2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（a卷） 22页

‎2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（A卷）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，，则A∩B＝（　　）‎ A．[0，2） B．（1，+∞） C．[0，1） D．（﹣2，1）‎ ‎2．（5分）若复数z＝（2﹣i）i（i为虚数单位），则的值为（　　）‎ A．2+i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i ‎3．（5分）若||＝2，||＝1，且⊥（﹣4），则向量，的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎4．（5分）若x＞y，则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A． B．tanx＞tany C．ln（x﹣y）＞0 D．‎ ‎5．（5分）给定下列四个命题，其中真命题是（　　）‎ A．垂直于同一直线的两条直线相互平行 ‎ B．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 ‎ C．垂直于同一平面的两个平面相互平行 ‎ D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 ‎6．（5分）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P（x0，2），若点P到该抛物线焦点的距离为3，则|OP|等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．2‎ ‎7．（5分）某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则该同学10次测评的平均成绩为（　　）‎ A．12 B．11.4 C．11.3 D．11‎ ‎8．（5分）已知函数的最小正周期为π，若将其图象沿x 第22页（共22页）‎ 轴向右平移a（a＞0）个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．π ‎9．（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到[20，80）mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（　　）‎ A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 ‎10．（5分）已知a为正整数，tanα＝1+1ga，tanβ＝1ga，且α＝β+，则当函数（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知双曲线，点F是双曲线C的左焦点，过原点的直线交双曲线C于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，AB⊥BF，如图所示，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．（5分）函数，若存在正实数x1，x2，…，xn，其中n∈N*且n≥2，使得h（xn）＝h（x1）+h（x2）+…+h（xn﹣1），则n的最大值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为　 　．‎ 第22页（共22页）‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝1oga（x﹣1）（a＞0且a≠﹣1），且f（1og0.516）＝﹣2，则a＝　 　．‎ ‎15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA＝0，若△ABC的面积S＝b，则△ABC面积的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知∠DAB＝，∠BAC＝，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为　 　；该三棱锥体积的最大值为　 　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，PB⊥平面ABC，且PB＝AB＝4，EC∥PB且，D为PA的中点．‎ ‎（1）求证：直线DE∥平面ABC；‎ ‎（2）求多面体A﹣BCEP的体积．‎ 第22页（共22页）‎ ‎18．（12分）2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？‎ ‎（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，n＝a+b+c+d．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎（2）设，求{bn}前2n项和T2n．‎ ‎20．（12分）设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设过原点O的直线交椭圆于A，B两点（A，B不在坐标轴上），连接AF并延长交椭圆于点C，若＝+，求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ 第22页（共22页）‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a＝1时，证明：‎ ‎（i）xf（x）≤x﹣1；‎ ‎（ii）证明：．‎ 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（φ为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ，点A是曲线C2与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于极点O，求|AB|的值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知关于x的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．‎ ‎（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含，求a的取值范围．‎ 第22页（共22页）‎ ‎2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（A卷）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，，则A∩B＝（　　）‎ A．[0，2） B．（1，+∞） C．[0，1） D．（﹣2，1）‎ ‎【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：因为集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，‎ 集合，‎ 所以A∩B＝[0，1）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．（5分）若复数z＝（2﹣i）i（i为虚数单位），则的值为（　　）‎ A．2+i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【解答】解：∵z＝（2﹣i）i＝1+2i，∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3．（5分）若||＝2，||＝1，且⊥（﹣4），则向量，的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角．‎ ‎【解答】解：若||＝2，||＝1，且⊥（﹣4），设向量，的夹角为θ，θ∈[0°，180°]，‎ 则•（﹣4）＝﹣4＝4﹣4•2•1•cosθ＝0，‎ 求得cosθ＝，θ＝60°，‎ 故选：B．