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  • 2021-06-30 发布

高中数学-求数列通项公式的十种方法

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求数列通项公式的十一种方法 总述:一.利用递推关系式求数列通项的11种方法:‎ 累加法、‎ 累乘法、‎ 待定系数法、‎ 阶差法(逐差法)、‎ 迭代法、‎ 对数变换法、‎ 倒数变换法、‎ 换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、‎ 数学归纳法、‎ 不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、‎ 特征根法 二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。‎ ‎ 三 .求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。‎ ‎ 四.求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。‎ ‎ 五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。‎ 一、累加法 ‎ ‎1.适用于: ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。‎ ‎2.若,‎ 则 ‎ 两边分别相加得 ‎ 例1 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:由得则 所以数列的通项公式为。‎ 例2 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解法一:由得则 所以 解法二:两边除以,得,‎ 则,故 因此,‎ 则 练习1.已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式. 答案:‎ 练习2.已知数列满足,,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 ‎ 评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.‎ ①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;‎ ②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;‎ ③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;‎ ④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。‎ 例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.‎ 解:由已知得,‎ 化简有,由类型(1)有,‎ 又得,所以,又,,‎ 则 此题也可以用数学归纳法来求解.‎ 二、累乘法 ‎ ‎1.○。 ------------适用于: ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。‎ ‎2.若,则 两边分别相乘得,‎ 例4 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:因为,所以,则,故 所以数列的通项公式为 例5.设是首项为1的正项数列,且(=1,2, 3,…),则它的通项公式是=________.‎ 解:已知等式可化为:‎ ‎()(n+1), 即 时,‎ ‎==.‎ 评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.‎ 练习.已知,求数列{an}的通项公式.‎ 答案:-1.‎ 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为 若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.‎ 三、待定系数法 适用于 ‎ 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。‎ ‎1.形如,其中)型 ‎(1)若c=1时,数列{}为等差数列;‎ ‎(2)若d=0时,数列{}为等比数列;‎ ‎(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.‎ 待定系数法:设,‎ 得,与题设比较系数得 ‎,所以所以有:‎ 因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,‎ 所以 即:.‎ 规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.‎ 例6已知数列中,,求数列的通项公式。‎ 解法一:‎ ‎ ‎ ‎ 又是首项为2,公比为2的等比数列 ‎ ,即 解法二:‎ ‎ ‎ ‎ 两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……‎ 练习.已知数列中,求通项。‎ 答案:‎ ‎2.形如: (其中q是常数,且n0,1) ‎ ①若p=1时,即:,累加即可.‎ ②若时,即:,‎ 求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列 即: ,令,则,然后类型1,累加求通项.‎ ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。‎ ‎ 即: ,‎ 令,则可化为.