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- 2021-06-30 发布
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第1课时 函数及其表示
1．函数与映射
函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系
不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
4．常见函数定义域的求法
类型
x满足的条件
，n∈N*
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)(a＞0，a≠1)
f(x)＞0
logf(x)g(x)
f(x)＞0，且f(x)≠1，g(x)＞0
tan f(x)
f(x)≠kπ＋，k∈Z
5.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(×)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(×)
(3)映射是特殊的函数．(×)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(×)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)
(6)函数是建立在其定义域到值域的映射．(√)
(7)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(×)
(8)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(√)
(9)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．(√)
(10)y＝＝，其定义域为[1，＋∞)(×)
考点一 求函数的定义域
命题点
1.已知函数具体解析式求定义域
2.求抽象函数的定义域
3.已知函数定义域求参数
[例1] (1)(2017·山东淄博模拟)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：要使函数有意义，需满足解得－＜x＜1.
答案：B
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
解析：由解得0≤x＜1，即函数定义域是[0,1)．
答案：[0,1)
(3)(2016·安徽合肥模拟)若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：由题意可得2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立．
∴x2＋2ax－a≥0恒成立
∴Δ＝4a2＋4a≤0，得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
1．函数y＝的定义域为________．
解析：由，得－1＜x＜1.
答案：(－1,1)
2．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是________．
解析：因为函数f(x)的定义域是[0,2]，
所以函数g(x)＝f＋f中的自变量x需满足
解得：≤x≤，
所以函数g(x)的定义域是.
答案：
3．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,2]
解析：函数的定义域为R等价于对∀x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D.
答案：D
考点二 求函数解析式
命题点
1.用待定系数法求解析式
2.用换元法求解析式
3.用方程组消元法求解析式
4.用转化法求解析式
[例2] (1)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即∴f(x)＝x2－x＋2.
答案：f(x)＝x2－x＋2
(2)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式．
解析：f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，
令t＝1－cos x，则cos x＝1－t，t∈[0,2]，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
答案：f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
解析：∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.
解方程组
得f(x)＝－(x≠0)．
答案：f(x)＝－(x≠0)
(4)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝＝－.
答案：－
[方法引航] 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(4)
转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式.
1．若函数y＝f(x)为一次函数且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
∴a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴∴或
∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
答案：2x＋1或－2x－3
2．已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
解：由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
3．已知函数f(x)满足条件：2f(x)－3f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
解析：∵2f(x)－3f(－x)＝2x，①
∴2f(－x)－3f(x)＝－2x.②
①＋②，得－f(x)－f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴2f(x)＋3f(x)＝2x，
∴f(x)＝x.
答案：x
考点三 分段函数及应用
命题点
1.求分段函数的函数值
2.求分段函数的方程
3.求分段函数的不等式
[例3] 已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1)
解析：①当－1≤x＜0时，0＜－x≤1，
此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x－2＞－1，
解得x＜－，则－1≤x＜－.
②当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，
此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x＋2＞－1，
解得x＜，则0＜x≤1.
故所求不等式的解集为∪(0,1]．
答案：B
[方法引航] 分段函数的求法
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
1．若本例中函数f(x)不变，求f(1)＋f的值．
解：f(1)＝－1＋1＝0，f＝－－1＝－
∴f＝－，
∴f(1)＋f＝0－＝－.
2．若本例中f(x)不变，求实数a，使f(a)＝a.
解：当0＜a≤1时，f(a)＝－a＋1
∴－a＋1＝a，即a＝.当－1≤a＜0时，f(a)＝－a－1＝a.∴a＝－.综上：a＝±.
3．若本例中f(x)不变，解不等式f(x)≥－1.
解：当－1≤x＜0时，－x－1≥－1，∴x≤0
∴－1≤x＜0
当0＜x≤1时，－x＋1≥－1，∴x≤2，∴0＜x≤1.
综上不等式解集为[－1,0)∪(0,1]．
[思想方法]
分类讨论思想解决分段函数问题——形分而神不分
解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题．既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．
[典例] (2017·福建福州一模)函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则a的范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 要求此函数的两段均为减函数，并且x＝1时第一段的函数值在第二段的上方或者相等，即
解得故≤a≤.
[答案] C
[回顾反思] 此题易忽略“2－8a＋3≥loga1”
，不能从整体上把握分段函数为减函数的概念，即“神不分”．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D.函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B，函数y＝的定义域、值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2014·高考上海卷)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
解析：选D.∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，
解得－1≤a≤2，
∴a的取值范围是0≤a≤2.
3．(2016·高考江苏卷)函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]．
答案：[－3,1]
4．(2016·高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R若f＝f，则f(5a)的值是________．
解析：由题意可得f＝f＝－＋a，
f＝f＝＝，则－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案：－
5．(2016·高考浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
解析：因为f(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，所以，解得a＝－2，b＝1.
答案：－2 1
6．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
解析：先根据函数f(x)的单调性确定a的一个取值范围，作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象，观察图象确定交点的个数，求出a的取值范围．
因为函数f(x)在R上单调递减，
所以 解得≤a≤.
作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象如图．
由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－有且仅有一个解；在(－∞，0)上|f(x)|＝2－同样有且仅有一个解，所以3a＜2，即a＜.综上可得≤a＜，
所以a的取值范围是.
答案：
课时规范训练
A组 基础演练
1．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C.由x＋1＞0知x＞－1，故选C.
2．f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝与g(x)＝·
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．y＝x与y＝()2
D．f(x)＝与g(x)＝
解析：选B.选项A，C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B中的函数表示同一函数．
3．若函数f(x)＝则f(f(2))＝( )
A．－1 B．2
C．1 D．0
解析：选B.由已知条件可知，f(2)＝2＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.
4．设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B.
C. D.
解析：选C.由f(－2)＝2－2＝，
∴f(f(－2))＝f＝1－＝.
5．若点A(a，－1)在函数f(x)＝的图象上，则a＝( )
A．1 B．10
C. D.
解析：选D.当x≥1时，y＝≥1，因此点A(a，－1)在函数y＝lg x(0＜x＜1)的图象上，故－1＝lg a，a＝.
6．函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，在同一坐标系下，y＝f(x)与直线x＝1的交点个数是________．
解析：由函数定义的唯一性及x∈[－1,5]，知函数f(x)与x＝1只有唯一一个交点．
答案：1
7．若函数f(x)＝，则f(f(－99))＝________.
解析：f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg 100＝2.
答案：2
8．函数y＝f(x)的定义域为[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．
解析：由题意知解得－2≤x≤2.
答案：[－2,2]
9．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；
(2)求f(g(x))的解析式．
解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x＞0时，g(x)＝x－1，
故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x＜0时，g(x)＝2－x，
故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；
∴f(g(x))＝
10．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．
如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得，
解得m＝，n＝0，
所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，
得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．
B组 能力突破
1．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝log2x B．f(x)＝－log2x
C．f(x)＝2－x D．f(x)＝x－2
解析：选B.根据题意知x＞0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
2．设函数f(x)＝，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得或解得f(a)≥－2.
由或
解得a≤.
答案：(－∞，]
3．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．－1
解析：选A.∵g(x)＝ax2－x，∴g(1)＝a－1.
∵f(x)＝5|x|，
∴f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，∴a＝1.
4．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．
解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意； 对于②，f＝＋＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，
f＝即f＝
故f＝－f(x)，满足题意．
答案：①③
5．已知函数f(x)＝，x∈R.
(1)求f(x)＋f的值；
(2)计算：f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f＋f＋f.
解：(1)由f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(2)原式＝f(1)＋＋＋＝＋3＝.
