河北省石家庄市2020届高中毕业班模拟考试高三数学试卷（文科）（解析版） 15页

2020 届高三五月模拟考试（二） 文科数学试题 一、选择题 1．已知集合 ， ，则集合 （ ） A． B． C． D． 2．命题 ：“ ， ”的否定形式 为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．已知 是虚数单位，且 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知条件 ：①是奇函数；②值域为 ；③函数图象经过第一象限。则下列函数中满足条件 的是（ ） A． B． C． D． 5．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 的面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 6．已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列 { }1 3A x x= − ≤ ≤ ( ){ }2log 2B x y x= = − A B∩ = { }1 2x x− ≤ < { }2 3x x< ≤ { }1 3x x< ≤ { }2x x > p ( ),0x∀ ∈ −∞ 2 3x x≥ p¬ ( )0 ,0x∃ ∈ −∞ 0 02 3x x< ( )0 ,0x∃ ∈ −∞ 0 02 3x x≤ ( ),0x∀ ∈ −∞ 2 3x x< ( ),0x∀ ∈ −∞ 2 3x x≤ i 1 iz i += z z P R P ( ) 1 2f x x= ( ) 1f x x x = + ( ) sinf x x= ( ) 2 2x xf x −= − ABC△ A B C , ,a b c ( )( ) ( )sin sin sin sina b A B c C B+ − = + 1b = 2c = ABC△ 1 2 3 2 3 x y 2 0 2 5 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ 3 yz x = + 3 5 4 5 3 4 3 2 3 πα + ( )1,2P sinα = 2 5 15 10 − 3 5 15 10 − 3 5 15 10 + 2 5 15 10 + 结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴 数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为 ， ，则满足 的概率为（ ） A． B． C． D． 9．某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分 150 分），学生成绩的频率分布直方图如图所示，分组 区间为 ， ， ， ， ， ， ，其中 成等差数列且 ．该高校拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段学生名单，根据频率分布 直方图进入该校面试的分数线为（ ） A．117 B．118 C．119 D．120 10．如图，在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，则 的最大值是（ ） A． B．5 C． D． 11．函数 的相邻两条对称轴间的距离为 ， 的图象与 轴交点坐标为 ，则下列说法不正确的是（ ） A． 是 的一条对称轴 B． C． 在 上单调递增 D． 12．已知函数 对于任意 ，均满足 ．当 时， ， （其中 为自然对数的底数），若存在实数 （ ）满足 ， 则 的取值范围为（ ） a b 2a b− ≥ 8 25 9 25 16 25 18 25 [ )80,90 [ )90,100 [ )100,110 [ )110,120 [ )120,130 [ )130,140 [ ]140,150 , ,a b c 2c a= ABCD 2 2AB BC= = M C BD AM BD⋅  1− 3 5− + 3 5+ ( ) ( )24cos 2 0,0 2f x x πω ϕ ω ϕ = + − > < <   2 π ( )f x y ( )0,1 5 6x π= ( )f x 1ω = ( )f x ,3 6 π π −   6 πϕ = ( )f x x R∈ ( ) ( )2f x f x= − 1x ≤ ( ) ln 2,0 1 , 0x x xf x e x + < ≤=  ≤ e , , ,a b c d a b c d< < < ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = ( ) aa b c d b e+ + + − A． B． C． D． 二、填空题 13． 在 和 处的切线相互垂直，则 ______． 14．已知曲线 ： 的焦点关于一条渐近线的对称点在 轴上，则该双曲线的离心 率为______． 15．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ，则 该四棱锥的外接球的表面积为______． 