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．‎ ‎4．（5分）若x＞y，则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A． B．tanx＞tany C．ln（x﹣y）＞0 D．‎ ‎【分析】利用幂函数的性质可知选项D正确．‎ ‎【解答】解：由幂函数的性质可知，函数在R上单调递增，‎ 又x＞y，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．‎ ‎5．（5分）给定下列四个命题，其中真命题是（　　）‎ A．垂直于同一直线的两条直线相互平行 ‎ B．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 ‎ C．垂直于同一平面的两个平面相互平行 ‎ D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 ‎【分析】画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案 ‎【解答】解：如图所示，在长方体中：‎ CC1⊥B1C1，CC1⊥D1C1，但是B1C1与D1C1不平行，所以A错；‎ 平面BC1与平面DC1相交，但是BC1内平行于BB1的直线都平行于DC1，所以B错；‎ 平面BC1⊥平面A1C1，平面DC1⊥平面A1C1，但是这两个平面不平行，所以C错；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．‎ 第22页（共22页）‎ ‎6．（5分）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点P（x0，2），若点P到该抛物线焦点的距离为3，则|OP|等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．2‎ ‎【分析】先由抛物线的定义建立关于p的方程，解之可得p的值以及抛物线的方程，再把点P的坐标代入可求得，最后利用两点间距离公式即可得解．‎ ‎【解答】解：设抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），‎ 由抛物线定义知，，∴p＝2，抛物线方程为x2＝4y，‎ ‎∵点P（x0，2）在抛物线上，∴，‎ ‎∴|OP|＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎7．（5分）某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则该同学10次测评的平均成绩为（　　）‎ A．12 B．11.4 C．11.3 D．11‎ ‎【分析】由中位数求出x+y，整体代换求平均值．‎ ‎【解答】解：因为中位数为12，所以，x+y＝4．‎ 所以该组数据的平均数为：，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查中位数、平均数的求法，属于基础题．‎ ‎8．（5分）已知函数的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A． B． C． D．π ‎【分析】直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：函数，整理得f（x）＝﹣2ωx，由于函数的最小正周期为π，‎ 所以ω＝1，‎ 故f（x）＝﹣．‎ 将其图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位，所得g（x）＝图象，‎ 由于函数的图象关于对称，‎ 所以，解得a＝（k∈Z），‎ 当k＝0时，a＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎9．（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到[20，80）mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（　　）‎ A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 ‎【分析】先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．‎ ‎【解答】解：1.6×100＝160mg，则n小时后的血液中酒精含量为160×（1﹣30%）n＝160×0.7n，由160×0.7n＜20，解得n≥6，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．‎ ‎10．（5分）已知a为正整数，tanα＝1+1ga，tanβ＝1ga，且α＝β+，则当函数（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：已知α＝β+，所以，‎ 所以tan（α﹣β）＝1＝＝1，‎ 解得a＝1或a＝（舍去）．‎ 则f（x）＝sin＝，‎ 由于θ∈[0，π]，所以．‎ 则当，即时，函数f（x）取得最大值．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．‎ ‎11．（5分）已知双曲线，点F是双曲线C的左焦点，过原点的直线交双曲线C于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，AB⊥BF，如图所示，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【分析】由双曲线的对称性，连接A，B与右焦点F2的连线，可得AFBF2是平行四边形，对应边平行且相等，|AF|＝3|BF|，所以|AF|﹣|AF2|＝3|BF|﹣|BF|＝2|BF|＝2a，即|BF|＝a，在直角三角形OBF中可得|OB|＝b，再在三角形ABF中可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出离心率．‎ ‎【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，根据对称性知AFBF2是平行四边形，所以有|AF2‎ 第22页（共22页）‎ ‎|＝|BF|，‎ 又点A在双曲线上，所以|AF|﹣|AF2|＝2a，‎ 因为|AF|＝3|BF|，所以|AF|﹣|AF2|＝3|BF|﹣|BF|＝2|BF|＝2a，即|BF|＝a，‎ 而在三角形OFB中，∠OBF＝90°，|FB|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，‎ 在三角形AFB中，|AF|＝3a，|BF|＝a，|AB|＝2b，∠ABF＝90°，所以9a2＝a2+4b2，即2a2＝b2，所以双曲线的离心率，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质及直角三角形的性质，属于中档题．‎ ‎12．（5分）函数，若存在正实数x1，x2，…，xn，其中n∈N*且n≥2，使得h（xn）＝h（x1）+h（x2）+…+h（xn﹣1），则n的最大值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【分析】用均值不等式求出函数的值域（1，8】，则h（xn）∈（1，8】与h（x1）+h（x2）+…+h（xn﹣1）∈（（n﹣1），8（n﹣1）]需有公共元素，进而可求n的范围．‎ ‎【解答】解：，‎ 当x＞0时，，，，，即1＜h（x）≤8，‎ 所以1＜h（xn）≤8，n﹣1＜h（x1）+h（x2）+…+h（xn﹣1）≤8（n﹣1），‎ 由h（xn）＝h（x1）+h（x2）+…+h（xn﹣1）知，集合，因为n∈N*且n≥2，‎ 第22页（共22页）‎ 所以n﹣1＜8，8（n﹣1）＞1，‎ 所以＜n﹣1＜8，即2≤n＜9，又n∈N*，所以n的最大值为8，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为　300　．‎ ‎【分析】由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，即可得答案．