高考数学专题复习课件：6-5数列的热点问题 33页

§6.5 　热点专题 —— 数列的热点问题 热点一　等差、等比数列的综合问题 等差、等比数列的综合问题多以解答题的形式出现，涉及等差、等比数列的定义，通项公式及前 n 项和公式，难度适中，求解此类问题要重视方程思想的应用． 【 解析 】 (1) 由已知 S n ＋ 1 ＝ qS n ＋ 1 ， S n ＋ 2 ＝ qS n ＋ 1 ＋ 1 ， 两式相减，得 a n ＋ 2 ＝ qa n ＋ 1 ， n ≥ 1. 又由 S 2 ＝ qS 1 ＋ 1 ， a 1 ＝ 1 ，得 a 2 ＝ qa 1 ， 故 a n ＋ 1 ＝ qa n 对所有 n ≥ 1 都成立， 所以数列 { a n } 是首项为 1 ，公比为 q 的等比数列． 从而 a n ＝ q n － 1 . 由 2 a 2 ， a 3 ， a 2 ＋ 2 成等差数列，可得 2 a 3 ＝ 3 a 2 ＋ 2 ，即 2 q 2 ＝ 3 q ＋ 2 ， 则 (2 q ＋ 1)( q － 2) ＝ 0. 由已知 q ＞ 0 ，故 q ＝ 2. 所以 a n ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ) ． (2) 证明　 由 (1) 可知 a n ＝ q n － 1 . 【 方法规律 】 (1) 正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于 1 的等比数列也是等差数列． (2) 等差数列和等比数列可以相互转化，若数列 { b n } 是一个公差为 d 的等差数列，则 { ab n }( a ＞ 0 ， a ≠ 1) 就是一个等比数列，其公比 q ＝ a d ；反之，若数列 { b n } 是一个公比为 q ( q ＞ 0) 的正项等比数列，则 {log a b n }( a ＞ 0 ， a ≠ 1) 就是一个等差数列，其公差 d ＝ log a q . 变式训练 1 ． (2016· 临沂八校联考 ) 已知数列 { a n } 是公差不为零的等差数列， a 1 ＝ 2 ，且 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列． (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 若 { b n － ( － 1) n a n } 是等比数列，且 b 2 ＝ 7 ， b 5 ＝ 71 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 【 解析 】 (1) 设数列 { a n } 的公差为 d ( d ≠ 0) ，因为 a 1 ＝ 2 ，且 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列，所以 (3 d ＋ 2) 2 ＝ ( d ＋ 2)(7 d ＋ 2) ，可得 d ＝ 2 ，故 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ 2 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n . 【 方法规律 】 (1) 一般数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息． (2) 根据数列的特点选择合适的求和方法，本题选用的是错位相减法，常用的还有分组求和，裂项求和． 变式训练 2 ． (2016· 合肥模拟 ) 已知数列 { a n ＋ 1 ＋ a n } 的前 n 项和 S n ＝ 2 n ＋ 1 － 2 ， a 1 ＝ 0. (1) 求数列 { a n ＋ 1 ＋ a n } 的通项公式； (2) 求数列 { a n } 的通项公式． 【 解析 】 (1) 设 a n ＋ 1 ＋ a n ＝ b n . 当 n ≥ 2 时， b n ＝ S n － S n － 1 ＝ (2 n ＋ 1 － 2) － (2 n － 2) ＝ 2 n . 当 n ＝ 1 时， b 1 ＝ S 1 ＝ 2 ，满足 n ≥ 2 时 b n 的形式． 所以 a n ＋ 1 ＋ a n ＝ b n ＝ 2 n . (2) 由 (1) 得 a n ＋ 1 ＋ a n ＝ 2 n ，则 a n ＋ 2 ＋ a n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 . 两式相减得 a n ＋ 2 － a n ＝ 2 n . 当 n 为奇数时， a n ＝ a 1 ＋ ( a 3 － a 1 ) ＋ ( a 5 － a 3 ) ＋ … ＋ ( a n － 2 － a n － 4 ) ＋ ( a n － a n － 2 ) ＝ 0 ＋ 2 1 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n － 4 ＋ 2 n － 2 热点三　数列与不等式的综合问题 数列与不等式的综合问题是高考的热点且多出现在解答题中，考查方式主要有三种： (1) 判断数列问题中的一些不等关系； (2) 以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (3) 考查与数列问题有关的不等式的证明． 【 解析 】 (1) 由已知 S n ＝ 2 a n － a 1 ，有 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2) ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ( n ≥ 2) ． 从而 a 2 ＝ 2 a 1 ， a 3 ＝ 2 a 2 ＝ 4 a 1 . 又因为 a 1 ， a 2 ＋ 1 ， a 3 成等差数列， 即 a 1 ＋ a 3 ＝ 2( a 2 ＋ 1) ， 所以 a 1 ＋ 4 a 1 ＝ 2(2 a 1 ＋ 1) ，解得 a 1 ＝ 2. 所以数列 { a n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列． 故 a n ＝ 2 n . 【 方法规律 】 (1) 以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解． (2) 以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明． 热点四　数列与函数的综合问题 数列是特殊的函数，以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇点处的命题特点，难度多为中等或中等偏上，多涉及求数列的通项公式、数列的前 n 项和、数列的最值问题等． 【 例 4】 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，点 ( a n ， b n ) 在函数 f ( x ) ＝ 2 x 的图象上 ( n ∈N * ) ． 【 方法规律 】 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值．但由于数列是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点．