【数学】2018届一轮复习苏教版（理）高考专题突破五　高考中的立体几何问题学案 18页

‎1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．‎ 答案　 解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，‎ ‎∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，‎ ‎∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，‎ ‎∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝a，‎ x1＝OB＋BN＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝.‎ ‎2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为______________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.‎ 由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.‎ 在Rt△PFF′中，由勾股定理，‎ 得PF′＝＝＝8.‎ 由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，‎ 所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎3．(2017·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为________．‎ 答案　 解析　设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，‎ 将y＝kx代入椭圆方程可解得 x1＝，x2＝，‎ 则CD＝|x1－x2|＝.‎ 又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，‎ 所以S四边形ACBD＝d1·CD＋d2·CD ‎＝(d1＋d2)·CD＝·· ‎＝ab·.‎ 令t＝，‎ 则t2＝＝1＋2ab· ‎＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，‎ 当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，‎ 所以S四边形ACBD的最大值为ab.‎ 由条件，得ab＝2c2，‎ 即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，‎ 解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝.‎ ‎4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，‎ ‎∴c＝OB＝2，‎ 又∠AOB＝，‎ ‎∴＝tan＝1，即a＝b.‎ 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.‎ ‎5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．‎ 答案　－＝1‎ 解析　由题意得，双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝且双曲线的离心率为2×＝＝⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，‎ 所以双曲线的方程为－＝1. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 题型一　求圆锥曲线的标准方程 例1　已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为______________．‎ 答案　＋＝1或＋＝1‎ 解析　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1＝，PF2＝.‎ 由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2，即a＝.‎ 由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴．‎ 故在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝，‎ ‎∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.‎ 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.‎ 思维升华　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．‎ ‎　(2015·天津改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________________．‎ 答案　x2－＝1‎ 解析　双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，‎ 则a2＋b2＝4，①‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 由题意得＝，②‎ 联立①②解得b＝，a＝1，‎ 所求双曲线的方程为x2－＝1.‎ 题型二　圆锥曲线的几何性质 例2　(1)(2015·湖南改编)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．‎ ‎(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，‎ 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，‎ ‎∴25a2＝9c2，∴e＝.‎ ‎(2)‎ 由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，‎ ‎∴F，‎ AB＝AF＝p，‎ 可得A(p，p)．‎ 易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，‎ 故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p× ‎＝p2＝3，‎ ‎∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.‎ 思维升华　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．‎ ‎　已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．‎ 答案　－1‎ 解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.‎ 当x＝时，代入抛物线方程得 y＝±p，‎ 又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.‎ 所以PE＝ ＝p，‎ PF＝p，EF＝p.‎ 故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1.‎ 题型三　最值、范围问题 例3　设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．‎ 解　(1)双曲线的离心率为，‎ 则椭圆的离心率e＝＝，‎ 由⇒ 故椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，‎ 由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2b>0)和椭圆T2：＋＝1(b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼”．‎ ‎(1)若“猫眼曲线”Γ过点M(0，－)，且a，b，c的公比为，求“猫眼曲线”Γ的方程；‎ ‎(2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；‎ ‎(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值．‎ ‎(1)解　由题意知，b＝，＝＝，‎ ‎∴a＝2，c＝1，‎ ‎∴T1：＋＝1，T2：＋x2＝1.‎ ‎(2)证明　设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段CD的中点为M(x0，y0)，‎ ‎∴x0＝，y0＝，‎ 由得 ＋＝0.‎ ‎∵k存在且k≠0，∴x1≠x2且x0≠0，‎ 故上式整理得·＝－，‎ 即k·kOM＝－.‎ 同理，k·kON＝－2，∴＝.‎ ‎(3)解　设直线l的方程为y＝x＋m，‎ 联立方程得 整理得(b2＋2c2)x2＋2mc2x＋m2c2－b2c2＝0，‎ 由Δ＝0，化简得m2＝b2＋2c2，‎ 取l1：y＝x＋.‎ 联立方程 化简得(b2＋2a2)x2＋2ma2x＋m2a2－b2a2＝0.‎ 由Δ＝0，得m2＝b2＋2a2，‎ 取l2：y＝x－，‎ l1，l2两平行线间距离 d＝，‎ 又AB＝，‎ ‎∴△ABN的面积最大值为S＝·AB·d ‎＝.‎ 题型四　定值、定点问题 例4　(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ 解　(1)因为AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，所以EA＋EB＝4.‎ 由题设得A(－1,0)，B(1,0)，AB＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以MN＝|x1－x2|＝.‎ 过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，‎ 点A到m的距离为，‎ 所以PQ＝2＝4.‎ 故四边形MPNQ的面积 S＝MN·PQ＝12.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．‎ 思维升华　求定点及定值问题常见的方法有两种 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎　(2016·北京)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN·BM为定值．‎ ‎(1)解　由已知＝，ab＝1.‎ 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.‎ ‎∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．‎ 设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.