‎ ‎【解答】解析：由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，‎ 设阴影部分能栽种x株，‎ 则有，解得x＝300．‎ 故答案为：300．‎ ‎【点评】本题考查几何概型的计算以及应用，关键是掌握概率的性质，属于基础题．‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝1oga（x﹣1）（a＞0且a≠﹣1），且f（1og0.516）＝﹣2，则a＝　　．‎ ‎【分析】根据题意，由对数的性质可得1og0.516＝﹣1og216＝﹣4，结合函数的奇偶性可得f（4）＝﹣f（﹣4）＝2，结合函数的解析式可得f（4）＝1oga3＝2，解可得a的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数f（x）是奇函数，且f（1og0.516）＝﹣2，‎ 又由1og0.516＝﹣1og216＝﹣4，‎ 则f（4）＝﹣f（﹣4）＝2，‎ 又由当x＞0时，f（x）＝1oga（x﹣1），则f（4）＝1oga3＝2，解可得a＝；‎ 故答案为：‎ 第22页（共22页）‎ ‎【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B+bsinA＝0，若△ABC的面积S＝b，则△ABC面积的最小值为　12　．‎ ‎【分析】asin2B+bsinA＝0，利用正弦定理、倍角公式可得2sinAsinBcosB+sinAsinB＝0，化简可得cosB＝﹣．利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得b2≥3ac，利用△ABC的面积S＝b＝acsinB，进而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵asin2B+bsinA＝0，∴2sinAsinBcosB+sinAsinB＝0，‎ ‎∵sinA，sinB≠0，∴2cosB＝﹣1，即cosB＝﹣．‎ ‎∴b2＝a2+c2﹣2accosB≥2ac+ac＝3ac，‎ ‎△ABC的面积S＝b＝acsinB≤×，解得b≥12．‎ 则△ABC面积的最小值为12．当且仅当a＝c＝4，b＝12时取等号．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点评】本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16．（5分）现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知∠DAB＝，∠BAC＝，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为　100π　；该三棱锥体积的最大值为　　．‎ ‎【分析】由题意，∠ADB＝∠ACB＝90°，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC的长度，结合∠ADB＝∠ACB＝90°，可知三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，求出点C到平面ABD的距离d＝5，可得三棱锥体积的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意，∠ADB＝∠ACB＝90°，‎ 第22页（共22页）‎ 又∠DAB＝，∠BAC＝，AB＝10，∴AD＝，BD＝5，AC＝BC＝．‎ ‎∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AB，则球的半径为5，‎ 故球的表面积为S＝4π×52＝100π；‎ 当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，‎ 且点C到平面ABD的距离d＝5，‎ ‎∴＝．‎ 故答案为：100π；．‎ ‎【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，PB⊥平面ABC，且PB＝AB＝4，EC∥PB且，D为PA的中点．‎ ‎（1）求证：直线DE∥平面ABC；‎ ‎（2）求多面体A﹣BCEP的体积．‎ ‎【分析】（1）设AB的中点为G，连接DG，CG，说明DG∥PB，证明四边形DGCE为平行四边形，得到DE∥GC，然后证明DE∥平面ABC．‎ ‎（2）取BC中点F，连接AF．说明多面体ABCEP是四棱锥A﹣BCEP，推出AF是四棱锥A﹣PBCE的高，‎ 第22页（共22页）‎ 通过等体积法．求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设AB的中点为G，连接DG，CG，则DG∥PB，，‎ 又EC∥PB且，‎ 所以EC∥DG且EC＝DG，所以四边形DGCE为平行四边形，‎ 所以DE∥GC，又因为DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，‎ 所以DE∥平面ABC．‎ ‎（2）取BC中点F，连接AF．因为EC∥PB，‎ 所以PBCE在同一平面上，所以多面体ABCEP是四棱锥A﹣BCEP，‎ 因为PB⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，所以PB⊥AF，‎ 又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是BC的中点，所以AF⊥BC，‎ 所以AF⊥平面PBCE，即AF是四棱锥A﹣PBCE的高，‎ 已知PB＝AB＝4，所以，EC＝2，，‎ 所以．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．‎ ‎18．（12分）2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎10‎ 第22页（共22页）‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？‎ ‎（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，n＝a+b+c+d．‎ ‎【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；‎ ‎（2）分别计算抽取的6人中男生的人数和女生的人数，列出所有基本事件，再利用古典概型的概率公式即可算出结果．‎ ‎【解答】解解：（1）补充完整的列联表如下：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 计算得K2的观测值为，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系；‎ ‎（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为，‎ 从而需抽取男生2人，女生4人，‎ 设抽取的男生为A1，A2，女生为B1，B2，B3，B4，‎ 选出的两人均为女生为事件A，‎ 则基本事件空间Ω＝{A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，‎ 第22页（共22页）‎ B2B3，B2B4，B3B4}，n＝15．‎ 事件A＝{B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4}，m＝6，‎ ‎，故选出的两人均为女生的概率为．‎ ‎【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及古典概型的概率公式，考查了计算能力的应用问题，是基础题目．‎ ‎19．（12分）已知等差数列{an}前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ ‎（2）设，求{bn}前2n项和T2n．‎ ‎【分析】本题第（1）题先设等差数列{an}的公差为d，然后根据a5＝9，S5＝25列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到等差数列{an}的通项公式及前n项和Sn；‎ 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用分组求和法计算出前2n项和T2n．