河南省中原名校、大连市、赤峰市部分学校2019届高三年级320联合考试数学试卷理科（解析版） 18页

河南省中原名校、大连市、赤峰市部分学校2019届高三年级320联合考试数学试卷理科 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知集合，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别化简集合A,B,结合集合交集运算性质,计算,即可.‎ ‎【详解】对于A集合,解得,所以,故选A.‎ ‎【点睛】考查了集合交集运算性质,关键化简集合A,B,即可,难度中等.‎ ‎2.若是虚数单位，则　　‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合复数的四则运算,计算z，结合复数模长计算公式，计算，即可。‎ ‎【详解】,化简,得到,因此,故选C.‎ ‎【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等。‎ ‎3.已知定义在R上的函数满足：对任意，，，则　　‎ A. B. 0 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.‎ 考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.‎ ‎【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.‎ ‎4.已知向量，，且，则　　‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，计算参数，即可。‎ ‎【详解】，结合向量垂直判定，建立方程，可得，解得，故选A。‎ ‎【点睛】考查了向量垂直的判定，考查了向量数量积坐标运算，难度中等。‎ ‎5.已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为　　‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意布列关于a,b的方程组，即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意知双曲线的焦点到渐近线的距离为，‎ 所以，该双曲线的离心率为故选.‎ ‎【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎6.在区间上随机取一个数x，则的值介于0到之间的概率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，计算满足条件的x的范围，结合几何概型计算公式，计算，即可。‎ ‎【详解】在区间内满足关系的x的范围为，故概率为 ‎，故选A。‎ ‎【点睛】考查了三角函数的基本性质，考查了几何概型计算公式，关键计算出满足条件的x的范围，计算概率，即可，难度中等。‎ ‎7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是　　‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 展开圆锥侧面,得到扇形,结合扇形面积计算公式,计算,即可.‎ ‎【详解】结合题意可知,该几何体为一个圆锥挖去了一个小圆锥,‎ 大圆锥的表面积为 挖去的圆锥表面积为,‎ 故总体面积为,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】考查了扇形面积计算方法,考查了三视图还原直观图,难度中等.‎ ‎8.九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列，问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为　　‎ A. 1只 B. 只 C. 只 D. 2只 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意设,即,解得.故选C.‎ ‎9.若x，y满足约束条件，则的取值范围为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组得到可行域，结合图像得到最值.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，‎ 作直线，将直线向右平行移动时，过点时直线分别在轴上截距最大与最小，此时 取得最小值与最大值、联立方程组，所以，联立方程组，所以，所以将点坐标代入得，将点坐标代入得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ ‎10.已知点P是直线l：上的动点，过点P引圆C：的两条切线PM，PN，M，N为切点，当的最大值为时，则r的值为　　‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，计算结果，即可。‎ ‎【详解】结合题意，绘制图像，可知 当取到最大值的时候，则也取到最大值，而，当PC取到最小值的时候，‎ 取到最大值，故PC的最小值为点C到该直线的最短距离，故，故，解得，故选D。‎ ‎【点睛】考查了点到直线距离公式，关键找出该角取最大值的时候PC的长度，建立方程，难度偏难。‎ ‎11.已知圆锥的母线长为2r，底面圆半径长为r，圆心为O，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径若点C是底面圆周上一点，且OC与母线PB所成的角等于，则MC与底面所成的角的正弦值为　　‎ A. ‎ B. 或 C. ‎ D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意,构造出MC与底面所成角,然后结合三角值计算公式,即可.‎ ‎【详解】结合题意,过M点作,绘制图形,‎ 结合题意可知,,结合余弦定理可知 ‎,代入,解得 而MQ为三角形APO的中位线,所以,因为PO垂直底面,而MQ平行PO,可知MQ垂直底面,故即为与底面所成角,所以,故选D.‎ ‎【点睛】考查了线面角的找法和计算公式,关键找出线面角,难度中等.‎ ‎12.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，O为坐标原点，A为椭圆上一点，且，直线交y轴于点M，若，则该椭圆的离心率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形相似的原理，结合三角函数的关系，利用椭圆的性质，建立方程，计算离心率，即可。‎ ‎【详解】结合题意，可知 ‎，故，结合，可知 故，设，所以，，‎ 所以，故选D。‎ ‎【点睛】考查了三角函数关系式，考查了椭圆的性质，难度中等。‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.二项式展开式中的常数项为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合二项展开式的通项公式，计算常数项对应的r的值，代入，计算系数，即可。‎ ‎【详解】该二项展开式的通项公式为 ‎，要使得该项为常数项，则要求，解得，所以系数为 ‎【点睛】考查了二项展开式的常数项，关键表示出通项，计算r的值，即可，难度中等。‎ ‎14.若函数在间上是单调函数，则实数a的最大值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的单调减区间，利用子集思想，即可得到结果.‎ ‎【详解】令，即，‎ ‎∴函数图象在区间上单调递减，所以的最大值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的单调性的逆用，考查推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎15.已知等差数列的公差为，前n项和为，且数列也为公差为d的等差数列，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示出，再表示出，整理并观察等式，列方程组即可求解。‎ ‎【详解】等差数列的公差为，前项和为，设其首项为，‎ 则=，‎ 又数列也为公差为的等差数列，首项为，‎ 所以=，即：‎ 整理得：‎ 上式对任意正整数n成立，‎ 则，解得：，‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题。‎ ‎16.已知函数有四个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知是偶函数，根据对称性问题转化为直线与曲线有两个交点.‎ ‎【详解】因为是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，而，则当时，，当时，，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，故 故答案为：‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，．‎ 求b的值；‎ 求的周长的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件及两角和正弦公式可得，再结合正弦定理可得的值;‎ ‎（2）利用余弦定理可得结合均值不等式可得，从而得到结果.