然后转化为类型5来解,‎ iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.‎ 注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。‎ 例7已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解法一(待定系数法):设,比较系数得,‎ 则数列是首项为,公比为2的等比数列,‎ 所以,即 解法二(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略 解法三(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略 练习.(2003天津理)‎ 设为常数,且.证明对任意≥1,;‎ ‎3.形如 (其中k,b是常数,且)‎ 方法1:逐项相减法(阶差法)‎ 方法2:待定系数法 通过凑配可转化为 ; ‎ 解题基本步骤:‎ ‎1、确定=kn+b ‎2、设等比数列,公比为p ‎3、列出关系式,即 ‎4、比较系数求x,y ‎5、解得数列的通项公式 ‎6、解得数列的通项公式 例8 在数列中,求通项.(逐项相减法)‎ 解:, ①‎ 时,,‎ 两式相减得 .令,则 利用类型5的方法知 即 ②‎ 再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.‎ 例9. 在数列中,,求通项.(待定系数法)‎ 解:原递推式可化为 比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 所以是一个等比数列,首项,公比为. 即:‎ 故.‎ ‎4.形如 (其中a,b,c是常数,且)‎ 基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。‎ 例10 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:设 ‎ 比较系数得, ‎ 所以 ‎ 由,得 则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。‎ ‎5.形如时将作为求解 分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。‎ 例11 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:设 ‎ 比较系数得或,不妨取,(取-3 结果形式可能不同,但本质相同)‎ 则,则是首项为4,公比为3的等比数列 ‎,所以 练习.数列中,若,且满足,求.‎ 答案: .‎ 四、迭代法 (其中p,r为常数)型 例12 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:因为,所以 又,所以数列的通项公式为。‎ 注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。‎ 例13.(2005江西卷)‎ 已知数列,‎ ‎(1)证明 (2)求数列的通项公式an.‎ 解:(1)略(2)所以 ‎ 又bn=-1,所以.‎ 方法2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法3:设c,则c,转化为上面类型(1)来解 五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0, ‎ 例14. 设正项数列满足,(n≥2).求数列的通项公式.‎ 解:两边取对数得:,,设,则 是以2为公比的等比数列, ,,,∴‎ 练习 数列中,,(n≥2),求数列的通项公式. ‎ 答案:‎ 例15 已知数列满足,,求数列的通项公式。‎ 解:因为,所以。‎ 两边取常用对数得 ‎ 设 (同类型四)‎ 比较系数得, ‎ 由,得,‎ 所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此 则。‎ ‎ ‎ 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例16 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,‎ 七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:令,则 代入得 即 因为, ‎ 则,即,‎ 可化为,‎ 所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得 ‎。 ‎ 八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。‎ 例18 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:由及,得 由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。‎ ‎(1)当时,,所以等式成立。‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,则当时,‎ 由此可知,当时等式也成立。‎ 根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。‎ 九、阶差法(逐项相减法) ‎ ‎ 1、递推公式中既有,又有 ‎ 分析:把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。‎ 例19 已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。