第2课时 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)
(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(×)
(3)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)
(6)所有的单调函数都有最值．(×)
(7)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)
(8)函数y＝|x|是R上的增函数．(×)
(9)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(×)
(10)函数y＝的最大值为1.(√)
考点一 求函数的单调性(区间)
命题点
1.求具体解析式的函数的单调性(区间)
2.求解析式含参数的函数的单调性(区间)
[例1] (1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
解析：利用函数的单调性或函数的图象逐项验证．A项，函数y＝在[－1，＋∞
)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故A正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故B错误；C项，函数y＝2－x＝x在R上为减函数，故C错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故D错误．
答案：A
(2)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．
解析：函数f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，且f(x)＝lg x2＝函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
(3)判断并证明函数f(x)＝(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．
解：法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x－1)(x－1)＞0.
因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
法二：(导数法)
f′(x)＝＝.
又a＞0，所以f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
[方法引航] 判断函数单调性的方法
(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.
(2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x
C．y＝ln x D．y＝|x|
解析：选B.因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选B.
2．(2016·安徽合肥检测)函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B.(数形结合法)y＝|x|(1－x)
＝＝
＝
画出函数的图象，如图所示．
由图象可知原函数在上单调递增，故选B.
3．已知a＞0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是任意两个正数，且0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．
当0＜x1＜x2≤时，0＜x1x2＜a，又x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1＜x2时，x1x2＞a，又x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
考点二 利用函数的单调性求最值
命题点
1.求单调函数的最值
2.求函数的值域
[例2] (1)函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．
解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.
答案：，1
(2)已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________.
解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上单调递增，
所以即解得a＝.
答案：
1．(2017·湖南株洲一模)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )
A．－1 B．1
C．6 D．12
解析：选C.由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
2．下列四个函数：
①y＝3－x；②y＝；
③y＝x2＋2x－10；④y＝
其中值域为R的函数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.依题意，注意到y＝3－x与函数
y＝的值域均是R，函数y＝的值域是(0,1]，函数y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.
考点三 函数单调性的应用
命题点
1.比较函数值的大小
2.求字母参数
3.解不等式
[例3] (1)已知f(x)＝x2－cos x，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是( )
A．f(0.6)＜f(0)＜f(－0.5)
B．f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)
C．f(0.6)＜f(－0.5)＜f(0)
D．f(－0.5)＜f(0)＜f(0.6)
解析：∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
∴f(－0.5)＝f(0.5)．
又∵f′(x)＝2x＋sin x，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数，
∴f(0)＜f(0.5)＜f(0.6)，
即f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)．故选B.
答案：B
(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是________．
解析：由已知条件得f(x)为增函数，
∴，解得≤a＜2，∴a的取值范围是.
答案：
[方法引航] (1)利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.
(2)已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
1．若本例(1)中函数变为f(x)＝x－sin x，比较f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小．
解：f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝－cos x
当－＜x＜，f′(x)＜0.
∴f(x)在上，为减函数，故有f(－0.5)＞f(0)＞f(0.6)．
2．在本例(2)中，若f(x)不变且a∈.解不等式f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)．
解：由题意可知，当a∈时，f(x)在R上为增函数．
∴4a2－2a－5＜a＋2
即4a2－3a－7＜0，
∴(4a－7)(a＋1)＜0，
－1＜a＜.
故≤a＜.
∴f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)的解集为.
[易错警示]
定义域的请求——求函数单调区间先求我
1．函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则．
[典例1] 函数f(x)＝的单调增区间为________．
[正解] 设u＝x2＋x－6＝2－.
令u＝x2＋x－6≥0，得f(x)的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，u＝x2＋x－6＝2－是对称轴为x＝－，开口向上的抛物线，故u在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．
[答案] [2，＋∞)
[易误] 解题时不先求f(x)的定义域，误认为u＝x2＋x－6的增区间就是f(x
)的增区间．
[警示] 求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结．
2．利用函数单调性解不等式时也要先求定义域．
[典例2] 已知，定义在[－2,3]上的函数f(x)是减函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________．
[正解] 由题意得即
∴≤x＜3.
[答案]
[易误] 此类不等式，只考虑单调性直接去掉“f”符号得到一个不等式，如本题只得到“x＞2x－3”是错误的没注意定义域x∈[－2,3]．
[警示] 这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组．
[高考真题体验]
1．(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析：选D.选项A中，y＝＝－的图象是将y＝－的图象向右平移1个单位得到的，故y＝在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项B中，y＝cos x在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；选项C中，y＝ln(x＋1)的图象是将y＝ln x的图象向左平移1个单位得到的，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项D符合题意．
2．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析：选A.函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数，且函数f(x)在(0,1)上是增函数．故选A.
3．(2014·高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
解析：选A.f(x)＝是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，A正确；f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，B错；f(x)＝x3是奇函数，C错；f(x)＝2－x是非奇非偶函数，D错．故选A.
4．(2016·高考北京卷)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
解析：法一：∵f′(x)＝，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.
法二：∵f(x)＝＝＝1＋，
∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．
∵y＝在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.
法三：由题意可得f(x)＝1＋.
∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，
∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.
故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.
答案：2
5．(2016·高考北京卷)设函数f(x)＝
①若a＝0，则f(x)的最大值为________；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．
解析：①代入a值直接求分段函数的最值；②结合图象分类讨论求解．
由当x≤a时，f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.
如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．
①若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.
②当a≥－1时，f(x)有最大值；
当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值，且－2a＞(x3－3x)max，所以a＜－1.
答案：①2 ②a＜－1
6．(2016·高考天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∴f(2|a－1|)＞f(－)＝f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，∴－＜a－1＜，∴＜a＜.
答案：
课时规范训练
A组 基础演练
1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
解析：选C.作出函数y＝x2－6x＋10的图象如图所示，观察图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．
2．已知f(x)为R上的减函数，则满足f＞f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选D.依题意得＜1，即＞0，
所以x的取值范围是x＞1或x＜0.
3．函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选A.由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．A中，f(x)＝满足要求；B中，f(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中，f(x)＝ex是增函数；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．
4．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．a＞－ B．a≥－
C．－≤a＜0 D．－≤a≤0
解析：选D.当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a＜0，且－≥4，解得0＞a≥－.
综上所述得－≤a≤0.
5．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．a＝－3 B．a＜3
C．a≤－3 D．a≥－3
解析：选C.y＝＝1＋，
由函数在(－1，＋∞)上单调递增，
有，解得a≤－3.
6．已知f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是________．
解析：由f＜f(1)，得＞1，
∴＞1或＜－1，
∴0＜x＜1或－1＜x＜0.
答案：(－1,0)∪(0,1)
7．y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________．
解析：由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；
当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
画出二次函数的图象如图所示．
由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．
答案：(－∞，－1]，[0,1]
8．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，
所以－a≥－1，解得a≤1.
答案：(－∞，1]
9．函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)求g(t)的最小值．
解：(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1＜2，即t＜1时，
f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
从而g(t)＝
(2)画出g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为－8.
10．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任取x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)f(x)＝＝＝1＋，
当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴0＜a≤1，故实数a的取值范围为(0,1]．
B组 能力突破
1．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)＞f(2) B．f(a＋1)＜f(2)
C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析：选A.由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，根据函数f(x)为偶函数，可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．
2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选B.y＝x2－ln x，y′＝x－＝
＝(x＞0)．令y′≤0，得0＜x≤1，
∴函数的递减区间为(0,1]．故选B.
3．已知f(x)＝，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0,2) D．(－2,0)
解析：选A.作出函数f(x)的图象如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a＜2a－x，即x＜在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜，即a＜－2.故选A.
4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________．
解析：要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，即x＞－，设u＝2x＋1，则y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x＞－时，u＝2x＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是.
