历届高考数学真题汇编专题10_圆锥曲线_理 94页

‎【2006高考试题】‎ 一、选择题（共29题）‎ ‎1．（安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎2．（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)‎ ‎3．（福建卷）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.(,) B. (-,) C.[ ,] D. [-,]‎ 解析：双曲线的渐近线与过右焦点的直线平行，或从该位置绕焦点旋转时，直线与双曲线的右支有且只有一个交点，∴≥k，又k≥，选C ‎4.（广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于 A. B. C. 2 D. 4‎ 解析：依题意可知 ，，故选C.‎ ‎5．（湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．（江苏卷）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 ‎（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）‎ ‎【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.‎ ‎8．（江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是（ ）‎ A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2)‎ 解：F（1，0）设A（，y0）则＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由 · ＝－4Þy0＝±2，故选B ‎9．（江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）‎ A. 6 B‎.7 C.8 D.9‎ ‎10．（辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有。‎ ‎11．（辽宁卷）曲线与曲线的 ‎(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 ‎12．（辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为 ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎【解析】将代入得：‎ ‎，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。‎ ‎【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。‎ ‎13．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（　　）‎ Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程的两个根分别为2，，故选A ‎ ‎14．（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 A． B． C． D．‎ 解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.‎ ‎15．（全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是 A． B． C． D．‎ 解：设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.‎ ‎16．（全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ‎（A）2 （B）6 （C）4 （D）12‎ 解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长‎2a,可得的周长为‎4a=,所以选C ‎17．（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为 ‎（A） (B) (C) (D) 解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ‎19．（山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为 ‎(A) (B)2 (C) (D)2‎ 解：不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则依题意有，‎ 据此解得e＝，选C ‎20．(陕西卷)已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 A.2 B. C. D. 解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．‎ ‎21．（四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：两定点，如果动点满足，设P点的坐标为(x，y)，‎ 则，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.‎ ‎22．（四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为 ‎（A）48 （B）56 （C）64 （D）72‎ ‎23．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）‎ A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D． ‎ 解析：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C. ‎ ‎24．（天津卷）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ 解析：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.‎ ‎25．（浙江卷）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则离心率e=3，∴ ，m=，选C.‎ ‎26．（浙江卷）抛物线的准线方程是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解：2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A ‎27．(重庆卷)设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的 ‎（A）充要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要 ‎28．（上海春）抛物线的焦点坐标为( )‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ 解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．应选B． 29．（上海春）若，则“”是“方程表示双曲线”的( )‎ ‎ （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.‎ ‎ （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.‎ 解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4‎ ‎ 是可以的，这不在k>3里．故应该选A． 二、填空题（共8题）‎ ‎30．（江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题 Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；‎ Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；‎ Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上； ‎ Ｄ．的内切圆必通过点．‎ 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．‎ ‎31．（山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，‎ 则y12+y22的最小值是 .‎ 解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。‎ ‎32．（山东卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．‎ 解：已知为所求；‎ ‎33．(上海卷)若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，‎ 则、分别应满足的条件是 ．‎ 解：作出函数的图象，‎ ‎ 如右图所示：‎ ‎ 所以，；‎ ‎34．(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.‎ 解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.‎ ‎35．(上海卷)若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.