(1)当 a=1 时,f(x)=-sin2x+sin x+1, 令 t=sin x,-1≤t≤1;则 y=-t2+t+1=- + , 当 t= 时,函数 f(x)的最大值是 , 当 t=-1 时,函数 f(x)的最小值是-1, 所以函数 f(x)的值域为 . (2)当 a>0 时,f(x)=-sin2x+asin x+1 =- +1+ , 当 ≥1,即 a≥2 时,当且仅当 sin x=1 时, f(x)max=a,又函数 f(x)的最大值是 3,所以 a=3; 当 0< <1,0