答案：
5．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2＞0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f(x)＜0，所以f＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵[2,9]⊆(0，＋∞)，
∴f(x)在[2,9]上为减函数f(x)min＝f(9)．
由题意可知f(x1)＝f＋f(x2)，∴f(9)＝f＋f(3)＝2f(3)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
第3课时 函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)
(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)
(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)
(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)
(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)
(10)若某函数的图象关于y
轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)
考点一 判断函数的奇偶性
命题点
用函数奇偶性定义判断
[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，
f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，
∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
答案：D
(2)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝lg|x|
C．y＝(x－1)2 D．y＝2x
解析：根据奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数．
答案：B
(3)函数f(x)＝＋，则( )
A．不具有奇偶性 B．只是奇函数
C．只是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：由得x＝－或x＝.
∴函数f(x)的定义域为{－，}．
∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
答案：D
[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法
(1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．
(3)性质法：
①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(x＋1) ；
(2)f(x)＝lg.
解：(1)要使函数有意义，则≥0，
解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)由＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．
又f(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．
考点二 函数的周期性及应用
命题点
1.周期性的简单判断
2.利用周期性求函数值
[例2] (1)下列函数不是周期函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝|sin x|
C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)
解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．
答案：C
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．
解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．
∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，
f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.
答案：0
[方法引航] (1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．
(2)判断函数周期性的几个常用结论．
①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.
②f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
③f(x＋a)＝－，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.
解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4
∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.
答案：0
2．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．
解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2
∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1
f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.
考点三 函数奇偶性的综合应用
命题点
1.已知奇偶性求参数
2.利用奇偶性、单调性求解不等式
3.利用奇偶性求解析式或函数值
[例3] (1)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.
答案：C
(2)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
①确定函数f(x)的解析式；
②用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：①∵在x∈(－1,1)上f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝.
又∵f＝，∴＝.解得，a＝1.
∴f(x)＝，经检验适合题意．
②证明：由f′(x)＝＝.
x∈(－1,1)时，1－x2＞0，∴f′(x)＞0
∴f(x)在(－1,1)上为增函数．
③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．
∴得0＜t＜.
(3)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．
答案：C
[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)在定义域内恒成立，建立参数关系.
(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.
1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：a－1＋2a＝0，∴a＝.
f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，∴a＋b＝.
答案：
2．定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且f＝0，则满足f(x)＜0的x的集合为( )
A.∪(2，＋∞) B.∪(1,2)
C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意可得f＝f＜0＝f，又f(x)在[0，＋∞)上递减，所以＞，即x＞或x＜－，解得0＜x＜或x＞2，所以满足不等式f＜0的x的集合为∪(2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为( )
A．2 B．－2
C．0 D．2log2
解析：选A.由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.
[方法探究]
“多法并举”解决抽象函数性质问题
[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
[分析关系] ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？
②f(x＋2)＝－f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究．
③若f(x)的图象关于x＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？
④f(x)在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？
⑤f(2)，f(0)从何处计算．
[解析] 第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.
令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．
第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)
⇒f(x＋4)＝f(x)，
(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．
第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)
又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．
第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，
∴[1,2]上为减函数．(对称法)
第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)
[答案] ①②③④
[回顾反思] 此题用图象法更直观．
[高考真题体验]
1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
2．(2016·高考山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f.则f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选D.由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x＞时，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.
3．(2016·高考四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值．
∵f(x)为奇函数，周期为2，
∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.
∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，
∴f＝f＝f＝－f
＝－4＝－2.∴f＋f(1)＝－2.
答案：－2
4．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a
＝________.
解析：由题意得f(x)＝xln(x＋)＝f(－x)＝
－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
答案：1
5．(2014·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
解析：由已知易得f＝－4×2＋2＝1，又由函数的周期为2，可得f＝f＝1.
答案：1
课时规范训练
A组 基础演练
1．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.因为y＝x2是偶函数，y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝ln x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝x，是非奇非偶函数．
2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg
解析：选D.选项D中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y＝lg不是奇函数也不是偶函数，选项A为偶函数，选项B为奇函数，选项C为偶函数．
3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析：选A.由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－1，故选A.
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选A.当x＞0时，f(x)＝x2＋，
∴f(1)＝12＋＝2.
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝，则f＝( )
A．0 B．1
C. D．－1
解析：选D.因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.
6．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.
解析：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，
∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.
答案：－
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，则f(2 017)＝________.
解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，
则f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2 017)＝f(2)＝1.
答案：1
8．函数f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________.
解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋x ①，
用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x，因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以
－h(x)＋g(x)＝e－x－x ②.
由(①＋②)÷2得g(x)＝，
所以g(0)＝＝1.
答案：1
9．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．
解：设x∈(0，＋∞)，∴－x∈(－∞，0)，
∴f(－x)＝xlg(2＋x)，
∵f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝xlg(2＋x)，∴f(x)＝－xlg(2＋x)．
又∵当x＝0时，f(0)＝0，适合f(x)＝－xlg(2＋x)
∴f(x)＝
10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)，显然为偶函数；
当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，
因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函数f(x)＝x2＋(x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f′(x)＝2x－＝，当a≤0时，f′(x)＞0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数；当a＞0时，令f′(x)＝≥0，解得x≥，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知≤2，解得0＜a≤16.
综上，实数a的取值范围是(－∞，16]．
B组 能力突破
1．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的 ( )
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.f(x)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝0f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2 B.
C. D．a2
解析：选B.∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，
∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②
由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝.
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：选D.由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
故函数f(x)是以8为周期的周期函数．
f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，
f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．
4．定义在R上的函数f(x)，对任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2 016)＝2 016，则f(2 028)＝________.
解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，
∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，
∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，
则函数f(x)是以12为周期的函数．
又∵f(2 016)＝2 016，
∴f(2 028)＝f(2 028－12)＝f(2 016)＝2 016.
答案：2 016
5．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．
第4课时 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)五种幂函数的图象
(3)五种幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)
∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)
∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)
时，增x∈(－∞，0]
时，减
增
增
x∈(0，＋∞)
时，减x∈(－∞，0)
时，减
2.二次函数
(1)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
值域
单调性
在上单调递减，
在上单调递增
在上单调递增，
在上单调递减
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
图象特点
①对称轴：x＝－；
②顶点：
(2)二次函数表达式的三种形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．
③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)
(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)
(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)
(4)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(×)
(6)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)
(7)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(√)
(8)当n＞0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(×)
(9)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±.(×)
(10)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)
考点一 二次函数解析式
命题点
1.一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
2.顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)
3.零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
[例1] (1)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)＝________.
解析：由于f(x)有两个零点0和－2，
所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，
由于f(x)有最小值－1，
所以必有解得a＝1.
因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，
∴拋物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：
1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．
解析：设y＝a(x－2)2－1，当x＝0时，4a－1＝1，a＝，∴y＝(x－2)2－1.
答案：y＝(x－2)2－1
2．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析：∵f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2是偶函数，
∴ab＋2a＝0(a≠0)，∴b＝－2，
当x＝0时，2a2＝4，∴a2＝2，
∴f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
考点二 二次函数图象和性质
命题点
1.二次函数的最值
2.二次函数的单调性
3.二次方程及函数、不等式恒成立问题
[例2] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；
(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；
(3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.
1．若本例已知条件不变，求f(x)的最小值．
解：f(x)＝(x＋a)2＋3－a2，关于x＝－a对称，
∵x∈[－4,6]．
①当－a≤－4，即a≥4时，f(x)在[－4,6]上为增函数，
∴f(x)min＝f(－4)＝16－8a＋3＝19－8a
②当－4＜－a≤6，即－6≤a＜4时，只有当x＝－a时，f(x)min＝3－a2，
③当－a＞6时，即a＜－6时，f(x)在[－4,6]上为减函数，
∴f(x)min＝f(6)＝36＋12a＋3＝39＋12a.