‎ 解：曲线得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲线与直线没有公共点，则的取值范围是[－1，1].‎ ‎36．（四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;‎ ‎37（浙江卷）双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 。‎ 解析：双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，即离心率e=3，所以，m=.‎ 三、解答题（共29题）‎ O F x y P M H ‎38．（安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。‎ ‎（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；‎ ‎（Ⅱ）当 时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。‎ ‎39．（北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.‎ 解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）‎ （1） 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），‎ B（x0，－），＝2 ‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1° 依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2‎ 综上可知的最小值为2‎ ‎40．（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①－②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,‎ 代入③得＝，即直线l的斜率为，‎ 所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)‎ ‎41．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。‎ ‎（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段 AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.‎ 本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。‎ ‎ （II）设直线AB的方程为 ‎ 代入整理得 ‎ 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。‎ ‎ 记中点 则 ‎ 的垂直平分线NG的方程为 令得 ‎ ‎ ‎ 点G横坐标的取值范围为 ‎42．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。‎ ‎ （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；‎ ‎ （II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。‎ 本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。‎ ‎（II）设直线AB的方程为 代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，‎ 记中点则 线段AB的中点N在直线上，‎ ‎，或 当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。‎ 直线AB的方程是或 ‎43．（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。‎ ‎（Ⅰ）、求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。‎ 点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。‎ 将代入，化简得·＝（2－x0）.‎ ‎∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，‎ 故点B在以MN为直径的圆内。‎ ‎44．（湖南卷）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.‎ ‎(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；‎ ‎(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.‎ 解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.‎ ‎（II）解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．‎ A y B O x 由消去得…①‎ 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, ‎ 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.‎ ‎　　由　消去y得. ………………②‎ 因为C2的焦点在直线上，所以.‎ ‎　或．‎ 由上知，满足条件的、存在，且或，．‎ 解法二： 设A、B的坐标分别为，．‎ 因为AB既过C1的右焦点，又过C2的焦点，‎ 所以.‎ 即. 　 ……①‎ 由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②‎ 且直线AB的方程是,‎ 所以. ……③‎ 又因为，所以. ……④ ‎ ‎45．（湖南卷）已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.‎ ‎（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；‎ ‎　（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.‎ 解　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 ‎ x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.‎ ‎ 因为点A在抛物线上，所以，即.‎ ‎ 此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.‎ ‎ （Ⅱ）解法一　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.‎ 由消去y得. ……①‎ 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,‎ 则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.‎ 解法二　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 为.‎ 由消去y得. 　　　　　　　 ……①‎ 因为C2的焦点在直线上，‎ 所以，即.代入①有.‎ 即. ……②‎ 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,‎ 则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.‎ 由消去y得. 　　……③‎ ‎ 解法三　设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,‎ 因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，‎ 所以.‎ 即. ……①‎ 由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率，　　 ……②‎ 且直线AB的方程是,‎ 所以. ……③‎ 又因为，所以. ……④ ‎ 将①、②、③代入④得，即.‎ 当时，直线AB的方程为；‎ 当时，直线AB的方程为.‎ ‎46．（江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.‎ ‎ （Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。‎ 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。‎ O P A F B D x y ‎47．（江西卷）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于 两点，为线段的中点．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若在的方程中，令，‎ ‎．设轨迹的最高点和最 低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？‎ 解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）‎ 上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则 ‎1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，‎ 由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0‎ ‎ ‎ 2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）‎ ‎2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）‎ 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0‎ ‎48．（辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为 ‎(I) 证明线段是圆的直径;‎ ‎(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。‎ ‎【解析】(I)证明1: ‎ 整理得: ‎ 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则 即 整理得:‎ 故线段是圆的直径 证明3: ‎ 整理得: ……(1)‎ 以线段AB为直径的圆的方程为 展开并将(1)代入得:‎ 故线段是圆的直径 ‎(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则 又因 所以圆心的轨迹方程为 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 当y=p时,d有最小值,由题设得 .‎ 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则 因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为 将(2)代入(3)得 解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则 圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则 又因 ‎49．（辽宁卷）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为．‎ ‎（1）证明线段是圆的直径；‎ ‎（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．‎ 解析：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。‎ ‎（I）证法一：‎ 即 整理得......................12分 设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则 即 展开上式并将①代入得 故线段是圆的直径。‎ 证法二：‎ 即，‎ 整理得①……3分 若点在以线段为直径的圆上，则 去分母得 点满足上方程，展开并将①代入得 所以线段是圆的直径.‎ ‎（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则 ‎，‎ 又 所以圆心的轨迹方程为：‎ 设圆心到直线的距离为，则 当时，有最小值，由题设得……14分 因为与无公共点.‎ 所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为 将②代入③，有…………14分 解法三：设圆的圆心为，则 若圆心到直线的距离为，那么 又 当时，有最小值时，由题设得 ‎50．（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：‎ ‎（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值。‎ ‎51．（全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。‎ 解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,‎ 所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2‎ ‎ =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .‎ 因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;‎ 若10)‎ ‎（2）直线ME的方程为 由得 同理可得 设重心G（x, y），则有 O A B P F ‎　‎ 消去参数得 ‎2．（江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.‎ ‎（1）求△APB的重心G的轨迹方程.‎ ‎（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ 解：（1）设切点A、B坐标分别为，‎ ‎∴切线AP的方程为：‎ ‎ 切线BP的方程为：‎ 解得P点的坐标为：‎ 所以△APB的重心G的坐标为 ，‎ 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：‎ 即 所以P点到直线BF的距离为：‎ 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.‎ ‎②当时，直线AF的方程：‎ 直线BF的方程：‎ 所以P点到直线AF的距离为：‎ 同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.‎ ‎ 3. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。‎ ‎ (1) 求双曲线C的方程；‎ ‎ (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ 而 于是 ②‎ 由①、②得 ‎ 故k的取值范围为 ‎4. (重庆卷) 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。‎ ‎ (1) 求双曲线C2的方程；‎ ‎ (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。‎ ‎ ‎ 解此不等式得 ③‎ 由①、②、③得 故k的取值范围为 ‎5. (浙江) 17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A‎1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A‎1F1|＝2∶1．‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．‎ ‎（II）设P(‎ 当时，‎ 当时, ‎ 只需求的最大值即可。‎ 直线的斜率，直线的斜率 当且仅当=时，最大，‎ ‎6. （天津卷）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；‎ ‎（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.‎ 设点的坐标为，由，则．‎ 将③式和⑥式代入上式得，即．‎ ‎∴线段的中点在轴上．‎ ‎（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．‎ 由③式知，代入得．‎ 将代入⑥式得，代入得．‎ 因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为 ‎，．‎ 于是，，‎ ‎．‎ 因为钝角且、、三点互不相同，故必有．‎ 求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即 ‎7. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.‎ ‎ 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.‎ ‎ (1)求抛物线方程;‎ ‎ (2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;‎ ‎ (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.‎ 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,‎ 当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.‎ 当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y‎-4m=0,‎ 圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1‎ ‎∴当m>1时, AK与圆M相离;‎ ‎ 当m=1时, AK与圆M相切;‎ ‎ 当m<1时, AK与圆M相交.‎ ‎8. （上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。‎ ‎ ‎ ‎(2) 直线AP的方程是－+6=0.‎ ‎ 设点M(,0),则M到直线AP的距离是.‎ ‎ 于是=,又－6≤≤6,解得=2.‎ ‎ 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ‎ ,‎ 由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值 ‎9. （山东卷）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.‎ ‎（I）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点 ‎（2）当时，由，得==‎ 将①式代入上式整理化简可得：，所以，‎ 此时，直线的方程可表示为即 所以直线恒过定点 所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.