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  • 2021-06-30 发布

2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)4:数列

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‎2012高考真题分类汇编:数列 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列中,,则的前5项和=‎ ‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为,,所以,所以数列的前5项和,选B.‎ ‎2.【2012高考真题浙江理7】设是公差为d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和,则下列命题错误的是 A.若d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则d<0‎ C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意,均有 D. 若对任意,均有,则数列﹛Sn﹜是递增数列 ‎【答案】C ‎【解析】选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n}是递增数列,但是S n>0不成立.故选C。‎ ‎3.【2012高考真题新课标理5】已知为等比数列,,,则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎【解析】因为为等比数列,所以,又,所以或.若,解得,;若,解得,仍有,综上选 D.‎ ‎4.【2012高考真题上海理18】设,,在中,正数的个数是( )‎ A.25 B.‎50 ‎‎ C.75 D.100‎ ‎【答案】D ‎【解析】当1≤≤24时,>0,当26≤≤49时,<0,但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值,当51≤≤74时,>0,当76≤≤99时,<0,但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值,∴当1≤≤100时,均有>0。‎ ‎5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中,,答案为B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式,同时考查运算求解能力,属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。‎ ‎6.【2012高考真题四川理12】设函数,是公差为的等差数列,,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,即 ‎,而是公差为的等差数列,代入,即 ‎,不是的倍数,.‎ ‎,故选D.‎ ‎7.【2012高考真题湖北理7】定义在上的函数 ‎,如果对于任意给定的等比数列, 仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:‎ ‎①; ②; ③; ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A. ‎① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】等比数列性质,,①; ②;③;④.选C ‎8.【2012高考真题福建理2】等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B.‎ ‎ 【解析】由等差中项的性质知,又.故选B.‎ ‎9.【2012高考真题安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数,且,则=( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】.‎ ‎10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,得,所以,所以 ‎,又,选A.‎ 二、填空题 ‎11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=‎3a2+2,S4=‎3a4+2,则q=______________。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】将,两个式子全部转化成用,q表示的式子.‎ 即,两式作差得:,即:,解之得:(舍去).‎ ‎12.【2012高考真题四川理16】记为不超过实数的最大整数,例如,,,。设为正整数,数列满足,,现有下列命题:‎ ‎①当时,数列的前3项依次为5,3,2;‎ ‎②对数列都存在正整数,当时总有;‎ ‎③当时,;‎ ‎④对某个正整数,若,则。‎ 其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力,难度较大.‎ ‎【解析】当时, ,,故①正确;同样验证可得③④正确,②错误.‎ ‎13.【2012高考真题新课标理16】数列满足,则的前项和为 ‎ ‎【答案】1830‎ ‎【解析】由得,‎ ‎,‎ 即,也有,两式相加得,设为整数,‎ 则,‎ 于是 ‎14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列{an}为递增数列,且,则数列{an}的通项公式an =______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。‎ ‎15.【2012高考真题江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列,若,,则__________。‎ ‎【答案】35‎ ‎【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。‎ ‎【解析】设数列的公差分别为,则由,得,即,所以,‎ 所以。‎ ‎16.【2012高考真题北京理10】已知等差数列为其前n项和。若,,则=_______。‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】因为,‎ 所以,。‎ ‎17.【2012高考真题广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1,,则an=____.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得到,即,应为{an}是递增的等差数列,所以,故。‎ ‎18.【2012高考真题重庆理12】 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以1为首项,为公比的等比数列,‎ ‎∴++…+==,∴。‎ ‎20.【2012高考真题福建理14】数列{an}的通项公式,前n项和为Sn,则S2012=___________.‎ ‎【答案】3018.‎ ‎【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法,以及余弦函数的周期性,同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力,难度较大.‎ ‎【解析】因为函数的周期是4,所以数列的每相邻四项之和是一个常数6,所以.‎ 三、解答题 ‎21【2012高考江苏20】(16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,‎ ‎(1)设,,求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)设,,且是等比数列,求和的值.‎ ‎【答案】解:(1)∵,∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎(2)∵,∴。‎ ‎ ∴。(﹡)‎ ‎ 设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明 ‎ 若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。‎ ‎ 若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。‎ ‎ ∴综上所述,。∴,∴。‎ ‎ 又∵,∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若,则,于是。