综上，当a≥4时，f(x)min＝19－8a.
当－6≤a≤4时，f(x)min＝3－a2.
当a＜－6时，f(x)min＝39＋12a.
2．若本例已知条件不变，f(x)＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a的取值范围．
解：要使f(x)＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需
即
解得，－≤a＜－或＜a≤.
3．若本例中f(x)＞0在x∈(0,6]上恒成立，求a的取值范围．
解：x2＋2ax＋3＞0，在x∈(0,6]上恒成立，
即2a＞－在x∈(0,6]上恒成立，
只需求u＝－，x∈(0,6]的最大值．
∵x＋≥2，当且仅当x＝时，取等号．
∴umax＝－2，
∴2a＞－2，∴a＞－.
考点三 幂函数图象与性质
命题点
1.幂函数图象
2.幂函数性质
[例3] (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
解析：∵幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，∴f(x)＝.
答案：C
(2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．3
解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
又∵函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴m2＋m－3＞0，∴m＝2.
答案：B
(3)已知f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是( )
A．f(a)＜f(b)＜f＜f
B．f＜f＜f(b)＜f(a)
C．f(a)＜f(b)＜f＜f
D．f＜f(a)＜f＜f(b)
解析：∵0＜a＜b＜1，∴0＜a＜b＜＜，
又f(x)＝为增函数，
∴f(a)＜f(b)＜f＜f.
答案：C
[方法引航] (1)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
1．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图
象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d
C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c
解析：选B.幂函数a＝2，b＝，c＝－，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.
2．若，则实数a的取值范围是________．
解析：不等式等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.
解得a＜－1或＜a＜.
答案：(－∞，－1)∪
[规范答题]
“三个二次”间的转化
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决．
[典例] (本题满分12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)≥－1恒成立，求a的范围；
(3)若f(x)＝0的两根都在[0,1]内，求a的范围．
[规范解答] (1)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
②当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.2分
ⅰ.当0<≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在上递减，在上递增．
∴f(x)min＝f＝－＝－.4分
ⅱ.当>1，即00和a<0.
第三层：对称轴x＝与区间[0,1]的位置关系，左、内、右．
(2)讨论后要有总结答案．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国丙卷)已知则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A. 而函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以，即b＜a＜c，故选A.
2．(2015·高考山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：选C.由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b＜a＜c，故选C.
3．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
解析：选C.A中y＝是奇函数，A不正确；B中y＝e－x＝x是非奇非偶函数，B不正确；C中y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C正确；D中y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，D不正确．故选C.
4．(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：f(x)≤2⇒或⇒或⇒x＜1或1≤x≤8⇒x≤8，故填(－∞，8]．
答案：(－∞，8]
5．(2015·高考天津卷)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．
解析：由已知条件得b＝，令f(a)＝log2a·log2(2b)，则f(a)＝log2a·log2＝log2a(log216－log2a)＝log2a(4－log2a)＝－(log2a)2＋4log2a＝－(log2a－2)2＋4，
当log2a＝2，即a＝4时，f(a)取得最大值．
答案：4
课时规范训练
A组 基础演练
1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )
A．y＝－x2＋2x＋1
B．y＝－x2－2x－1
C．y＝－x2－2x＋1
D．y＝x2＋2x＋1
解析：选C.设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题图象得：a＜0，b＜0，c＞0.选C.
2．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设f(x)＝xa, 又f(4)＝3f(2)，∴4a＝3×2a，
解得a＝log23，∴f＝log23＝.
3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C.若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；
若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；
对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(2)＜f(0)＜f(－2) D．f(0)＜f(2)＜f(－2)
解析：选D.由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于x＝对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)＜f(2)＜f(－2)．
5．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．－2＜a＜2
C．a＞2或a＜－2 D．1＜a＜3
解析：选C.∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，
∴Δ＝a2－4＞0，则a＞2或a＜－2.
6．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2－11x＋30＋a.
结合图象有，∴0＜a≤.
答案：0＜a≤
7．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．
解析：由已知得⇒
答案：a＞0，ac＝4
8．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16.
答案：(－∞，16]
9．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
对称轴方程为x＝a.
(1)当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，
∴a＝(舍)．
(3)当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解：(1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2.
所以f(x)＝(x＋1)2.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.
由g(x)的图象知：要满足题意，则≥2或≤－1，即k≥6或k≤0，∴所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．
B组 能力突破
1．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
解析：选B.由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.
2．已知函数f(x)＝x2＋x＋c.若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有( )
A．f(p＋1)＞0 B．f(p＋1)＜0
C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符号不能确定
解析：选A.函数f(x)＝x2＋x＋c的图象的对称轴为直线x＝－，又∵f(0)＞0，f(p)＜0，∴－1＜p＜0，p＋1＞0，∴f(p＋1)＞0.
3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：选B.由函数图象知，a＜0，与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac.对称轴x＝－＝－1，∴2a－b＝0.
当x＝－1时，对应最大值，f(－1)＝a－b＋c＞0.
∵b＝2a，a＜0，∴5a＜2a，即5a＜b.
4．已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，
∴解得
∴3＜a＜5.
答案：(3,5)
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．
第5课时 指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*，式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与()n都等于a(n∈N*)．(×)
(2)当n∈N*时，()n都有意义．(×)
(3)分数指数幂可以理解为个a相乘．(×)
(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)
(5)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(×)
(6) ＝.(×)
(7)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)
(8)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(×)
(9)当x＞0时，y＝ax＞1.(×)
(10)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．(×)
考点一 指数幂的运算
命题点
1.具体实数的根式与指数幂的运算
2.含字母的根式与指数幂的运算
解：
解：
[方法引航] 指数幂的化简方法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
1．化简－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．7
C．－10 D．9
解析：选B. －(－1)0＝－1＝8－1＝7.
2．化简(x＜0，y＜0)的正确结果是( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
解析：选D.＝＝2·x2·|y|＝－2x2y.
考点二 指数函数图象及应用
命题点
1.指数函数图象的变换
2.指数函数图象的应用
[例2] (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.
答案：D
(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．
[方法引航] (1)
与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
1．(2017·河南三市一模)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
解析：选B.f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，故选B.
2．(2017·河北衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
考点三 指数函数的性质
命题点
1.比较指数式的大小
2.解指数方程或指数不等式
3.与指数函数复合的函数性质
[例3] (1)(2017·天津模拟)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5，∵y＝2x是增函数，∴21.44＜21.5＜21.8，即y2＜y3＜y1.
答案：D
(2)(2017·安徽合肥八中测试)不等式2－x2＋2x＞x＋4的解集为________．
解析：原不等式可化为2－x2＋2x＞2－x－4，
即－x2＋2x＞－x－4，∴x2－3x－4＜0，
(x－4)(x＋1)＜0，∴－1＜x＜4.
答案：{x|－1＜x＜4}
(3)已知函数f(x)＝ax2－4x＋3
①若f(x)有最大值3，求a的值；
②若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：①令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
②由指数函数的性质知，要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.
[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.
(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.
(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.
1．若本例(1)中的三个数变为y1＝，y2＝，y3＝，则大小关系如何．
解析：构造指数函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得y2＜y3，又y＝x(x∈R)与y＝x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有x＞x，故，即y1＞y3，∴y1＞y3＞y2.
答案：D
2．在本例(3)中，若a＝－1，求f(x)的单调区间．
解：当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
3．在本例(3)中，若a＝1，求使f(x)＝1的x的解．
解析：当a＝1时，f(x)＝x2－4x＋3＝1
∴x2－4x＋3＝0，∴x＝1或x＝3.