16．已知抛物线 的焦点为 ， ， ， 为抛物线 上的三个动点， 其中 且 ，若 为 的重心，记 三边 ， ， 的中点到抛物线 的准线的距离分别为 ，且满足 ，则 ______； 所在直线的方程为______． 三、解答题 （一）必考题 17．2019 年末，武汉出现新型冠状病毒（ 肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很 快。因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗方法。防控难度很大。武 汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的 新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四 类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为 ， 两个小组，排查工作期间社区随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查， 根据调查结果统计后，得到如下 的列联表． 是否满意 组别 不满意 满意 合计 组 16 34 50 组 2 45 50 4 1,4e  −   2 4 41,e e  −   2 4 ,4e      2 42ln 2 1, e  −   ( ) ( )3 0f x ax ax a= − > 0x = 1x = a = C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > y P ABCD− ABCD 2AB AP= = 60PAB PAD∠ = ∠ = ° 2: 8C y x= F ( )1 1 1,P x y ( )2 2 2,P x y ( )3 3 3,P x y C 1 2 3x x x< < 2 0y < F 1 2 3PP P△ 1 2 3PP P△ 1 2PP 1 3PP 2 3P P C 1 2 3, ,d d d 1 2 22d d d+ = 2y = 1 3PP 2019 nCoV− A B 2 2× A B 合计 21 79 100 （Ⅰ）分别估计社区居民对 组、 组两个排查组的工作态度满意的概率； （Ⅱ）根据列联表的数据，能否有 的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关？ 附表： 附： 18．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， 。（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ） 设 ，求数列 的前 项和． 19．如图 1，在 中， ， ， 分别是 ， 边上的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2．（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求点 到平面 的距离． A B 99% ( )2 0P K k≥ 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + { }na n nS 3 6 9a a+ = 6 21S = { }na 1 2 n n n a b  =    { }nb n Rt ABC△ 90C∠ = ° 4BC AC= = E AC AB ADE△ DE 1A DE△ 1 1A C A D= 1DE AC⊥ C 1A BE 20．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 和 分别是椭圆 的左焦点和 上顶点，且 的面积为 ．（Ⅰ）求 的方程；（Ⅱ）设过点 的直线 与 相较于 ， 两点，当 时，求直线 的方程． 21．已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论 单调性；（Ⅱ）当 时，设函数 存在两个零点 ， ，求证： ． ( )2,0A ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 F B C ABF△ 3 2 C A l C P Q 1 3OP OQ⋅ =  l ( ) xf x e ax= + a R∈ e ( )f x 3a = − ( ) ( ) ( )g x f x m m R= − ∈ 1x ( )2 1 2x x x< 1 2 6x xe e+ > （二）选考题 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 ， 交于 、 两点．