【数学】2018届一轮复习北师大版合情推理与演绎推理学案 12页

第3讲　合情推理与演绎推理 ‎)‎ ‎1．推理 ‎(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．‎ ‎(2)分类：推理 ‎2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 ‎3.演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．‎ ‎(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(3)模式：‎ 三段论 ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．‎ ‎(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．‎ ‎2．把握合情推理与演绎推理的三个特点 ‎(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．‎ ‎(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．‎ ‎(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，‎ 如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．‎ ‎1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(　　)‎ A．28　　　　　　　　　　　　 B．32‎ C．33 D．27‎ ‎　B　 由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32.‎ ‎2．推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是(　　)‎ A．①　　 B．②‎ C．③ D．①和②‎ ‎　B　 由演绎推理三段论可知，①是大前提，②是小前提，③是结论．‎ ‎3. 已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．an＝3n－1　　 B．an＝4n－3‎ C．an＝n2 D．an＝3n－1‎ ‎　C　 由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则 a2＝a1＋2×2－1＝4；‎ a3＝a2＋2×3－1＝9；‎ a4＝a3＋2×4－1＝16；‎ 所以an＝n2.‎ ‎4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ ‎ ＝＝·＝×＝.‎ ‎ 1∶8‎ ‎　归纳推理(高频考点)‎ 归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题．‎ 高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：‎ ‎(1)与数字(数列)有关的等式的推理；‎ ‎(2)与不等式(式子)有关的推理；‎ ‎(3)与图形变化有关的推理．‎ ‎　(1)(2016·高考山东卷)观察下列等式：‎ ＋＝×1×2；‎ ＋＋＋＝×2×3；‎ ＋＋＋…＋＝×3×4；‎ ＋＋＋…＋＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ ＋＋＋…＋＝__________．‎ ‎(2)(2017·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．‎ n级分形图中共有_ _______ 条线段．‎ ‎【解析】　(1)根据已知，归纳可得结果为n(n＋1)．‎ ‎(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二级分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．‎ ‎【答案】　(1)n(n＋1)　(2)3×2n－3(n∈N*)‎ 归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律．‎ ‎(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律．‎ ‎(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论．　 ‎ ‎ 角度一　与数字(数列)有关的等式的推理 ‎1．有一个奇数组成的数阵排列如下：‎ ‎1　 3　 7　 13　21　…‎ ‎5　 9　 15　23　…　…‎ ‎11　17　25　…　…　…‎ ‎19　27　…　…　…　…‎ ‎29　…　…　…　…　…‎ ‎…　…　…　…　…　…‎ 则第30行从左到右第3个数是________．‎ ‎ 观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.‎ ‎ 1 051‎ ‎ 角度二　与不等式(式子)有关的推理 ‎2．(2017·山东省滕州第二中学模拟)在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在凸四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在凸五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，…，依此类推，在凸n边形A1A2…An中，不等式＋＋…＋≥________成立．‎ ‎ 因为＋＋≥＝，＋＋＋≥＝，＋＋＋＋≥＝，…，‎ 所以＋＋…＋≥(n∈N*，n≥3)．‎ ‎ (n∈N*，n≥3)‎ ‎ 角度三　与图形变化有关的推理 ‎3．我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．则f(n)的表达式为(　　)‎ A．f(n)＝2n－1　　　　　　 B．f(n)＝2n2‎ C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1‎ ‎　D　 我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1. ‎ ‎　类比推理 ‎　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.‎ 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．‎ ‎【解】　如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.‎ 设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.‎ 类似地，在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S成立．‎ ‎ 若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2 A＋cos2 B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．‎ ‎ 如图，在Rt△ABC中，‎ cos2A＋cos2B＝＋＝＝1.‎ 于是把结论类比到四面体PA′B′C′中，我们猜想，四面体PA′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. ‎ ‎　 ‎ ‎　(2017·杭州模拟)已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，bn＝(n∈N*)，则数列{bn}也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．‎ ‎ 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，‎ bn＝(n∈N*)，‎ 则数列{bn}也是等差数列．‎ 证明如下：设等差数列{an}的公差为d，‎ 则bn＝＝ ‎＝a1＋(n－1)，‎ 所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．‎ ‎　演绎推理 ‎　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ ‎【证明】　(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.‎ 故＝2·，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ 所以Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1‎ ‎＝4an(n≥2)．(大前提)‎ 又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)‎ 所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论) ‎ 演绎推理的推证规则 ‎(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；‎ ‎(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．　 ‎ ‎　已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．‎ ‎ 设x1，x2∈R，取x1x1f(x2)＋x2f(x1)，‎ 所以x1＋x2>0，‎ ‎(x2－x1)>0，‎ 因为x10，f(x2)>f(x1)．‎ 所以y＝f(x)为R上的单调增函数．‎ ‎)‎ ‎——例析归纳推理中的创新问题 ‎　设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1，2，3，….若b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)‎ A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎【解析】　在△A1B1C1中，b1>c1，b1＋c1＝2a1，‎ 所以b1>a1>c1.‎ 在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝，c2＝，b2＋c2＝2a1，‎ 所以c12，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有________．‎ ‎ 因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.‎ ‎ f(2n)>(n≥2，n∈N*)‎ ‎9．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．‎ ‎ 类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.‎ ‎ －＝1‎ ‎10．某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是________．‎ ‎①今天是周六　　　　　　②今天是周四 ‎③A车周三限行 ④C车周五限行 ‎ 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四．‎ ‎ ②‎ ‎11．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，∈D均满足f≥，当且仅当x＝y时等号成立．‎ ‎(1)若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)＋f(5)与2f(4)的大小；‎ ‎(2)设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.‎ ‎ (1)对于f≥，令x＝3，y＝5得f(3)＋f(5)≤2f(4)．‎ ‎(2)证明：g－ ‎＝－＋＝≥0，‎ 所以g≥，‎ 所以g(x)∈M.‎