‎ 解:∵对任意有 ⑴‎ ‎∴当n=1时,,解得或 当n≥2时, ⑵‎ ⑴-⑵整理得:‎ ‎∵各项均为正数,∴‎ 当时,,此时成立 当时,,此时不成立,故舍去 所以 ‎ 练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.‎ 答案: ‎ ‎2、对无穷递推数列 例20 已知数列满足,求的通项公式。‎ 解:因为 ①‎ 所以 ②‎ 用②式-①式得 则 故 所以 ③‎ 由,,则,又知,则,代入③得。‎ 所以,的通项公式为 ‎ 十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法 不动点的定义:函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。‎ 分析:由求出不动点,在递推公式两边同时减去,在变形求解。‎ 类型一:形如 例21 已知数列中,,求数列的通项公式。‎ 解:递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1‎ ‎∴,……‎ 类型二:形如 分析:递归函数为 ‎(1)若有两个相异的不动点p,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,∴‎ ‎(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。‎ 例22. 设数列满足,求数列的通项公式.‎ 分析:此类问题常用参数法化等比数列求解.‎ 解:对等式两端同时加参数t,得:‎ ‎,‎ 令, 解之得t=1,-2 代入得 ‎,,‎ 相除得,即{}是首项为,‎ 公比为的等比数列, =, 解得.‎ 方法2:‎ ‎,‎ 两边取倒数得,‎ 令b,则b,转化为累加法来求. ‎ 例23 已知数列满足,求数列的通项公式。‎ 解:令,得,则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。‎ 练习1:已知满足,求的通项 答案:‎ 练习2。已知数列满足,求数列的通项 答案:‎ 练习3.(2009陕西卷文)‎ 已知数列满足, .‎ 令,证明:是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求的通项公式。‎ 答案:(1)是以1为首项,为公比的等比数列。(2)。‎ 十一。特征方程法 形如是常数)的数列 ‎ 形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为…①‎ 若①有二异根,则可令是待定常数)‎ 若①有二重根, 则可令是待定常数)‎ 再利用可求得,进而求得 例24 已知数列满足,求数列的通项 解:其特征方程为,解得,令,‎ 由,得, ‎ 例25 已知数列满足,求数列的通项 解:其特征方程为,解得,令,‎ 由,得, ‎ 练习1.已知数列满足,求数列的通项 练习2.已知数列满足 ‎,求数列的通项 说明:(1)若方程有两不同的解s , t,‎ 则, ,‎ 由等比数列性质可得, ,‎ 由上两式消去可得.‎ ‎(2)若方程有两相等的解,则 ‎,‎ ‎,即是等差数列,‎ 由等差数列性质可知,‎ 所以 ‎ 例26、数列满足,且求数列的通项。‎ 解:……①‎ 令,解得,将它们代回①得,‎ ‎……②,……③,‎ ‎③÷②,得,‎ 则,∴数列成等比数列,首项为1,公比q=2‎ 所以,则,‎ 十二、四种基本数列 ‎1.形如型 等差数列的广义形式,见累加法。‎ ‎2.形如型 等比数列的广义形式,见累乘法。‎ ‎3.形如型 ‎(1)若(d为常数),则数列{}为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;‎ ‎(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,,分奇偶项来分求通项.‎ 例27. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.‎ 分析 1:构造 转化为型 解法1:令 则.‎ 时,各式相加:‎ 当n为偶数时,. 此时 当n为奇数时,‎ 此时,所以.故 解法2:‎ 时,,两式相减得:.‎ 构成以,为首项,以2为公差的等差数列;‎ 构成以,为首项,以2为公差的等差数列 ‎ .‎ ‎ 评注:结果要还原成n的表达式.‎ ‎(江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn-Sn-2=3求数列{an}的通项公式.‎ 解:方法一:因为 ‎ 以下同上例,略 ‎ 答案 ‎ ‎4.形如型 ‎(1)若(p为常数),则数列{}为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;‎ ‎(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过逐差法得,两式相除后,分奇偶项来分求通项.‎ 例29. 已知数列,求此数列的通项公式.‎ 注:同上例类似,略.‎ ‎5.形如型 ‎(1)若是常数,同题型1.‎ ‎(2)若是一次式同题型1‎ ‎(3)若是二次式。‎ 例1.(陕西理20)已知正项数列,其前n项和S 满足成等比数列,且10 S= ,求数列的通项公式.‎ 解:∵10 S= ①‎ ‎∴‎ 又10 S=(2), ②‎ ① - ②,得,‎ 即.‎ ‎∵∴.‎ 当.此时不成等比数列,∴.‎ 当.此时有.∴.‎ ‎∴.‎ 评注:该题用即的关系, .‎ 消去,也可用的方法求出.‎ 例2.(重庆理科21)已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列满足,并记为的前项和,‎ 求证:.‎ 解:(I)解由,解得或,‎ 由假设,因此,‎ 又由,‎ 得,即或,‎ 因,故不成立,舍去 ‎ 因此,从而是公差为,首项为的等差数列,‎ 故的通项为.