（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程和曲线 的普通方程；（Ⅱ）已知 点的直角坐标为 ， 求 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 函数 （Ⅰ）求函数 的最小值； （Ⅱ）若 的最小值为 ， ，求证： ． xOy O x 1C 3 3 ,3 2 2 1 3 2 x t y t  = +  = − + t 2C 1 ,cos 2 tan x y ϕ ϕ  =  = ϕ 1C 2C A B 1C 2C P 3 2,3 3  −    PA PB⋅ ( ) 2 1 2f x x x= − + + ( )f x ( )f x M ( )2 2 0, 0a b M a b+ = > > 1 1 4 1 2 1 7a b + ≥+ + 石家庄市 2020 届高三年级阶段性训练题答案 数学文科 1．B．【解析】由题意知 ，故 ，故选 B． 2．A．【解析】 ， ，故选 A． 3．B．【解析】 ，则 ，所以对应点在第二象限，故选 B． 4．D．【解析】A 定义域不关于原点对称，不符合题意；B 选项虽然为奇函数，但 是 ，故 ，不符合题意；C 选项， ，不符合题意；D．选 项 ，故 为奇函数，值域为 ，图象也经过第一象限，符合题意．故选 D． 5．B．【解析】根据正弦定理知 化为为 ， 即 ，故 ，故 ，则 ．因为 ， ， 的面积 ．故选 B． 6．C．【解析】如图阴影部分为可行域，目标函数 表示可行域中点 与 连线的斜率， 由图可知点 与 连线的斜率最大，故 的最大值为 ，故选 C． 7．A．【解析】由题意知 ， ，则 { }2B x x= > { }2 3A B x x∩ < ≤ ( )0: ,0p x¬ ∃ ∞ −∞ 0 02 3x x< ( )( ) ( ) 11 1 11 i ii iz ii i i − −− − −= = = = − −⋅ − 1z i= − + 0x > ( ) 2f x ≥ ( ) ( ] [ )1 , 2 2,f x x x = + ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ) [ ]sin 1,1f x x= ∈ − ( ) ( )f x f x− = ( ) 2 2x xf x −= − R ( )( ) ( )sin sin sin sina b A B c C B+ − = + ( )( ) ( )a b a b c c b+ − = + 2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − 2 3A π= − 3sin 2A = 1b = 2c = ABC△ 1 3sin2 2S bc A= = 3 yz x = + ( ), yx ( )3,0− ( )1,3P ( )3,0− z 3 4 2sin 3 5 πα + =   1cos 3 5 πα + =   ． 8．C．【解析】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数共有： 种情况．满足 有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 9 种情况，故满足 的情况有 16 种，故根据古典概型得满足 的概率为 ． 9．C．【解析】由于 ， ，解得 ， ， ， 前三个组的频率之和为 ，第四个组的频率为 ，故中位数为 ． 10．A．【解析】由题意知 ，设 到 的距离为 ，则有 ，故 ，其中 , ,当且仅当 与 同向时，等号成立，故选 A． 11．C．【解析】由题意知 ，由周期为 ，知 ；又因为 ，即 ， ．经验证，C 选项错误． 12．D．【解析】由 知 关于 对称，如图，因此 ，所以 ，又因为 ，所以 ，因此 ， 由题意知 ，令 ， ，令 得 ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，由 ， ，则 ，故 ，故选 D． 2 1 1 3 2 5 15sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3 2 2 105 5 π π π π π πα α α α  −     = + − = + − + = × − × =             5 5 25× = 1a b− = ( )1,2 ( )3,2 ( )3,4 ( )5,4 ( )5,6 ( )7,6 ( )7,8 ( )9,8 ( )9,10 2a b− ≥ 2a b− ≥ 16 25 2 0.052a b c+ + = 2 , 2a c b c a+ = = 0.008a = 0.012b = 0.016c = 0.04 0.12 0.16 0.32+ + = 0.2 0.18110 10 1190.2 + × = 5AC BD= =  C BD d 1 2 2 5 55 d ×= = ( )AM BD AC CM BD AC BD CM BD⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅         ( ) ( ) 3AC BD AB BC BC CD⋅ = + ⋅ + = −      2CM BD CM BD⋅ ≤ ⋅ =    CM BD ( ) ( ) ( )24cos 2 2cos 2 2f x x xω ϕ ω ϕ= + − = + π 