答案：1或3
[方法探究]
整体换元法，巧化指数式
指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．
一、根据整体化为同指数
[典例1] 计算(－)2 018·(＋)2 019的值为________．
[解析] 原式＝(－)2 018·(＋)2 018·(＋)＝[(－)·(＋)]2 018·(＋)＝＋.
[答案] ＋
二、根据整体化为同底数
[典例2] 若67x＝27,603y＝81，则－＝________.
[解析] ∵67x＝27,603y＝81，
[答案] －2
三、根据整体构造代数式
[典例3] 已知a2－3a＋1＝0，则＝________.
[解析] ∵a2－3a＋1＝0，∵a≠0，∴a＋＝3.
[答案]
四、根据整体构造常数ax·a－x＝1
[典例4] 化简＋＝________.
[解析] 法一：原式＝＋
＝＋＝＋＝＝1.
法二：原式＝＋
＝＋＝1.
[答案] 1
五、根据整体换元
[典例5] 函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
[解析] 因为x∈[－3,2]，
所以若令t＝x，则t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数值域为.
[答案]
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国丙卷)已知则( )
A．b＜a＜c B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A.因为且幂函数y＝在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.
2．(2016·高考浙江卷)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.( )
A．若f(a)≤|b|，则a≤b B．若f(a)≤2b，则a≤b
C．若f(a)≥|b|，则a≥b D．若f(a)≥2b，则a≥b
解析：选B.依题意得f(a)≥2a，
若f(a)≤2b，则2a≤f(a)≤2b，∴2a≤2b，
又y＝2x是R上的增函数，∴a≤b.故选B.
3．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
解析：选B.因为f(x)是偶函数，所以m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由题意得a＝f(log0.53)＝f(－log23)＝f(log23)，因为log25＞log2
3＞0，所以f(log25)＞f(log23)＞f(0)，即b＞a＞c，故选B.
4．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝ D．f(x)＝x
解析：选B.对于选项A，f(x＋y)＝(x＋y)3≠f(x)f(y)＝x3y3，排除A；对于选项B，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x在其定义域内是单调增函数，B正确；对于选项C，f(x＋y)＝≠f(x)f(y)＝＝，排除C；对于选项D，f(x＋y)＝x＋y＝xy＝f(x)f(y)，但f(x)＝x在其定义域内是减函数，排除D.故选B.
5．(2015·高考山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
解析：①当0＜a＜1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减，由题意可得，即，解得，此时a＋b＝－.
②当a＞1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得，即，显然无解．所以a＋b＝－.
答案：－
6．(2015·高考福建卷)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，做出函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，故实数m的最小值为1.
答案：1
课时规范训练
A组 基础演练
1．化简 (a＞0，b＞0)的结果是( )
A．a B．ab
C．a2b D.
解析：选D.原式＝＝a－1＝，故选D.
2．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
解析：选C.当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.
3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
解析：选A.∵y＝x＝2－x，
∴它与函数y＝2x的图象关于y轴对称．
4．函数y＝2x－2－x是( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
解析：选A.根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函数，排除C，D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x－2－x是R上的增函数，故选A.
5．设函数f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为( )
A．(－∞，1] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选C.当x＞0时，F(x)＝＋x≥2；
当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．
6．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.
答案：(1,2)
7．计算：＝________.
解析：原式＝＝2.
答案：2
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若0＜a＜1，显然y＝ax与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a＞1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点．
答案：(1，＋∞)
9．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解：令t＝ax(a＞0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝2－2＝14.
所以2＝16，所以a＝－或a＝.
又因为a＞0，所以a＝.
②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3.
10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.
B组 能力突破
1．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；
⑤a＝b＝0.
其中有可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.依题意，在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝3x的图象与直线y＝t，平移直线y＝t，通过观察可知，直线y＝t分别与函数y＝2x，y＝3x的图象的交点的横坐标a，b的大小关系可能是a＜b＜0；a＝b＝0；0＜b＜a，因此其中有可能成立的关系式共有3个，故选C.
2．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由f(x－1)＝f(x＋1)可知T＝2.
∵x∈[0,1]时，f(x)＝x，又∵f(x)是偶函数，∴可得函数图象如图所示．
∴f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是4个．故选D.
3．已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.∵函数f(x)＝是定义域上的递减函数，
∴即
解得＜a≤.
4．已知f(x)＝＋1，且f(a)＝3，则f(－a)的值为________．
解析：∵f(x)＝＋1＝＋1＝3x－3－x＋1，函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R，f(－x)＝3－x－3－(－x)＋1＝3－x－3x＋1，∴f(x)＋f(－x)＝(3x－3－x＋1)＋(3－x－3x＋1)＝2，由于f(a)＋f(－a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝2－3＝－1.
答案：－1
5．设函数f(x)＝(ax－a－x)(a＞0，a≠1)
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若m∈R满足f(m)＞f(m2＋2m－2)，求m的范围．
解：(1)当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数．
所以f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数．
所以f(x)为增函数．
故当a＞0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)在R上单调递增．
∴由f(m)＞f(m2＋2m－2)得m＞m2＋2m－2，
即m2＋m－2＜0，(m＋2)(m－1)＜0，∴－2＜m＜1.
故m的范围为(－2,1)．
第6课时 对数与对数函数
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则：
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logMn＝logaM.
(2)对数的性质：
①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．
(3)对数的重要公式：
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0
(5)当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
5．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(×)
(2)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)
(3)logax·logay＝loga(x＋y)．(×)
(4)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(×)
(5)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)
(6)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)
(7)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)．(√)
(8)log2x2＝2log2x.(×)
(9)当x＞1时，logax＞0.(×)
(10)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.(×)
考点一 对数式的运算
命题点
1.指数式与对数式的互化
2.计算对数值
[例1] (1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于( )
A. B.
C. D.
解析：由x＝log43，得4x＝3，即2x＝，
2－x＝，所以(2x－2－x)2＝2＝.
答案：D
(2)(2017·山东日照质检)2lg 2－lg 的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：2lg 2－lg＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.
答案：B
[方法引航] (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
1．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.
解析：∵4a＝2，∴a＝log42＝log44＝.
又∵lg x＝a，∴lg x＝，
∴x＝＝.
答案：
2．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )
A．5 B．3
C．－1 D.
解析：选A.因为f(1)＝log21＝0，所以
f(f(1))＝f(0)＝2.
因为log3＜0，所以f(log3)＝3－log3＋1
＝3log32＋1＝2＋1＝3.
所以f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5.
考点二 对数函数的图象及应用
命题点
1.对数函数的图象变换与识别
2.应用对数函数的图象求参数
3.应用对数函数图象解不等式
[例2] (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C.
答案：C
(2)已知0＜m1＜2＜m2，a＞0，且a≠1，若logam1＝m1－1，logam2＝m2－1，则实数a的取值范围是( )
A．2＜a＜3 B．0＜a＜1
C．1＜a＜2 D．3＜a＜4
解析：依题意，知方程式logax＝x－1有两个不等实根m1，m2，在同一直角坐标系下，作出函数y＝logax与y＝x－1的图象，显然a＞1，由图可知m1＝1，要使m2＞2，需满足loga2＞2－1，即a＜2.综上知：实数a的取值范围是1＜a＜2，选C.
答案：C
(3)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________．
解析：由题意知y＝f(x)的图象如图所示：
所以满足f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
[方法引航] (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
1．(2017·福建福州模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是( )
解析：选A.因为y＝lg|x－1|＝
当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.
又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
2．当0＜x≤时，4x＜loga x，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，) D．(，2)
解析：选B.法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知，f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.
法二：∵0＜x≤，∴1＜4x≤2，∴logax＞4x＞1，
∴0＜a＜1，排除选项C，D；取a＝，x＝，
则有，显然4x＜logax不成立，排除选项A.