‎ ‎10. (全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。‎ ‎（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为 设，由已知得 ‎11. (全国卷Ⅰ) 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.‎ ‎ （1）求椭圆的离心率；‎ ‎ （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.‎ ‎ 解：设椭圆方程为 ‎ 则直线AB的方程为 ‎ 化简得.‎ ‎ 令则 ‎ ‎ 共线，得 又 ‎∴‎ ‎∴即，∴‎ ‎∴‎ 故离心率为 ‎ ‎ Q P N M F O ‎12. (全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．‎ 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1‎ 将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0‎ 设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则 从而 亦即 ‎②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2‎ 综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。‎ ‎13．(全国卷III) 设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，‎ ‎ （Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；‎ ‎ （Ⅱ）当时，求直线的方程.‎ 解：（Ⅰ）∵抛物线，即，‎ ‎∴焦点为………………………………………………………1分 ‎（1）直线的斜率不存在时，显然有………………………………3分 ‎（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b 即直线：y=kx+b 由已知得：‎ ‎……………5分 ‎ ‎……………7分 ‎ 即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分 ‎14、(全国卷III)‎ ‎ 设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。‎ ‎（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。‎ ‎21．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，‎ ‎ ∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0‎ ‎∴上述条件等价于 ‎∵‎ ‎∴上述条件等价于 即当且仅当时，经过抛物线的焦点。‎ ‎15.（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ‎ （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；‎ ‎ （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 ………………………3分 证法二：设点P的坐标为记 则 由 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ ‎ 当|时，由，得.‎ ‎ 又，所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为（），则 ‎ 因此 ①‎ ‎ 由得 ②‎ ‎ 将①代入②，可得 ‎ 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ‎ 当时，记，‎ ‎ 由知，所以…………14分 ‎16．（湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l 与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.‎ ‎ （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；‎ ‎ （Ⅱ）若，△PF‎1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF‎1F2是等腰三角形.‎ ‎ 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是 所以 因为点M在椭圆上，所以 ‎ 即 ‎ 解得 ‎ （Ⅱ）当时，，所以 由△MF‎1F2的周长为6，得 ‎ 所以 椭圆方程为 ‎ （Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF‎1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF‎1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F‎1F2|，即 ‎ 设点F1到l的距离为d，由 ‎ 得 所以 ‎ 即当△PF‎1F2为等腰三角形.‎ ‎17．（湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.‎ ‎ （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；‎ ‎ （Ⅱ）确定λ的值，使得△PF‎1F2是等腰三角形.‎ ‎（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.‎ ‎ 所以点M的坐标是（）. 由 即 ‎ （Ⅱ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF‎1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF‎1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F‎1F2|，即 ‎ 设点F1到l的距离为d，由 ‎ 得 所以 ‎ 即当△PF‎1F2为等腰三角形.‎ 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF‎1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF‎1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F‎1F2|，‎ 设点P的坐标是，‎ 则 由|PF1|=|F‎1F2|得 两边同时除以‎4a2，化简得 从而 于是. 即当时，△PF‎1F2为等腰三角形.‎ ‎18.．（湖北卷）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.‎ ‎ （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.‎ 解法2：设 依题意，‎ ‎（II）解法1：代入椭圆方程，整理得 ‎ ③‎ ‎③的两根，‎ 于是由弦长公式可得 ‎ ④‎ 故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.‎ ‎（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：‎ A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角 ‎ ⑧‎ 由⑥式知，⑧式左边=‎ 由④和⑦知，⑧式右边=‎ ‎ ‎ ‎∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆 ‎19. （福建卷）已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot ‎ ∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎（I）解法一：直线， ① ‎ 过原点垂直的直线方程为， ②‎ 解①②得 ‎∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ ‎（II）解法一：设M（），N（）.‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 点O到直线MN的距离 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 整理得 ‎ 当直线m垂直x轴时，也满足.‎ ‎ 故直线m的方程为 ‎ 或或 ‎ ‎ 经检验上述直线均满足.‎ 所以所求直线方程为 ‎ 或或 解法二：设M（），N（）.‎ ‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，‎ ‎ ∴|MN|=|ME|+|NE|‎ ‎=‎ ‎ 以下与解法一相同.‎ ‎ ∴=，整理得 ‎ ‎ 解得或 ‎ 故直线m的方程为或或 ‎ 经检验上述直线均满足 ‎ 所以所求直线方程为或或 ‎20.（北京卷）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．‎ ‎（I）分别用不等式组表示W1和W2；‎ ‎（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM‎1M2‎的重心与△OM‎3M4的重心重合．