‎ 当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，‎ 令x＝0，得yM＝.‎ 从而BM＝|1－yM|＝.‎ 直线PB方程为y＝x＋1.‎ 令y＝0，得xN＝.‎ ‎∴AN＝|2－xN|＝.‎ ‎∴AN·BM＝· ‎＝· ‎＝ ‎＝＝4.‎ 当x0＝0时，y0＝－1，BM＝2，AN＝2，‎ ‎∴AN·BM＝4.‎ 故AN·BM为定值．‎ 题型五　探索性问题 例5　(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，‎ ‎∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，‎ ‎∴由圆的性质知MC1⊥MO，‎ ‎∴·＝0.‎ 又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，‎ ‎∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.‎ 易知直线l的斜率存在，‎ ‎∴设直线l的方程为y＝mx，‎ 当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，‎ 解得m＝±.‎ 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程，‎ 化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.‎ 当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．‎ 又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，‎ ‎∴0时，‎ ‎①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0⇒k＝0⇒另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；‎ ‎②若x＝是方程的解，则f＝0⇒k＝±⇒另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；‎ ‎③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0⇒－b>0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证：AP⊥OM；‎ ‎(3)试问：·是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎(1)解　因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，‎ 所以a2＝2c2，所以a2＝2b2.‎ 又因为椭圆C过点(1，)，所以＋＝1，‎ 所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程＋＝1.‎ ‎(2)证明　设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)，‎ 将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中，‎ 化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，‎ 解得x1＝，x2＝2，‎ 所以y1＝k(x1－2)＝，从而P(，)．‎ 令x＝－2，得y＝－4k，‎ 所以M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)．‎ 又因为＝(＋2，)＝(，)，‎ 所以·＝＋＝0，‎ 所以AP⊥OM.‎ ‎(3)解　因为·＝(，)·(－2，－4k)‎ ‎＝＝＝4，‎ 所以·为定值4.‎ ‎1．(2015·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.‎ ‎(1)解　由题设知＝，b＝1，‎ 结合a2＝b2＋c2，解得a＝，‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，‎ 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 从而直线AP，AQ的斜率之和 ‎ kAP＋kAQ＝＋＝＋ ‎＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ‎＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎ ‎2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围．‎ 解　(1)由双曲线－＝1的焦距为3，‎ 得c＝，∴a2＋b2＝.①‎ 由题意知＝，②‎ 由①②解得a2＝3，b2＝，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知P(－，0)．‎ 设G(x0，y0)，由＝2，‎ 得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)，‎ 即解得∴G(－，0)．‎ 设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，‎ ‎||2＋||2＝(x1＋)2＋y＋(x1－)2＋y ‎＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋ ‎＝x＋.‎ 又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，‎ ‎∴≤x＋≤，‎ ‎∴||2＋||2的取值范围是[，]．‎ ‎3．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．‎ ‎(1)求该椭圆的离心率；‎ ‎(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，‎ 从而椭圆的半焦距c＝＝1.‎ 所以椭圆的离心率为e＝＝.‎ ‎(2)依题意，直线BC的斜率不为0，‎ 设其方程为x＝ty＋1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，‎ 从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．‎ 假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，‎ 则有·＝0.‎ 所以(p－4)2＋＝0.‎ 将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得 ‎(p－4)2＋＝0，‎ 所以(p－4)2＋＝0，‎ 即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.‎ 所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，‎ 使得MP⊥NP.‎ ‎4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)，过它的左，右焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围．‎ 解　(1)由＝⇒a＝2c，∴a2＝4c2，b2＝3c2，‎ 将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，‎ 则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S＝6.‎ 若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，‎ 则l2的斜率为－，‎ 则直线l1的方程为y＝k(x＋1)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立方程组 消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.①‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎∴|x1－x2|＝，‎ ‎∴AB＝|x1－x2|＝，②‎ 注意到方程①的结构特征和图形的对称性，‎ 可以用－代替②中的k，得CD＝，‎ ‎∴S＝AB·CD＝，‎ 令k2＝t∈(0，＋∞)，‎ ‎∴S＝＝ ‎＝6－≥6－＝，‎ 当且仅当t＝1时等号成立，∴S∈[，6)，‎ 综上可知，四边形ABCD的面积S∈[，6]．‎ ‎*5．(2016·盐城三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若点E的坐标为(，0)，点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；‎ ‎(3)是否存在点E，使得＋为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由e＝＝，设a＝3k(k>0)，则c＝k，b2＝3k2，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ 因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，‎ 即xA＝xB＝k，‎ 代入椭圆方程，解得y＝±k，于是2k＝，即k＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)将x＝代入＋＝1，解得y＝±1.‎ 因为点A在第一象限，从而A(，1)．‎ 由点E的坐标为(，0)，所以kAB＝，‎ 所以直线AB的方程为y＝(x－)，‎ 联立直线AB与椭圆C的方程，解得B(－，－)．‎ 又PA过原点O，于是P(－，－1)，PA＝4，‎ 所以直线PA的方程为x－y＝0，‎ 所以点B到直线PA的距离h＝＝，‎ 故S△PAB＝×4×＝.‎ ‎(3)假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0,0)，当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝；‎ 当直线AB与x轴垂直时，‎ ＋＝＝，‎ 由＝，解得x0＝±，＝2，‎ 以若存在点E，此时E(±，0)，＋为定值2.‎ 根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 又设直线AB的方程为x＝my＋，与椭圆C联立方程组，化简得(m2＋3)y2＋2my－3＝0，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 又＝＝＝，‎ 所以＋＝＋ ‎＝，‎ 将上述关系代入，化简可得＋＝2.‎ 综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2.‎