1ω = ( )0 2cos2 1f ϕ= = 2 3 πϕ = 6 πϕ = ( ) ( )2f x f x= − ( )f x 1x = 2a d b c+ = + = 4a b c d+ + + = ( ) ( )f a f b= ln 2ae b= + ( ) 4 ln 2aa b c d b e b b+ + + − = − − 2 1 1be e < ≤ ( ) 2 1 14 ln 2g b b b be e  = − − < ≤   ( ) 1 4 14 bg b b b −′ = − = ( ) 0g b′ = 1 4b = ( )g b 2 1 1, 4e      1 1,4 e      ( )min 1 2ln 2 14g b g  = = −   2 2 1 4g e e   =   1 4 1g e e   = −   2 2 2 2 1 1 4 4 4 41 0e eg ge e e e e + −   − = − + = >       ( ) 2 42ln 2 1,g b e  ∈ −   二、填空题 13． ．【解析】 ，由 ，即 ，解得 ． 14． ．【解析】由题意知该双曲线的斜率为 ，故离心率为 ． 15． ．【解析】过点 作 平面 ，连结 ， ，因为 ， ，所以 ，故 ，因此 ≌ ，故 ， 因此 在 上．过 作 ，连结 ，因为 ， ， ，故 平面 ，故 ，所以 ， ．在 中， ， ．因此 为 中点，即也为 中点．在 中， ．所以 为四棱锥 的外接球球心，半径为 ，球的表面积为 ． 16． ； ．【解析】由题意知 ， ， ，带入 得 ，即 ．由 为 的重心，则有 ， ，即 ，即 ，所以 ，因此有 ．故 的中点坐标为 ， 所在直线的斜率 ，故 所在直线的方程为 ． 三、解答题 2 2 ( ) ( )23 1f x a x′ = − ( ) ( )0 1 1f f′ ′⋅ = − 22 1a = 2 2a = 2 1± 2 8π P PE ⊥ ABCD BE DE AB AP AD= = 60PAB PAD∠ = ∠ = ° PB PD= ED EB= ABE△ ADE△ BAE DAE∠ = ∠ E AC E EH AB⊥ PH AB PE⊥ AB HE⊥ PE HE E∩ = AB ⊥ PEH AB PH⊥ 1AH = 3PH = Rt AEH△ 2AE = 1EH = E AC BD Rt PEH△ 2 2 2PE PH EH= − = E P ABCD− 2 8π 4− 2 2 0x y− − = 1 2 1 22 x xd += + 1 3 2 22 x xd += + 2 3 3 22 x xd += + 1 3 22d d d+ = ( )1 2 3 1 32 2x x x x x+ + = + 2 1 32x x x= + F 1 2 3PP P△ 1 2 3 23 x x x+ + = 1 2 3 03 y y y+ + = 2 22 6x x= − 2 2x = 2 4y = − 1 3 4y y+ = 1 3PP ( )2,2 1 3 1 3 1 3 8 2y yk x x y y −= = =− + 1 3PP 2 2 0x y− − = 17．解：（Ⅰ）由样本数据， 组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为 ，因此社区居民对 组排查工作态度满意的概率估计值为 ． 组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为 ，因此社区居民对 组排查工作态度满意的概率 估计值为 ． （Ⅱ）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数据，得到 ， 因此有 的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关． 18．解：（Ⅰ）设数列 的首项为 ，公差为 ， 由 得： ，所以 ， 又因为 ，所以 ． 于是 ，故 ． （Ⅱ）设 的前项和为 ，因为 ，所以 ， 依题 ，则 ， 于是 ， 即 ， 故： ． 19．证明：（Ⅰ）在图 1 中， ， 为 ， 边中点 所以 ． 又 ，所以 ． 在图 2 中 ， 且 ，则 平面 ． 又因为 平面 ，所以 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 且 平面 ， 所以平面 平面 ， A 34 0.6850 = A 0.68 B 45 0.950 = B 0.9 ( )2100 16 45 5 34 50 50 21 79k × − ×= × × × 7.294 6.635≈ > 99% { }na 1a d 6 21S = ( )1 66 212 a a+ = 1 6 7a a+ = 3 6 9a a+ = 1d = 1 1a = na n= { }nb nT 1 2 n n n a b  =    2n nb n= × 1 21 2 2 2 2n nT n= × + × +⋅⋅⋅+ × 2 3 12 1 2 2 2 2n nT n += × + × +⋅⋅⋅+ × ( )1 2 1 11 2 1 2 1 2 2 1 2 2n n n nT n n+ +− = × + × +⋅⋅⋅ × − × = − × − ( ) 11 2 2n nT n += − × + ( ) 11 2 2n nT n += − × + ABC△ D E AC AB //DE BC AC BC⊥ DE AC⊥ 1DE A D⊥ DE DC⊥ 1A D DC D∩ = DE ⊥ 1A CD 1AC ⊂ 1A CD 1DE AC⊥ DE ⊥ 1A CD DE ⊂ BCDE 1ACD ⊥ BCDE 且平面 平面 ， 在正 中，过 作 ，垂足为 ， 所以 平面 ． 