3．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
解析：选C.在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的图象如图所示．
所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1＜x≤1}，所以选C.
考点三 对数函数性质及应用
命题点
1.对数函数的定义域
2.利用单调性比较对数值的大小
3.与对数函数复合的函数的性质
[例3] (1)函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：要使函数f(x)＝有意义，需使，解得x＞2，即函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
答案：C
(2)(2017·天津一模)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝－0.52，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．b＜a＜c
解析：a＝log25＞2，b＝log5(log25)∈(0,1)，c＝－0.52∈(1,2)，可得b＜c＜a.故选B.
答案：B
(3)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.
①求f(x)的定义域；
②判断f(x)的奇偶性并予以证明；
③当a＞1时，求使f(x)＞0的x的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得－1＜x＜1.
故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)＞0⇔＞1，解得0＜x＜1.
所以使f(x)＞0的x的解集是(0,1)．
[方法引航] (1)对于多个对数值大小比较，首先利用对数性质分开正、负数(与0比较)再分开(0，1)与(1，＋∞)(与1比较)
(2)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.
(3)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论.
1．在本例(3)中，将函数变为f(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，a＞0且a≠1.判断函数的单调性．
解：f(x)的定义域为即x∈(－1,1)
∴f(x)＝loga(1－x2)，设g(x)＝1－x2
∴当a＞1时，x∈(－1,0)，g(x)为增函数，
∴f(x)＝loga(1－x2)为增函数，
x∈(0,1)，g(x)为减函数，f(x)＝loga(1－x2)为减函数
当0＜a＜1时，x∈(－1,0)，g(x)为增函数，f(x)＝loga(1－x2)为减函数，
x∈(0,1)，g(x)为减，f(x)＝loga(1－x2)为增函数．
2．在本例(3)中，当0＜a＜1时，求解f(x)＞0的解集．
解：∵f(x)＞0，∴loga(1＋x)＞loga(1－x)．
∴，∴－1＜x＜0.
∴f(x)的解集为(－1,0)．
[易错警示]
忽视对数底数的分类讨论
[典例] (2017·甘肃兰州模拟)已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，则a的值为________．
[正解] 当a＞1时，y＝logax(2≤x≤4)为增函数，
ymax＝loga4，ymin＝loga2.
∴loga4－loga2＝1，即loga2＝1，∴a＝2.
当0＜a＜1时，y＝logax(2≤x≤4)为减函数，
ymax＝loga2，ymin＝loga4.
∴loga2－loga4＝1，即－loga2＝1，∴a＝.
[答案] 2或
[易误] 对数函数的底数含有参数a，易忽视讨论a与1的大小关系而直接按a＞1解题，只得一解2.
[警示] 当应用对数函数y＝logax的单调性，而底数a不确定时，要分a＞1或0＜a＜1进行讨论．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
解析：选B.∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；
∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，∴logca＜logcb，B项正确；
∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，
又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；
∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，
又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．故选B.
2．(2016·高考全国乙卷)若a＞b＞1,0＜c＜1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
解析：选C.对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，A错．对于选项B，abc＜bac⇔c＜，又y＝x是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.
3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A.当a≤1时，2a－1－2＝－3，无解；当a＞1时，－log2(a＋1)＝－3，得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－，故选A.
4．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
解析：选A.函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)＞f(2x－1)⇔f(|x|)＞f(|2x－1|)，
∴|x|＞|2x－1|，解得＜x＜1，故选A.
5．(2013·高考课标卷Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a＞c＞b B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：选D.∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，∴log3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，
∴＜a＜1,0＜b＜，c＞1，
∴c＞a＞b.故选D.
6．(2016·高考浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1.若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D.法一：logab＞1＝logaa，
当a＞1时，b＞a＞1；
当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．
法二：取a＝2，b＝3，排除A、B、C，故选D.
课时规范训练
A组 基础演练
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
解析：选B.由，得－1＜x≤2，且x≠0.
2．已知a＞0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析：选B.函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，又y＝ax的图象与y＝logax图象关于y＝x对称，符合条件的只有B.
3．设a＝30.5，b＝0.53，c＝log0.53，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
解析：选C.因为a＝30.5＞30＝1,0＜b＝0.53＜0.50＝1，c＝log0.53＜log0.51＝0，所以c＜0＜b＜1＜a，故选C.
4．已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则( )
A．x＜y＜z B．z＜x＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
解析：选D.∵x＝ln π＞ln e，∴x＞1.
∵y＝log52＜log5，∴0＜y＜.
∵z＝＝＞＝，∴＜z＜1.
综上可知，y＜z＜x.
5．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：选C.f(a)＞f(－a)⇒ 或
⇒或⇒a＞1或－1＜a＜0.
6．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
解析：原式＝＝＋＝.
答案：
7．函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________．
解析：因为函数y＝2x，y＝log2x在[1,2]上都单调递增，
所以f(x)＝2x＋log2x在[1,2]上也单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值2，当x＝2时，函数f(x)取得最大值5，即函数值域是[2,5]．
答案：[2,5]
8．已知函数f(x)＝，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．
解析：当x≤0时，3x＋1＞1⇒x＋1＞0，∴－1＜x≤0；
当x＞0时，log2x＞1⇒x＞2，∴x＞2.
综上所述，x的取值范围为－1＜x≤0或x＞2.
答案：{x|－1＜x≤0或x＞2}
9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，
∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
∴函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10．已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，求a的取值范围．
解：由已知f(x)＝logax，
当0＜a＜1时，－|f(2)|＝loga＋loga2＝loga＞0，
当a＞1时，－|f(2)|
＝－loga－loga2＝－loga＞0，故＞|f(2)|总成立．则y＝|f(x)|的图象如图．
要使x∈时恒有|f(x)|≤1，
只需≤1，
即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa，
当a＞1时，得a－1≤≤a，即a≥3；
当0＜a＜1时，得a－1≥≥a，即0＜a≤.
综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．
B组 能力突破
1．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值为( )
A．36 B．72
C．108 D.
解析：选C.设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，所以＋＝＝＝108.所以选C.
2．函数f(x)＝loga(ax－3)(a＞0且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C. D．(3，＋∞)
解析：选D.由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，
∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
因此a＞1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正，
∴a－3＞0，即a＞3，故选D.
3．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析：选C.作出f(x)的大致图象，不妨设a＜b＜c，因为a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lg a|＝|lg b|，因为a≠b，所以lg a＝－lg b，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10,12)．
4．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≤2时，y＝－x＋6≥4.
∵f(x)的值域为[4，＋∞)，
∴当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，∴loga2≥1，
∴1＜a≤2；
当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．
故a∈(1,2]．
答案：(1,2]
5．已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1.
(1)求ab的取值范围．
(2)求y＝f(x)关于(0,0)对称的函数解析式．
解：(1)由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋，又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜，故0＜－2＋＜.
(2)设所求解析式上一点P(x，y)，
关于(0,0)对称点为P′(－x，－y)在y＝ln上，
∴－y＝ln－，∴y＝ln.
∴关于(0,0)对称的解析式为f(x)＝ln .
第7课时 函数的图象
1．描点法作图
方法步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
(4)描点连线，画出函数的图象．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换：
y＝f(x)
y＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
(4)翻折变换：
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的图象相同．(×)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(×)
(6)将函数y＝f(x)的图象向上平移c个单位，得到y－c＝f(x)(c＞0)．(√)
(7)y＝x与y＝的图象是相同的．(×)
(8)函数y＝＋的图象是一个点．(√)
(9)函数y＝x2与y＝的图象是关于y轴对称的抛物线．(×)
(10)函数y＝的图象关于(1,0)点对称．(√)
考点一 作函数图象
命题点
1.利用基本函数和性质作图
2.利用基本函数和变换作图
[例1] 作出下列函数的图象，并标明与x轴、y轴的交点．
(1)y＝x2－2|x|－1；
解：y＝x2－2|x|－1＝
关于y轴对称，先作出x≥0时的图象再作关于y轴对称部分，如图．
(2)y＝|log2(x＋1)|.