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则 ‎，‎ 整理，得，‎ 解得，‎ ‎∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）知，设＝（﹣1）n•n2．‎ T2n＝b1+b2+…+b2n ‎＝（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）‎ ‎＝（﹣12+22）+（﹣32+42）+…+[﹣（2n﹣1）2+（2n）2]‎ ‎＝[（2﹣1）×（2+1）]+[（4﹣3）×（4+3）]+…+[2n﹣（2n﹣1）]×[2n+（2n﹣1）]‎ ‎＝1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n 第22页（共22页）‎ ‎＝‎ ‎＝2n2+n．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及运用分组求和法求和问题．考查转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．‎ ‎20．（12分）设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设过原点O的直线交椭圆于A，B两点（A，B不在坐标轴上），连接AF并延长交椭圆于点C，若＝+，求四边形ABCD面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）有条件得到a＝2，c＝1，求出b，即可得椭圆方程，‎ ‎（2）设直线方程为x＝my+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到SABCD＝3S△AOC＝，利用换元思想及不等式即可求出其最值．‎ ‎【解答】解：（1）由题得a＝2，a+c＝3，所以c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，‎ 故椭圆E的方程为：；‎ ‎（2）根据条件可得F（1，0），设直线AC的方程为x＝my+1，联立，‎ 整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，‎ 设A（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，‎ 则SABCD＝3S△AOC＝3××|OF|×|y1﹣y2|＝＝，‎ 令t＝≥1，则SABCD＝＝，在t∈（1，+∞）上单调递减，‎ 所以当t＝1，即m＝0时，SABCD面积最大，最大值为．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【点评】本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：‎ ‎1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a2，b2的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“a2＝b2+c2”运用．‎ ‎2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a＝1时，证明：‎ ‎（i）xf（x）≤x﹣1；‎ ‎（ii）证明：．‎ ‎【分析】（1），令g（x）＝1﹣alnx，对a分类讨论即可得出单调性．‎ ‎（2）（i）a＝1时，，xf（x）＝lnx，令h（x）＝lnx﹣x+1，利用导数研究其单调性即可证明结论．‎ ‎（ii）a＝1时，，．由（i）知lnx≤x﹣1，即．令x＝n2得，即，可得，利用累加求和方法、放缩法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1），‎ 令g（x）＝1﹣alnx，‎ ‎①a＝0时，g（x）＝1＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎②a＞0时，时，g（x）＞0，f（x）单调递增；时，g 第22页（共22页）‎ ‎（x）＜0，f（x）单调递减．‎ ‎③a＜0，时，g（x）＜0，f（x）单调递减；时，g（x）＞0，f（x）单调递增．‎ 综上，a＝0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ a＞0时，f（x）在上调递增，在上单调递减；‎ a＜0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）（i）a＝1时，，所以xf（x）＝lnx，‎ 令h（x）＝lnx﹣x+1，则，‎ x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．‎ h（x）max＝h（1）＝ln1＝0，‎ 即lnx≤x﹣1，即xf（x）≤x﹣1．‎ ‎（ii）a＝1时，，．‎ 由（i）知lnx≤x﹣1，即．‎ 令x＝n2‎ 得，即，所以，‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法累加求和方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 第22页（共22页）‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，（φ为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ，点A是曲线C2与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于极点O，求|AB|的值．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用极径的应用建立方程组，进一步求出|AB|的值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，（φ为参数）．转换为和直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．‎ 曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．‎ ‎（2）根据题意建立，解得，‎ 同理，解得ρ2＝2，‎ 故|AB|＝|．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知关于x的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．‎ ‎（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得|1+a|≤3a﹣1，解出即可；‎ ‎（2）依题意，f（x））≤|x+3|在恒成立，则（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，，由此即可求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）对x∈R，f（x）＝|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|＝|1+a|，当且仅当（x+1）（x﹣a）≤0时，等号成立，‎ 第22页（共22页）‎ 故原条件等价于|1+a|≤3a﹣1，即﹣3a+1≤1+a≤3a﹣1.3a﹣1≥0，解得a≥1，‎ 故实数a的取值范围为[1，+∞）；‎ ‎（2）当时，f（x）＝|x+1|+|x﹣a|＝x+1+|x﹣a|≤|x+3|＝x+3，‎ ‎∴|x﹣a|≤2，即﹣2≤x﹣a≤2，则x﹣2≤a≤x+2，‎ 又f（x）≤|x+3|的解集包含，‎ ‎∴f（x））≤|x+3|在恒成立，‎ ‎∴当时，（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，‎ 又，‎ ‎∴，即实数a的取值范围为．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/5/28 9:03:49；用户：复圣中学；邮箱：fszx519@xyh.com；学号：37091097‎ 第22页（共22页）‎