即为三棱锥 底面上的高， 在 中， ． 在 中， ， ，所以 ． 在梯形 中， ． 设点 到平面 的距离为 ， 因为 ， 所以 ，解得 ． 即点 到平面 的距离为 ． 20．解：（Ⅰ）设 ，由条件知 ，所以 的面积为 ① 由 得 ，从而 ，化简得 ② ①②联立解得 ， 从而 ，所以椭圆 的方程为 ； （Ⅱ）当 轴时，不合题意，故设 ， 1ACD ∩ BCDE DC= 1ACD△ 1A 1AO CD⊥ P 1AO ⊥ BCDE 1AO 1A BCE− 1ACD△ 1 3AO = 1A BE△ 1 2 2A E BE= = 1 2 5A B = 1 15A BES =△ BCDE 1 42BCE BCDS S BC CD= = ⋅ =△ △ C 1A BE h 1 1C A BE A BCEV V− −=三棱锥 三棱锥 1 1 1 1 3 3A BE BCES h S AO⋅ = ⋅△ △ 4 5 5h = C 1A BE 4 5 5 ( )( ),0 0F c c− > ( )0,B b ABF△ ( )1 322 2c b+ ⋅ = 2 2 c a = 2 22a c= 2 2 22b c c+ = b c= 1b c= = 2a = C 2 2 12 x y+ = l x⊥ ( ): 2l y k x= − 将 代入 得 ． 由题 得 ， 设 ，则 ， 因为 ， 所以 ， 从而 解得 ， 所以直线 的方程为 或 ． （2）解法二： 当 轴时，其方程为 ， ，不合题意， 当 与 轴不垂直时，设 ， 将 代入 得 ， 由题 得 或 ， 设 ，则 ， ， 因为 ， 所以 ， 从而 ，解得 ， 所以直线 的方程为 或 ． 21．解：（Ⅰ） ， ( )2y k x= − 2 2 12 x y+ = ( )2 2 2 21 2 8 8 2 0k x k k+ − + − = ( )24 2 4 0k= − >△ 2 2 2 2k− < < ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 2 1 2 1 22 2 8 8 2,1 2 1 2 k kx x x xk k −+ = =+ + 1 3OP OQ⋅ =  ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 2 4 3x x y y x x k x x k x x k x x k+ = + − − = + − + + = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 8 2 8 11 2 41 2 1 2 3 k kk k kk k −+ ⋅ − ⋅ = =+ + 1 2 2,2 2 2k  = ± ∈ −    l 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − = l y⊥ 0y = 2OP OQ⋅ = −  l y : 2l x my= + 2x my= + 2 2 12 x y+ = ( )2 22 4 2 0m y my+ + + = ( )28 2 0m= − >△ 2m > 2m < − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 1 2 2 4 2 my y m −+ = + 1 2 2 4 2 my y m −= + 1 3OP OQ⋅ =  ( )( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 2 4 3x x y y my my y y m y y m y y+ = + + + = + + + + = ( )2 2 2 2 4 11 2 42 2 3 mm mm m −+ ⋅ + ⋅ + =+ + ( ) ( )2 , 2 2,m = ± ∈ −∞ − ∪ +∞ l 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − = ( ) xf x e a′ = + 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，令 得 ， 在 上单调递减，在 上单调递 增； （Ⅱ）解法一：由题意知 ，由 得 ， 两式相减得 ，因为 ，故 ， 要证 ，只需证 ， 两边同除以 得 ， 令 ，故只需证 即可． 令 ， ， 令 ， ， 当 时， ，故 在 上单调递减， 故 ，故 在 上单调递增，故 ，故原命题得证． 