解：由y＝log2x向左平移1个单位，然后保留x轴上方的图象，并把x轴下方图象沿x轴翻折到x轴上方，如图．
[方法引航] (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋(m＞0)的函数是图象变换的基础；,(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程.
1．作函数y＝sin|x|的图象．
解：当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，
又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，其图象如图．
2．作函数y＝的图象．
解：因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图．
考点二 识图与辨图
命题点
1.已知具体的函数解析式，识别图象
2.已知含参数的两个函数解析式识别图象
3.无函数解析式用函数关系识别图象
[例2] (1)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
解析：因为函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，所以排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝cos π＝－π＜0，排除选项C，故选D.
答案：D
(2)(2017·福建三明调研)函数y＝ax2＋bx与函数y＝xa＋b(a≠0)在同一坐标系中的图象可能为( )
解析：y＝ax2＋bx＝a2－，对于A，由二次函数图象可知，a＜0，－＜0，所以b＜0，函数y＝xa＋b不符合要求，同理B不符合要求；对于C，D，由二次函数图象可知，a＜0，－＞0，所以b＞0，比较选项C，D可知C符合要求．
答案：C
(3)如图，在一个盛满水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速地将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是( )
解析：球拉出水面开始时球上半部较小，因而水递减较缓慢．球中部拉出水面时水递增的速度较快，最后球中的水全部放回，水面基本持平(因为球是薄壁的)，故选B.
答案：B
1．函数y＝的图象大致是( )
解析：选C.由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝＞0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
2．函数y＝xa与y＝logax的图象在同一坐标系中的图象可能为( )
解析：选D.函数y＝xa(x≥0)与y＝logax(x＞0)，选项A中没有幂函数图象，不符合；对于选项B，y＝xa(x≥0)中a＞1，y＝logax(x＞0)中0＜a＜1，不符合；对于选项C，y＝xa(x≥0)中，0＜a＜1，y＝logax(x＞0)中a＞1，不符合，对于选项D，y＝xa(x≥0)中0＜a＜1，y＝logax(x＞0)中，0＜a＜1，符合，故选D.
3．(2017·安徽合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
考点三 函数图象的应用
命题点
1.用图象研究函数性质
2.用图象研究方程的根
3.用图象求解不等式
4.用图象求函数解析式
[例3] (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
答案：C
(2)已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析：将函数y＝化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得实数k的取值范围为(0,1)∪(1,2)．
答案：(0,1)∪(1,2)
(3)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：f(x)为奇函数，所以不等式＜0化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
答案：D
(4)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
则得∴y＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案：f(x)＝
[方法引航] (1)根据图象的左右上下的取值可看出函数的定义域、值域、最值.根据图象的对称性可看出奇偶性，根据图象的上升、下降可看出单调性.
(2)利用函数的图象研究方程根的个数,当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.
(3)利用函数的图象研究不等式,当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.,(4)根据图象反映的性质或特殊点用待定系数法求解析式.
1．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D.根据所给分段函数解析式，画出函数图象解答．
画函数f(x)＝
的图象如图所示，由图象知只有D正确．
2．函数f(x)＝3x－1的零点个数为( )
A．0 B．1
C．4 D．2
解析：选D.令f(x)＝0，得＝x，在同一坐标系内作出函数y＝与y＝x的大致图象，结合图象可知它们共有两个不同的交点，因此函数f(x)的零点个数是2，故选D.
3．不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为( )
A．[，] B．[，]
C．(1，] D．(1，]
解析：选B.不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a＞1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足
得≤a＜，故选B.
4．(2017·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
解析：选A.由图象知函数为奇函数，排除B、C；当x→＋∞时，f(x)→0；D选项中f(x)→＋∞，排除D，故选A.
[思想方法]
数形结合思想——柳暗花明
有些数学问题，如果只从代数的角度难以入手或者太麻烦，可考虑借助函数图象，用数形结合思想“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化．
[典例] a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．
[解析] 对a分类画出函数f(x)的图象，由图象确定函数的单调性，由单调性确定最大值g(a)，求出函数g(a)的解析式后，再确定g(a)最小时对应的a的值．
(1)当a＝0时，f(x)＝x2, 函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，故g(a)＝f(1)＝1.
(2)当a＜0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，故g(a)＝f(1)＝1－a.
(3)当0＜a＜1时，函数f(x)的图象如图(2)所示，f＝，f(1)＝1－a，f－f(1)＝－(1－a)＝.
①当0＜a＜2－2时，因为f－f(1)＜0，即f＜f(1)，所以g(a)＝f(1)＝1－a；
②当2－2≤a＜1时，因为f－f(1)≥0，即f≥f(1)，所以g(a)＝f＝.
(4)当1≤a＜2时，函数f(x)的图象如图(3)所示，因为函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，故g(a)＝f＝.
(5)当a≥2时，函数f(x)的图象如图(4)所示，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，故g(a)＝f(1)＝a－1.
综上，g(a)＝
当a＜2－2时，g(a)＞g(2－2)＝3－2；
当2－2≤a＜2时，g(a)≥g(2－2)＝3－2；
当a≥2时，g(a)≥g(2)＝1＞3－2.
综上，当a＝2－2时，g(a)min＝3－2.
[答案] 2－2
[高考真题体验]
1．(2013·高考福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
解析：选A.函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln 1＝0，综上选A.
2．(2016·高考全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )
解析：选D.当x＝2时，y＝8－e2∈(0,1)，排除A，B；易知函数y＝2x2－e|x|为偶函数，当x∈[0,2]时，y＝2x2－ex，求导得y′＝4x－ex，当x＝0时，y′＜0，当x＝2时，y′＞0，所以y＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.
3．(2015·高考课标卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．4
解析：选C.在y＝f(x)的图象上任取一点P(x0，y0)，则P(x0，y0)关于直线y＝－x对称的点为P′(－y0，－x0)，所以P′必在y＝2x＋a的图象上，即－x0＝2－y0＋a，
所以－y0＋a＝log2(－x0)，即y0＝a－log2(－x0)，
所以f(x)＝a－log2(－x)，又f(－2)＋f(－4)＝1，
所以2a－log22－log24＝1，
即2a－1－2＝1，解得a＝2，故选C.
4．(2015·高考课标卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B
两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选B.当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2＜1＋，∴f＜f＝f，从而排除D，故选B.
5．(2013·高考课标卷Ⅰ)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为( )
解析：选C.因为f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cos x)·sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项B；当x∈(0，π)时，1－cos x＞0，sin x＞0，所以f(x)＞0，排除选项A；又函数f(x)的导函数f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)·cos x，所以f′(0)＝0，排除D.故选C.
6．(2016·高考浙江卷)函数y＝sin x2的图象是( )
解析：选D.排除法．由y＝sin x2为偶函数判断函数图象的对称性，排除A，C；当x＝时，y＝sin2＝sin≠1，排除B，故选D.
课时规范训练
A组 基础演练
1．函数y＝1－的图象是( )
解析：选B.将y＝－的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．
2．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C.因为函数f(x)＝1＋log2x的零点是，排除A；g(x)＝21－x是减函数，且与y轴的交点为(0,2)，排除B和D，故选C.
3．函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )
解析：选D.函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，排除B.取x＝，排除C；取x＝π，排除A，故选D.
4．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
解析：选C.y＝f(－|x|)＝.
