【数学】2018届一轮复习北师大版解析几何教案 5页

透视全国高考　揭秘命题规律(五)‎ ‎——解析几何(全国卷第20题)‎ 圆锥曲线中的特性问题 圆锥曲线除一些基本的几何性质外，其内含很多精彩优美的几何特性，这些深藏不露的优美特性的证明(或作为隐含的条件)是如今高考试题的主打题型之一，必须引起高度关注．‎ ‎ (1)(2015·高考全国卷Ⅱ节选)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．‎ ‎【证明】　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．‎ 将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.‎ 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.‎ 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．‎ 说明：①本题所证明的两直线斜率的乘积为定值是椭圆众多特性之一，该问题还可以用“点差法”证明．‎ ‎②该特性还可以推广到双曲线，用“点差法”证明如下．‎ 设AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)不过中心和与坐标轴不平行的弦，M为AB的中点．‎ 求证kAB·kOM＝.‎ 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则 －＝1， ①‎ －＝1， ②‎ 且x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，‎ ‎①－②得 －＝0，‎ 即＝ 所以·＝.即kAB·kOM＝.‎ ‎(2)(2016·高考全国卷丙节选)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ.‎ ‎【证明】　由题知F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.‎ 记过A，B两点的直线为l，‎ 则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ 说明：本题所证明的AR∥FQ这一特性可推广到一般抛物线y2＝2px(p>0)也都具有该特征，且证明方法也多种多样．‎ 第一步：画出简图，根据条件进行设置相关元．‎ 第二步：利用条件结构将几何问题转化为代数问题．‎ 第三步：根据题目中待证结论，利用恰当的数学化简方法，直击结论目标．‎ 轨迹方程与几何度量(面积、长度)‎ ‎ (2016·高考全国卷乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．‎ ‎【解】　(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.‎ 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.‎ 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝|x1－x2|＝.‎ 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，‎ 所以|PQ|＝2＝4.‎ 故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8)．‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8)．‎ ‎(1)用定义求轨迹 第一步：根据题意画出简图．‎ 第二步：根据几何条件，动静结合，列出动点(曲线或轨迹)与静点(定直线)的关系，化简后与圆锥曲线的定义结合．‎ 第三步：根据圆锥曲线的定义写出其标准方程．‎ ‎(2)几何度量问题 第一步：观察分析引起几何度量问题的元素是什么(一般为直线斜率或曲线上的点或某些给出的元素)，设出该元素，并将引起几何度量的相关量用该元素表示出来．‎ 第二步：如果要解决的问题是定点、定值或证明问题；通过化简的方法直击目标．如果几何度量是受元素的变化而变化；则建立目标函数(目标关系)，利用求函数值域或不等式的基本方法求解其几何度量．‎ 第三步：对问题的特殊性必须加以说明(例如直线斜率不存在等)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　由曲线方程求(证明)其相关量 满分展示 ‎ (满分12分)(2016·高考全国卷甲)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2.‎ ‎[联想破译]‎ 联想因素：斜率k，MA⊥NA，|AM|＝|AN|，△AMN的面积，