‎ ‎【详解】解： ，‎ ‎.‎ ‎，即 由正弦定理得，即，故.‎ 由余弦定理得 ‎，‎ 当且仅当等号成立.‎ 故的周长的最大值为 ‎【点睛】解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.‎ ‎18.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量单位：万只与相应年份序号的数据表和散点图如图所示，根据散点图，发现y与x有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数单位：个关于x的回归方程．‎ 年份序号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 年养殖山羊万只 根据表中的数据和所给统计量，求y关于x的线性回归方程参考统计量：，‎ ‎；‎ 试估计：该县第一年养殖山羊多少万只 ‎ 到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？‎ 附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．‎ ‎【答案】（1）（2）①万只 ②第年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据公式得到a,b,和均值，进而得到方程；（2）第年山羊养殖的只数为将x=1代入表达式结果；②列式得到，解出不等式可得到结果.‎ ‎【详解】设关于的线性回归方程为，‎ ‎.‎ 所以关于的线性回归方程为.‎ 估计第年山羊养殖的只数为 第年山羊养殖的只数为，‎ 故该县第一年养殖山羊约万只.‎ 由题意，得，整理得，‎ 解得或（舍），‎ 所以到第年该县山羊养殖的数量相比第年缩小了.‎ ‎【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.‎ ‎19.如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点将沿CE折起，使点B到达点F的位置，且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为．‎ 求证：平面平面AEF；‎ 求直线DF与平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得故平面，从而得到平面平面 ‎(2) 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系求出及平面的法向量，代入公式可得结果.‎ ‎【详解】证明：在直角梯形中，由平面几何的知识，得四边形为正方形，‎ 则 又平面，平面，所以平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ 解：由得是二面角的平面角，即 .‎ 又，所以为正三角形.‎ 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 则 从而 设平面的一个法向量为，则即 ‎，得 设直线与平面所成角为 则 ‎∴直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【点睛】用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎20.已知抛物线E：的焦点为F，圆C：，点为抛物线上一动点当时，的面积为．‎ 求抛物线E的方程；‎ 若，过点P作圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求面积的最小值，并求出此时点P的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ） （II）的最小值为2，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意可得x02+（y0）2，|1|•|x0|，x02＝2py0，即可解得p＝1；‎ ‎（II）设P（x0，y0），M（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PM的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线PM的距离为1，把x0，y0代入化简整理可得（2y0﹣1）b2﹣2y0b﹣y02＝0，同理可得（2y0﹣1）c2﹣2y0c﹣y02＝0，进而可知b，c为（2y0﹣1）x2﹣2y0x﹣y02＝0的两根，根据求根公式，可求得b﹣c，进而可得△PMN的面积的表达式，根据均值不等式可得 ‎【详解】（Ⅰ）由题意知：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎，‎ 抛物线方程为.‎ ‎(Ⅱ)设过点P且与圆C相切的直线的方程为 令x=0，得 切线与x轴的交点为 而， ‎ 整理得 ‎，‎ 设两切线斜率为，‎ 则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则， ‎ 令，则 ‎，‎ 而 ‎ 当且仅当，即t=1时，“=”成立.‎ 此时，‎ 的最小值为2，‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系．直线与圆锥曲线的问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题．与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向．‎ ‎21.已知函数，．‎ 当时，，求实数a的取值范围；‎ 当时，曲线和曲线是否存在公共切线？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在公共切线，理由详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)构造函数，求出其最大值，解不等式即可得到实数的取值范围；‎ ‎(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别相切与点.分别求出两条切线方程，根据斜率与纵截距建立方程组，减元后得到，构造新函数研究单调性与极值即可.‎ ‎【详解】解：令，则.‎ 若，则，若，则.‎ 所以在上是增函数，在上是减函数.‎ 所以是的极大值点，也是的最大值点，即.‎ 若恒成立，则只需，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ 假设存在这样的直线且与曲线和曲线分别相切与点.‎ 由，得.‎ 曲线在点处的切线方程为，即.‎ 同理可得，‎ 曲线在点处的切线方程为，即.‎ 所以则，即 构造函数 ‎ 存在直线与曲线和曲线相切,‎ 等价于函数在上有零点 对于.‎ 当时，，在上单调递增.‎ 当时，因为，所以在上是减函数.‎ 又，，所以存在，使得，即.‎ 且当，时，当时，.‎ 综上，在上是增函数，在上是减函数.‎ 所以是的极大值，也是最大值，且.‎ 又，，所以在内和内各有一个零点.‎ 故假设成立，即曲线和曲线存在公共切线.‎ ‎【点睛】与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．‎ ‎②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.‎ ‎③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎④已知两条曲线有公切线，求参数值.‎ ‎22.已知曲线的参数方程为以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ 求曲线的极坐标方程；‎ 设直线与极坐标方程求曲线上的点到直线的最大距离.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平方和为1消去参数得到曲线C的直角坐标方程，再利用，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 两式两边平方并相加，得，‎ 所以曲线表示以为圆心，2为半径的圆.‎ 将代入得，化简得 所以曲线的极坐标方程为 ‎（2）由，得，即，得 所以直线的直角坐标方程为 因为圆心到直线 的距离，‎ 所以曲线上的点到直线的最大距离为.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.‎ ‎23.已知函数．‎ 求的解集；‎ 若，恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 根据绝对值定义去掉绝对值符号,即可得到不等式得解集；（2）不等式恒成立，等价于 ，根据绝对值定义去掉绝对值即可求得最大值，从而可得t的范围.‎ ‎【详解】（1），即，所以 所以，所以，‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）“”等价于“”，‎ ‎，成立，等价于 令，‎ 则 所以，即，解得 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的处理方法，属于基础题.‎