2020高中数学第3章不等式第四节基本不等式1 基本不等式的证明习题苏教版必修5 3页

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2021-06-30 发布

2020高中数学第3章不等式第四节基本不等式1 基本不等式的证明习题苏教版必修5

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基本不等式的证明 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎1. 已知下列不等式①x＋≥2 ②x2＋≥2 ③x＜0，x＋≤－2 ④x＞0，x＋≥2‎ 其中不等式成立的是。（填写序号即可）‎ ‎*2. 下列不等式的推导过程正确的是________。（填序号）‎ ‎①若a，b∈R，则＋≥2＝2；‎ ‎②若x＞0，则 cos x＋＝2； ‎ ‎③若x＜0，则＝4； ‎ ‎④若a，b∈R，且ab＜0，则＋＝－[（－）＋（－）]≤－2＝-2。‎ ‎*3. 若0>>b ② b>>>a ‎③ b>>>a ④ b>a>>‎ ‎4. 若a<1，则a＋有最______（填“大”或“小”）值，为________。‎ ‎*5. 若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________。‎ ‎6. 已知m＝a＋（a＞2），n＝22－b2（b≠0），则m，n之间的大小关系是________。‎ ‎**7.（新课标Ⅱ）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎（1）ab＋bc＋ca≤；（2） ≥1。‎ ‎**8.（苏州市期末）已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，‎ 求证：（ax＋by）（bx＋ay）≥xy。‎ ‎***9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：‎ ‎（1）≥8；‎ ‎（2）≥9。‎ 3‎ ‎1. ② ③ ④‎ 解析：①中，若x＜0，则结论不成立；‎ ‎②中，，成立；‎ ‎③，成立；‎ ‎④，成立。‎ ‎2. ④‎ 解析：对于①，不能确定与均为正数，不能使用基本不等式，同理，知②也不正确。对于③，x与均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误。对于④，将负数与分别转化为正数－，－，然后再利用基本不等式求解，所以正确。故填④。‎ ‎3. ③‎ 解析：∵0a＋b，∴b>。‎ ‎∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a，故b>>>a。‎ ‎4. 大　－1‎ 解析：∵a<1，∴a－1<0，‎ ‎∴－＝（1－a）＋≥2（a＝0时取等号）， ‎ ‎∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1。‎ ‎5. ‎ 解析：∵x>0，∴>0，易知a>0，‎ ‎∴≥，∴≤x＋＋3，‎ ‎∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5（x＝1时取等号），‎ ‎∴≤5，∴a≥。‎ ‎6. m＞n 解析：m＝a＋＝（a－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝‎ 3‎ ‎，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞），由b≠0，得b2≠0，‎ ‎∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈（0,4），综上易得m＞n。‎ ‎7. 证明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。‎ 由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ 所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤。‎ ‎（2）因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c，‎ 所以＋＋≥1。‎ ‎8. 证明：∵a，b，x，y都是正数，‎ ‎∴（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋xy（a2＋b2）‎ ‎≥ab（2xy）＋xy（a2＋b2）‎ ‎＝（a＋b）2xy，‎ ‎∵a＋b＝1，∴（a＋b）2xy＝xy，‎ ‎（ax＋by）（bx＋ay）≥xy成立。‎ ‎9. 证明：（1）， ‎ ‎∵a＋b＝1，a>0，b>0，‎ ‎∴＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ ‎∴＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）．‎ ‎（2）方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴1＋＝1＋＝2＋， ‎ 同理，1＋＝2＋，‎ ‎∴≥5＋4＝9，‎ ‎∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立），‎ 方法二　，‎ 由（1）知，，故≥9。‎ 3‎

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