‎ ‎ （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M‎1M2‎，M‎3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM‎1M2‎，△OM‎3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，‎ ‎ 当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．‎ ‎ 由，得 ‎ 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且 ‎△=>0‎ 设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，‎ 则, , ‎ 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， ‎ 由得 从而，‎ 所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,‎ ‎ 于是△OM‎1M2‎的重心与△OM‎3M4的重心也重合．‎ ‎（21）（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．‎ ‎（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ 所以重心为G的轨迹方程为 ‎（II）‎ 由（I）得 当且仅当即时，等号成立。‎ 所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；‎ ‎【2004高考试题】‎ ‎ ‎ ‎2.（湖北）‎ ‎ 直线的右支交于不同的两点A、B.‎ ‎（I）求实数k的取值范围；‎ ‎（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得 ‎……②‎ ‎3. （湖南）‎ 如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.‎ ‎（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；‎ ‎（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.‎ 解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ‎ ‎ ①‎ 设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.‎ 所以 ‎ 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，‎ 得 又点Q是点P关于原点的对称点，‎ 故点Q的坐标是（0，－m），从而.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎4.（重庆）‎ 设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程 Y 解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.‎ 又设，则其坐标满足 消去x得 ‎ 由此得 ‎ 因此.‎ 故O必在圆H的圆周上.‎ 又由题意圆心H（）是AB的中点，故 ‎ ‎ ‎ 由前已证，OH应是圆H的半径，且.‎ ‎ 从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.‎ ‎ 此时，直线AB的方程为：x=2p.‎ ‎ 解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x ‎－2p ‎ 又设，则其坐标满足 ‎ 分别消去x，y得 ‎ 故得A、B所在圆的方程 ‎ 明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，‎ ‎ ‎ ‎【2003高考试题】‎ ‎67.（2003上海春，21）设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.‎ ‎（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；‎ 图8—2‎ ‎（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.‎ ‎68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F1、F2为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF‎1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．‎ ‎69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F‎2A|、|F2B|、|F‎2C|成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；‎ ‎（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．‎ ‎70.（2002全国理，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为‎2m，到x轴、y轴距离之比为2．求m的取值范围．‎ 图8—3‎ ‎71.（2002北京，21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．如图8—3.‎ ‎（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；‎ ‎（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．‎ ‎72.（2002江苏，20）设A、B是双曲线x2＝1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求直线AB的方程；‎ ‎（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?‎ ‎73.（2002上海，18）已知点A（，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x－2交于D、E两点，求线段DE的长．‎ ‎74.（2001京皖春，22）已知抛物线y2＝2px（p＞0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p.‎ ‎（Ⅰ）求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.‎ ‎75.（2001上海文，理，18）设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．‎ ‎76.（2001全国文20，理19）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.‎ ‎77.（2001上海春，21）已知椭圆C的方程为x2+=1，点P（a，b）的坐标满足a2+≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：‎ ‎（1）点Q的轨迹方程；‎ ‎（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.‎ ‎78.（2001广东河南21）已知椭圆+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴.‎ 求证：直线AC经过线段EF的中点.‎ 图8—4‎ ‎79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A、F分别是椭圆＝1的一个顶点与一个焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t，0）与F的连线交射影OA于Q．求：‎ ‎（1）点A、F的坐标及直线TQ的方程；‎ ‎（2）△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f（t）及其函数的最小值；‎ ‎（3）写出S=f（t）的单调递增区间，并证明之．‎ ‎80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A和B为抛物线y2＝4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．‎ ‎81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CＤ|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．‎ 图8—5 图8—6 图8—7‎ ‎82.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线离心率．‎ 图8—8‎ ‎83.（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．‎ ‎84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.‎ 注：文科题设还有条件a≠1‎ ‎85.（1999上海，22）设椭圆C1的方程为=1（a＞b＞0），曲线C2的方程为y=，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.‎ ‎（Ⅰ）试用a表示点P的坐标.‎ ‎（Ⅱ）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S（a）的值域；‎ ‎（Ⅲ）设min｛y1，y2，…，yn｝为y1，y2，…，yn中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表达式.