‎ ‎ 又由即,得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。‎ ‎【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。‎ ‎ (2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎ 22.【2012高考真题湖北理18】(本小题满分12分)‎ 已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.‎ ‎(Ⅰ)求等差数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.‎ ‎【答案】 (Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎,或.‎ 故,或. ‎ ‎(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;‎ 当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时,;当时,;‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎. 当时,满足此式.‎ 综上, ‎ ‎23.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)‎ 设数列{an}的前n项和为Sn,满足,n∈N﹡,且a1,a2+5,a3成等差数列.‎ (1) 求a1的值;‎ (2) 求数列{an}的通项公式.‎ (3) 证明:对一切正整数n,有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.‎ ‎24.【2012高考真题陕西理17】(本小题满分12分)‎ 设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列。‎ ‎(1)求数列的公比;‎ ‎(2)证明:对任意,成等差数列。‎ ‎ 【答案】‎ ‎25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。‎ ‎【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式,以及对数运算等基础知识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思想 ‎ ‎ ‎26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)‎ ‎ 已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎(Ⅰ)用和表示;‎ ‎(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由。‎ ‎【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 ‎ ‎ ‎27.【2012高考真题广东理19】(本小题满分14分)‎ 设数列{an}的前n项和为Sn,满足,n∈N﹡,且a1,a2+5,a3成等差数列.‎ (1) 求a1的值;‎ (2) 求数列{an}的通项公式.‎ (1) 证明:对一切正整数n,有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解能力与推理论证能力,难度一般.‎ ‎28.【2012高考真题上海理23】(4+6+8=18分)对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质.例如具有性质.‎ ‎(1)若,且具有性质,求的值;‎ ‎(2)若具有性质,求证:,且当时,;‎ ‎(3)若具有性质,且、(为常数),求有穷数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎ 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属于信息给予题,通过定义“具有性质”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.‎ ‎29.【2012高考真题重庆理21】(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分.)‎ ‎ 设数列的前项和满足,其中.‎ ‎ (I)求证:是首项为1的等比数列;‎ ‎(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.‎ ‎【答案】‎ ‎30.【2012高考真题江西理17】(本小题满分12分)‎ 已知数列{an}的前n项和,,且Sn的最大值为8.‎ ‎(1)确定常数k,求an;‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn。‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况:当数列通项由两项的乘积组成,其中一项是等差数列、另一项是等比数列.‎ ‎31.【2012高考真题安徽理21】(本小题满分13分)‎ ‎ 数列满足:‎ ‎(I)证明:数列是单调递减数列的充分必要条件是;‎ ‎(II)求的取值范围,使数列是单调递增数列。‎ ‎【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列与函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能力。‎ ‎【解析】(I)必要条件 当时,数列是单调递减数列。‎ 充分条件 数列是单调递减数列,‎ 得:数列是单调递减数列的充分必要条件是。‎ ‎(II)由(I)得:,‎ ①当时,,不合题意;‎ ②当时,,‎ ‎,‎ ‎。‎ 当时,与同号,‎ 由,‎ ‎。‎ 当时,存在,使与异号,与数列是单调递减数列矛盾,‎ 得:当时,数列是单调递增数列。‎ ‎32.【2012高考真题天津理18】(本小题满分13分)‎ 已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,‎ ‎.‎ ‎(Ⅰ)求数列与的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,,证明().‎ ‎【答案】‎ ‎33.【2012高考真题湖南理19】(本小题满分12分)‎ 已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,…… ‎ (1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式.‎ (2) 证明:数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.‎ ‎【答案】解(1)对任意,三个数是等差数列,所以 ‎            ‎ 即亦即 故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是 ‎(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有 由知,均大于0,于是 ‎    ‎ ‎    ‎ 即==,所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,‎ 则 ‎   ,‎ 于是得即 ‎   ‎ 由有即,从而.‎ 因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,‎ 综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.‎ ‎34.【2012高考真题山东理20】本小题满分12分)‎ 在等差数列中,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.‎ ‎【答案】‎ 解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则,,于是,即.‎ ‎(Ⅱ)对任意m∈N﹡,,则,‎ 即,而,由题意可知,‎ 于是 ‎,‎ 即.‎ ‎ ‎ ‎35.【2012高考真题全国卷理22】(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)‎ 函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.‎ ‎(Ⅰ)证明:2 xn<xn+1<3;‎ ‎(Ⅱ)求数列{xn}的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