‎ ‎(II)证法一:由可解得;‎ 从而.‎ 因此.‎ 令,‎ 则.‎ 因,故.‎ 特别地,从而.‎ 即.‎ 证法二:同证法一求得及,‎ 由二项式定理知,当时,不等式成立.‎ 由此不等式有 证法三:同证法一求得及. ‎ 令,.‎ 因.‎ 因此.‎ 从而 ‎.‎ 证法四:同证法一求得及.‎ 下面用数学归纳法证明:.‎ 当时,,,‎ 因此,结论成立.‎ 假设结论当时成立,即.‎ 则当时,‎ ‎;‎ 因.故.‎ 从而.这就是说,当时结论也成立.‎ 综上对任何成立.‎ 例3.(全国理科2)设函数.数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)证明:函数在区间是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)设,整数.证明:.‎ 解:(Ⅰ)证明:,‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数.‎ ‎(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,‎ ‎.‎ 由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间 是增函数,,即成立;‎ ‎(ⅱ)假设当时,成立,即 那么当时,由在区间是增函数,得:‎ ‎.而,则,‎ ‎,也就是说当时,也成立;‎ 根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.‎ ‎ (Ⅲ)证明:由.可得:‎ ‎.‎ ‎1、若存在某满足,则.‎ ‎2、若对任意都有,则:‎ ‎ ‎ 成立.‎ 例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.‎ 解:由已知得,‎ 化简有,由类型(1)有,‎ 又得,所以,又,,‎ 则.‎ 6. 形如 例1.(湖南理科)(本小题满分12分)‎ 数列 ‎(Ⅰ)求并求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设证明:当 ‎ 解 (Ⅰ)因为 一般地,当时,‎ ‎=,即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此 当时,‎ 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此 故数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①-②得,‎ 所以 要证明当时,成立,只需证明当时,成立.‎ ‎  证法一(1)当n = 6时,成立.‎ ‎ (2)假设当时不等式成立,即 则当n =k+1时,‎ 由(1)、(2)所述,当6时,,即当6时,‎ 证法二 ‎ 令,则 ‎ 所以当时,.因此当时,.‎ 于是当时,.综上所述,当时,.‎ ‎7. 形如型 例1.(重庆理科22)设各项均为正数的数列{}满足.‎ ‎(Ⅰ)若,求,并猜想的值(不需证明);‎ ‎(Ⅱ)记对2恒成立,求的值及数列{bn}的通项公式.‎ 解:(Ⅰ)因 , ‎ ‎ 由此有,‎ 故猜想的通项为.∴‎ ‎ (Ⅱ)令.‎ ‎ 由题设知x1=1且 ,  ①‎ ‎   ②‎ ‎ 因②式对n=2成立,有   ③‎ ‎ 下面用反证法证明:‎ ‎ 由①得. ‎ ‎ 因此数列是首项为,公比为的等比数列.故 ‎ ④‎ ‎ 又由①知 ‎ ‎ 因此是是首项为,公比为-2的等比数列,所以 ‎ ⑤‎ ‎ 由④-⑤得 ⑥‎ ‎ 对n求和得 ⑦‎ 由题设知 ‎ ‎ 即不等式22k+1<,对恒成立.但这是不可能的,矛盾.‎ 因此x2,结合③式知2 =,‎ 因此代入⑦式得Sn = 2-(),‎ 所以bn = = ()‎ ‎8. 形如= 0型 例1.(2008年天津理科22)在数列与中,,数列的前项和满足,为与的等比中项,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求数列与的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)设.证明.‎ 本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分 解:(Ⅰ)由题设有,,解得.由题设又有,,解得.‎ ‎(Ⅱ)解法一:由题设,,,及,,进一步可得,,,,‎ 猜想,,.‎ 先证,.‎ 当时,,等式成立.当时用数学归纳法证明如下:‎ ‎(1当时,,等式成立.‎ ‎(2)假设时等式成立,即,.‎ 由题设,   ‎ ‎     ‎①的两边分别减去②的两边,整理得,从而 ‎.‎ 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的成立.‎ 综上所述,等式对任何的都成立 再用数学归纳法证明,.‎ ‎(1)当时,,等式成立.‎ ‎(2)假设当时等式成立,即,那么.‎ 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 对任何的都成立. ‎ 解法二:由题设  ‎ ‎      ‎①的两边分别减去②的两边,整理得,.所以 ‎ , ,…… ,.‎ 将以上各式左右两端分别相乘,得,‎ 由(Ⅰ)并化简得,.‎ 止式对也成立.‎ 由题设有,所以,‎ 即,.‎ 令,则,即.‎ 由得,.所以,即,.‎ 解法三:由题设有,,‎ 所以,,……,.‎ 将以上各式左右两端分别相乘,得,化简得 ‎,.‎ 由(Ⅰ),上式对也成立.所以,.‎ 上式对时也成立.‎ 以下同解法二,可得,.‎ ‎(Ⅲ)证明:‎ ‎.‎ 当,时, ‎ ‎.‎ 注意到,‎ ‎ .‎ 当,时,‎ 当,时,‎ ‎.‎ 当,时,‎ ‎.‎ 所以.‎ 从而时,有 总之,当时有,即 ‎