- 1.81 MB
- 2021-06-30 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2012高考真题分类汇编:数列
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中,,则的前5项和=
A.7 B.15 C.20 D.25
【答案】B
【解析】因为,,所以,所以数列的前5项和,选B.
2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和,则下列命题错误的是
A.若d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项
B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则d<0
C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意,均有
D. 若对任意,均有,则数列﹛Sn﹜是递增数列
【答案】C
【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n}是递增数列,但是S n>0不成立.故选C。
3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列,,,则( )
【答案】D
【解析】因为为等比数列,所以,又,所以或.若,解得,;若,解得,仍有,综上选
D.
4.【2012高考真题上海理18】设,,在中,正数的个数是( )
A.25 B.50 C.75 D.100
【答案】D
【解析】当1≤≤24时,>0,当26≤≤49时,<0,但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值,当51≤≤74时,>0,当76≤≤99时,<0,但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值,∴当1≤≤100时,均有>0。
5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=
(A)58 (B)88 (C)143 (D)176
【答案】B
【解析】在等差数列中,,答案为B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。
6.【2012高考真题四川理12】设函数,是公差为的等差数列,,则( )
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】,即
,而是公差为的等差数列,代入,即
,不是的倍数,.
,故选D.
7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数
,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:
①; ②; ③; ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为
A. ① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④
【答案】C
【解析】等比数列性质,,①; ②;③;④.选C
8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B.
【解析】由等差中项的性质知,又.故选B.
9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数,且,则=( )
【答案】B
【解析】.
10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由,得,所以,所以
,又,选A.
二、填空题
11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=______________。
【答案】
【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.
即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).
12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数,例如,,,。设为正整数,数列满足,,现有下列命题:
①当时,数列的前3项依次为5,3,2;
②对数列都存在正整数,当时总有;
③当时,;
④对某个正整数,若,则。
其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)
【答案】①③④
【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力,难度较大.
【解析】当时, ,,故①正确;同样验证可得③④正确,②错误.
13.【2012高考真题新课标理16】数列满足,则的前项和为
【答案】1830
【解析】由得,
,
即,也有,两式相加得,设为整数,
则,
于是
14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列{an}为递增数列,且,则数列{an}的通项公式an =______________。
【答案】
【解析】
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。
15.【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列,若,,则__________。
【答案】35
【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。
【解析】设数列的公差分别为,则由,得,即,所以,
所以。
16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若,,则=_______。
【答案】,
【解析】因为,
所以,。
17.【2012高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1,,则an=____.
【答案】
【解析】由得到,即,应为{an}是递增的等差数列,所以,故。
18.【2012高考真题重庆理12】 .
【答案】
【解析】
19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则 。
【答案】。
【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以1为首项,为公比的等比数列,
∴++…+==,∴。
20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式,前n项和为Sn,则S2012=___________.
【答案】3018.
【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法,以及余弦函数的周期性,同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力,难度较大.
【解析】因为函数的周期是4,所以数列的每相邻四项之和是一个常数6,所以.
三、解答题
21【2012高考江苏20】(16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,
(1)设,,求证:数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
【答案】解:(1)∵,∴。
∴ 。
∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
(2)∵,∴。
∴。(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,。∴,∴。
又∵,∴是公比是的等比数列。
若,则,于是。
又由即,得。
∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。
【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
22.【2012高考真题湖北理18】(本小题满分12分)
已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.
【答案】 (Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,
由题意得 解得或
所以由等差数列通项公式可得
,或.
故,或.
(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时,;当时,;
当时,
. 当时,满足此式.
综上,
23.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)
设数列{an}的前n项和为Sn,满足,n∈N﹡,且a1,a2+5,a3成等差数列.
(1) 求a1的值;
(2) 求数列{an}的通项公式.
(3) 证明:对一切正整数n,有.
【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.
24.【2012高考真题陕西理17】(本小题满分12分)
设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列。
(1)求数列的公比;
(2)证明:对任意,成等差数列。
【答案】
25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。
【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式,以及对数运算等基础知识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思想
26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)
已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由。
【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想
27.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)
设数列{an}的前n项和为Sn,满足,n∈N﹡,且a1,a2+5,a3成等差数列.
(1) 求a1的值;
(2) 求数列{an}的通项公式.
(1) 证明:对一切正整数n,有.
【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.
28.【2012高考真题上海理23】(4+6+8=18分)对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质.例如具有性质.
(1)若,且具有性质,求的值;
(2)若具有性质,求证:,且当时,;
(3)若具有性质,且、(为常数),求有穷数列的通项公式.
【答案】
【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属于信息给予题,通过定义“具有性质”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.
29.【2012高考真题重庆理21】(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)
设数列的前项和满足,其中.
(I)求证:是首项为1的等比数列;
(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.
【答案】
30.【2012高考真题江西理17】(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和,,且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k,求an;
(2)求数列的前n项和Tn。
【答案】
【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.
31.【2012高考真题安徽理21】(本小题满分13分)
数列满足:
(I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是;
(II)求的取值范围,使数列是单调递增数列。
【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列与函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能力。
【解析】(I)必要条件
当时,数列是单调递减数列。
充分条件
数列是单调递减数列,
得:数列是单调递减数列的充分必要条件是。
(II)由(I)得:,
①当时,,不合题意;
②当时,,
,
。
当时,与同号,
由,
。
当时,存在,使与异号,与数列是单调递减数列矛盾,
得:当时,数列是单调递增数列。
32.【2012高考真题天津理18】(本小题满分13分)
已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,
.
(Ⅰ)求数列与的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明().
【答案】
33.【2012高考真题湖南理19】(本小题满分12分)
已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,……
(1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式.
(2) 证明:数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
【答案】解(1)对任意,三个数是等差数列,所以
即亦即
故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是
(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有
由知,均大于0,于是
即==,所以三个数组成公比为的等比数列.
(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,
则
,
于是得即
由有即,从而.
因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,
综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.
【解析】
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.
34.【2012高考真题山东理20】本小题满分12分)
在等差数列中,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.
【答案】
解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则,,于是,即.
(Ⅱ)对任意m∈N﹡,,则,
即,而,由题意可知,
于是
,
即.
35.【2012高考真题全国卷理22】(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)
函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.
(Ⅰ)证明:2 xn<xn+1<3;
(Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.
【答案】
相关文档
- 2012年高考真题汇编-理科数学(解析2021-06-304页
- 2012年高考真题汇编-文科数学(解析2021-06-306页
- 2012年高考真题汇编-理科数学(解析2021-06-305页
- 2012年高考真题汇编——理科数学(解2021-06-3020页
- 2012年高考真题汇编-文科数学(解析2021-06-3011页
- 2012年高考真题汇编-理科数学(解析2021-06-257页
- 2012年高考真题汇编-理科数学(解析2021-06-2415页
- 2012年高考真题汇编-文科数学(解析2021-06-2429页
- 2012年高考真题汇编-理科数学(解析2021-06-2315页
- 2012年高考真题汇编-文科数学(解析2021-06-239页