5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
解析：选C.要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
6．若loga2＜0(a＞0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是( )
解析：选B.∵loga2＜0，∴0＜a＜1，
由f(x)＝loga(x＋1)的单调性可知A、D选项错误，
再由定义域知B选项正确．
7．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是( )
A．(－1,0) B．[－1,0)
C．(－2,0) D．[－2,0)
解析：选A.在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)，故选A.
8．现有四个函数：①y＝xsin x，②y＝xcos x，③y＝x|cos x|，④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A．④①②③ B．①④③②
C．③④②① D．①④②③
解析：选D.由于函数y＝xsin x是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y＝xcos x为奇函数，且当x＝π时，y＝－π＜0，故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cos x|为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y＝x·2x为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.
9．函数f(x)＝axm(1－x)2在区间[0,1]上的图象如图所示，则m的值可能是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.f′(x)＝maxm－1(1－x)2－2axm(1－x)＝axm－1(1－x)·[m－(m＋2)x]，令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝，由图象可得0＜＜0.5，解得0＜m＜2，故选A.
10．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
解析：选C.∵f(x)＝的图象与x，y轴分别交于N，M，且点M的纵坐标与点
N的横坐标均为正，∴x＝－＞0，y＝＞0，故a＜0，b＞0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c＞0，故c＜0，故选C.
B组 能力突破
1．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是( )
解析：选C.随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.
2．已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝，则不等式f(x－1)≤的解集为( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
解析：选A.作出y＝f(x)与y＝的图象如图所示，
由图象易知f(x)≤的解集为∪，
∴f(x－1)≤的解集为∪，故选A.
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0的x∈(2,8]．
答案：(2,8]
4．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
解析：y＝x2－|x|＋a是偶函数，图象如图所示，由图象可知y＝1与y＝x2－|x|＋a有四个交点，需满足a－＜1＜a，即1＜a＜.
答案：1＜a＜
5．如图所示，函数y＝f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．
若∀x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．
解析：∀x∈R，f(x)＞f(x－1)．由题图象易知a＞0，且6a＜1，∴0＜a＜.
答案：
6．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
第8课时 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
3.二分法
(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
②求区间(a，b)的中点c；
③计算f(c)；
(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(×)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(√)
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)
(5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(√)
(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1＜k＜－.(×)
(7)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)＜0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点．(×)
(8)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．(√)
(9)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是y＝f(x)与y＝g(x)的交点．(×)
(10)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．(√)
考点一 函数零点的判断和求解
命题点
1.判断函数零点所在区间
2.判断函数零点个数
3.求函数零点
[例1] (1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
答案：C
(2)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0,4]，
所以0≤x2≤16.因为5π＜16＜，
所以函数y＝cos x2在x2取，，，，时为0，
此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为6.
答案：C
(3)若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
解析：求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，
∴或
解得x＝1＋或x＝1.
∴g(x)的零点为1＋，1.
答案：1＋，1
[方法引航] (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
1．(2017·浙江温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B.法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，
∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，
∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
2．函数y＝|log2x|－x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选C.令y＝|log2x|－x＝0，即|log2x|＝x，在同一坐标系下作出y＝|log2x|和y＝x的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
解析：选D.法一：求出当x＜0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．
令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.
令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}．
法二：令g(x)＝0，即f(x)－x＋3＝0，∴f(x)＝x－3，
作y＝f(x)与y＝x－3的图象，由图象可知有3个交点．
y轴右侧有2个交点，其零点为1或3.y轴左侧一个零点x＜－3，故选D.
考点二 二次函数零点问题
命题点
1.判断二次函数零点问题
2.已知二次函数零点求参数
[例2] (1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
答案：A
(2)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a
－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解：令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0，
即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a＜－或a＞1.
1．在本例(2)中，若a＝0，求f(x)在[－1,3]上的零点．
解析：当a＝0时，f(x)＝x2－2x－1＝0，
∴(x－1)2＝2，∴x＝1＋∈[－1,3]，
x＝1－∈[－1,3]．
故f(x)在[－1,3]上的零点为1±.
2．在本例(2)中，条件不变，若f(x)在[－1,3]内有两个不同零点，求a的范围．
解析：由题意得
即解得－≤a≤1.
[思想方法]
唇齿相依的函数与方程——函数与方程思想
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
[典例] 设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A. B.
C. D．[1，＋∞)
[解析] 利用分段函数求值的基本方法分段求解．
由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥，故选C.
[答案] C
[回顾反思] 首先用函数思想处理f(f(a))的表达式：结合分段函数，讨论自变量a的取值，求函数值f(a)的取值进而确定f(f(a))表达式，其次，再将方程f(f(a))＝2f(a)转化为函数h(a)＝f(f(a))－2f(a)，研究函数零点，确定方程根．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B.因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝×2＝m，所以(xi＋yi)＝m，故选B.
2．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝ln x D．y＝x2＋1
解析：选A.y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.
3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析：选B.在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故＜k＜1.
4．(2015·高考湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b
的取值范围是________．
解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(图略)可知，0＜b＜2.
答案：(0,2)
5．(2016·高考浙江卷)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析：由于a＞b＞1，则logab∈(0,1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.
答案：4 2
6．(2016·高考山东卷)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：f(x)＝当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．①当即0＜m≤3时，函数f(x)的图象如图1所示，易得直线y＝b与函数f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当即m＞3时，函数f(x)的图象如图2所示，则存在实数b满足4m－m2＜b≤m，使得直线y＝b与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m的取值范围为(3，＋∞)．
答案：(3，＋∞)
课时规范训练
A组 基础演练
1．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选C.设f(x)＝log3x＋x－3，则
f(2)＝log32－1＜0，
f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，
∴f(x)＝0在(2,3)有零点，
又f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．
2．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.
3．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
解析：选C.由题意知f(－1)f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.
4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.(数形结合法)
∵a＞0，∴a2＋1＞1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
5．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选B.由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图所示，总共有5个交点，所以共有5个零点．
6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间为________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1＜0，
f(2.5)＝2.53－10＞0.
从而下一个有根的区间为(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：画出f(x)＝的图象，如图．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，
即m∈(0,1)．
答案：(0,1)
8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知，
∴，∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0⇔－＜x＜1.
答案：{x|－＜x＜1}
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g＜0.
又函数g(x)在[0，]上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.
10．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．
解：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则(x1－1)(x2－1)＜0，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，
由根与系数的关系，
得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0，
即a2＋a－2＜0，∴－2＜a＜1.
法二：函数图象大致如图，则有f(1)＜0，
即1＋(a2－1)＋a－2＜0，∴－2＜a＜1.
B组 能力突破
1．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析：选B.由于f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0，
且f(x)为单调递增函数．
故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．
∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；
∵h＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1＞0，
且h(x)为单调递增函数，
∴h(x)的零点c∈，因此a＜c＜b.
2．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )
A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)
C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0
解析：选A.依题意，f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－2＞0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0＜a＜1.g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1＜b＜2，于是有f(b)＞f(1)＞0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)＜g(1)＜0，g(a)＜0＜f(b)．
3．(2016·山东临沂一模)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即
解得0，b≠1)，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围．
[规范解答] (1)预测①：f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
预测②：f(x)<130对x∈[1，＋∞)恒成立.2分
(2)将(1,100)，(2,120)代入到y＝＋n中，
得解得3分
则f(x)＝－＋140，所以f′(x)＝>0，
故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，符合预测①.
又当x≥4时，f(x)＝－＋140≥130，
所以此时f(x)不符合预测②.4分
(3)由解得5分
因为f′(x)＝a·bx·ln b，要想符合预测①，则f′(x)>0，
即a·ln b>0，从而或7分
当b>1时，a＝>0，此时符合预测①.
但由f(x)≥130，解得x≥logb，
即当x≥logb时，f(x)≥130，所以此时f(x)不符合预测②.9分
当01和0
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