【解法二】由题意知 ，由 得 ， 令 ， ， ，即 ，两式相减得 ，要证 ， 即只需证 ，即证 ，即 ，即 ， 令 ，只需证 即可． 令 ， ， 当 时， ，故 在 上单调递增，故 ，因此原不等式成立． （二）选考题 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),−∞ +∞ 0a < ( ) 0f x′ = ( )lnx a= − ( )f x ( )( ),ln a−∞ − ( )( )ln ,a− +∞ ( ) 3xg x e x m= − − ( ) ( ) 1 2 0 0 g x g x = = 1 2 1 2 3 3 x x e x m e x m  − = − = ( )1 2 1 23x xe e x x− = − 1 2x x< ( )1 2 1 23 0x xe e x x− = − < 1 2 6x xe e+ > ( )( ) ( )2121 −6<+−3 21 xxxx eeeexx 23 xe ( )( ) ( )1 2 1 2 1 23 6x x x xx x e e e e− + < − 1 2 0u x x= − < ( )2 2 0uu e u− + + < ( ) ( )2 2uG u u e u= − + + ( ) ( )1 1uG u u e′ = − + ( ) ( )1 1uh u u e= − + ( ) uh u ue′ = ( ),0u ∈ −∞ ( ) 0h u′ < ( )h u ( ),0−∞ ( ) ( )0 0h u h> = ( )G u ( ),0−∞ ( ) ( )0 0G u G< = ( ) 3xg x e x m= − − ( ) ( ) 1 2 0 0 g x g x = = 1 2 1 2 3 3 x x e x m e x m  − = − = 1 1 xe t= 2 2 xe t= 1 20 t t< < 1 1 2 2 3ln 3ln t t m t t m = +  = + 1 1 2 2 3ln 0tt t t − = < 6>+ 21 xx ee 1 2 6t t+ > 1 2 2 1 2 6 t t t t t − >+ ( )1 21 2 1 2 2ln 0t tt t t t −− <+ 1 21 12 2 2 1 ln 0 1 t tt tt t  −  − < + ( )1 2 0,1tu t = ∈ ( )2 1ln 01 uu u −− <+ ( ) ( )2 1ln 1 uG u u u −= − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 4 1 1 uG u u n u u −= − = + + ( )0,1u ∈ ( ) 0G u′ > ( )G u ( )0,1 ( ) ( )1 0G u G< = 22．解：（Ⅰ）曲线 的参数方程为 ( 为参数)．消去 得 ,将 ， 代入上式得曲线 的极坐标方程 ，整理得 ， 因为 ， 所以曲线 的普通方程为 ． （Ⅱ）因为 在曲线 上,所以将 的参数方程 ( 为参数)．代入到 的直角 坐标方程得 ，则有 ，由参数 的几何意义得 ． 23．解：（1） 当 时, ；当 时, ;当 时， ． 所以 的最小值为 ． （2）由（1）知 ，即 ． 又因为 ， ， 所以 ． 1C 3 3 ,3 2 2 1 3 2 x t y t  = +  = − + t t 3 3 0x y− − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 1C cos 3 sin 3 0ρ θ ρ θ− − = 3sin 6 2 πρ θ − = −   2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 12 cos cos cos yx ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ −− = − = = 2C 2 2 12 yx − = 3 2,3 3P  −    1C 1C 3 3 ,3 2 2 1 3 2 x t y t  = +  = − + t 2C 25 4 8 08 3 9t t+ − = 1 2 64 45t t⋅ = − t 1 2 64 45PA PB t t⋅ = ⋅ = ( ) 3 1, 2, 13, 2 ,2 13 1, ,2 x x f x x x x x  − − ≤ − = − + − < <   + ≥ 2x ≤ − ( ) 5f x ≥ 12 2x− < < ( )5 52 f x< < 1 2x ≥ ( ) 5 2f x ≥ ( )f x 5 2 5 2M = 2 5a b+ = 0a > 0b > ( ) ( )1 1 1 1 11 2 11 2 1 7 1 2 1a ba b a b  + = + + + +   + + + +  1 2 1 127 1 2 1 b a a b + + = + + + +  ． 所以 ． 1 2 1 1 42 27 1 2 1 7 b a a b  + +≥ + ⋅ =  + +  1 1 4 1 2 1 7a b + ≥+ +