‎ ‎86.（1998全国理，24）设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（）对称；‎ ‎（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0.‎ 图8—9‎ ‎87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l1和l2相交于点M，‎ l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.‎ ‎88.（1998上海理，20）（1）动直线y=a与抛物线y2=（x－2）相交于A点，动点B的坐标是（0，‎3a），求线段AB中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点D（2，0）的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角α的值.‎ ‎89.（1997上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.‎ ‎（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；‎ ‎（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；‎ ‎（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，求此直线的方程；‎ ‎（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的值的范围.‎ ‎90.（1996全国理，24）已知l1、l2是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.‎ ‎（Ⅰ）求l1的斜率k1的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）（理）若|A1B1|＝|A2B2|，求l1、l2的方程.‎ 图8—10‎ ‎（文）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.‎ ‎91.（1996上海，23）已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k.‎ ‎（1）求双曲线S的方程；‎ ‎（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；‎ ‎（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标，如图8—10.‎ 图8—11‎ ‎92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，‎ ‎＝1，直线L：＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.‎ ‎93.（1995上海，24）设椭圆的方程为＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，‎ ‎（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；‎ ‎（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，］上变化时，求S的最小值u；‎ ‎（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范围.‎ ‎94.（1995全国文，26）已知椭圆=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.‎ ‎95.（1994全国理，24）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（－1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.‎ ‎96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.‎ ‎●答案解析 ‎1.答案：D 解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：.因为a＞b＞0，因此，＞0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项.‎ 解析二：将方程ax+by2=0中的y换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.‎ 评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.‎ ‎3.答案：A 解析：由第一定义得，|PF1|+|PF2|为定值 ‎∵|PQ|=|PF2|，‎ ‎∴|PF1|+|PQ|为定值，即|F1Q|为定值.‎ ‎5.答案：D 解析：∵θ∈（0，），∴sinθ∈（0，），‎ ‎∴a2=tanθ，b2=cotθ ‎∴c2=a2+b2=tanθ+cotθ，‎ ‎∴e2=，∴e=，‎ ‎∴e∈（，+∞）‎ ‎7.答案：D 解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ‎∴d=|x|+|y|=|cosθ|+|sinθ|‎ 设θ∈［0，］‎ ‎∴d=sinθ+cosθ=sin（θ+）‎ ‎∴dmax=.‎ 图8—12‎ ‎8.答案：B 解法一：将曲线方程化为一般式：y2=4x ‎∴点P（1，0）为该抛物线的焦点 由定义，得：曲线上到P点，距离最小的点为抛物线的顶点.‎ 解法二：设点P到曲线上的点的距离为d ‎∴由两点间距离公式，得 d2=（x－1）2+y2=（t2－1）2+4t2=（t2+1）2‎ ‎∵t∈R ∴dmin2=1 ∴dmin=1‎ ‎9.答案：C 解析：由F1、F2的坐标得‎2c＝3－1，c＝1，‎ 又∵椭圆过原点a－c＝1，a＝1＋c＝2，‎ 又∵e＝，∴选C.‎ ‎10.答案：B 解析：设点Q的坐标为（，y0），‎ 由 |PQ|≥|a|，得y02+（－a）2≥a2.‎ 整理，得：y02（y02+16－‎8a）≥0，‎ ‎∵y02≥0，∴y02+16－‎8a≥0.‎ 即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.‎ ‎∴a≤2.选B.‎ ‎13.答案：C 解析：渐近线方程为y=±x，由·（－）＝－1，得a2＝b2，‎ ‎∴c＝a，e＝．‎ ‎14.答案：B 解析：y=－x2的标准式为x2＝－y，∴p＝，焦点坐标F（0，－）．‎ ‎15.答案：D 解析：x=化为x2＋3y2＝1（x＞0）．‎ ‎16.答案：D 解析：由已知xy=1可知x、y同号且不为零，而A、B、C选项中尽管都满足xy=1，但x、y的取值范围与已知不同.‎ ‎17.答案：A ‎ 解析：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A.‎ 评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向.‎ ‎20.答案：B ‎ 解法一：由已知得t＝，代入y＝1－t2中消去t，得y＝1，故选B.‎ 解法二：令t＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B适合，故选B.‎ 评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力．‎ ‎21.答案：C 解析：由已知得方程为=1‎ 由于θ∈（，π），因此sinθ＞0，cosθ＜0，且|sinθ|＜|cosθ|‎ ‎∴原方程表示长轴在y轴上的椭圆.‎ ‎22.答案：C 解析：原方程化为=1‎ 由于k＞1，因此它表示实轴在y轴上的双曲线.‎ ‎25.答案：D ‎ 解析：R中不存在x，使得f（x）≤g（x），即是R中的任意x都有f（x）>g（x），‎ 故选D.‎ ‎26.答案：B ‎ 解析：可得a＝3，b＝5，c＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.‎ 评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力．‎ ‎27.答案：B 解析：把已知方程化为=1，∴a=5，b=3，c=4‎ ‎∵椭圆的中心是（3，－1），‎ ‎∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.‎ ‎28.答案：A 解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为c，则有，‎ 又c2=a2+b2，∴4ab=c2，两边平方，得‎16a2（c2－a2）=‎3c4，两边同除以a4‎ ‎，并整理，得3e4－16e2+16=0‎ ‎∴e2=4或e2=.‎ 而0＜a＜b，得e2=＞2，∴e2=4.故e=2.‎ 评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.‎ ‎30.答案：C ‎ 解法一：将双曲线方程化为标准形式为x2－＝1，其焦点在x轴上，且a=1，b=，故其渐近线方程为y＝±x＝±x，所以应选C.‎ 解法二：由3x2－y2＝0分解因式得y＝±x，此方程即为3x2－y2＝3的渐近线方程，故应选C.‎ 评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质.‎ ‎31.答案：D ‎ 解析：原方程可变为＝1，因为是焦点在y轴的椭圆，所以，解此不等式组得0