【数学】2019届一轮复习北师大版 导数及其应用 学案 6页

高考必考题突破讲座(一)‎ 导数及其应用 ‎[解密考纲]导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．‎ ‎1．已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2.‎ ‎(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；‎ ‎(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，若函数F(x)的零点有且只有一个，求实数a的值．‎ 解析　(1)∵f′(x)＝ln x＋1，‎ ‎∴当0时，f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎①当00)，‎ ‎∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴h(x)min＝h(1)＝3，‎ 由题意可知，若使y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，则a＝h(x)min＝3.‎ 综上，若函数F(x)的零点有且只有一个，则实数a＝3.‎ ‎2．已知函数f(x)＝x·eax＋ln x－e，(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)设g(x)＝ln x＋－e，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)∵a＝1，‎ ‎∴f(x)＝xex＋ln x－e，f′(x)＝(x＋1)ex＋，‎ ‎∴f(1)＝0，f′(1)＝2e＋1．‎ ‎∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝(2e＋1)(x－1)．‎ ‎(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝xeax－＝在定义域(0，＋∞)上存在两个零点，即x2eax－1＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．‎ 令φ(x)＝x2eax－1，则φ′(x)＝ax2eax＋2xeax＝xeax(ax＋2)，‎ ‎①当a≥0时，φ′(x)＝xeax(ax＋2)>0，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)至多一个零点，不合题意．‎ ‎②当a<0时，令φ′(x)＝0，得x＝－.‎ x ‎－ φ′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ φ(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 ‎∵φ(0)＝－1，当x→＋∞，φ(x)→－1，‎ ‎∴要使φ(x)＝x2eax－1在(0，＋∞)上有两个零点，‎ 则φ>0即可，得a2<，又a<0，∴－0；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.‎ 故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．‎ ‎∴g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(1)＝－1．‎ ‎∴当－30在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)由题知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.‎ 当a＜0时，由f′(x)＞0得0＜x＜；由f′(x)＜0得 x＞，‎ 则当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎(2)∵xf′(x)－f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴x－(1n x＋ax2)＞0在(0，＋∞)上恒成立，‎ 即a＞在(0，＋∞)上恒成立. ‎ 设h(x)＝＝(x＞0) ，则h′(x)＝，‎ 由h′(x)＞0得0＜x＜e；由h′(x)＜0得x＜e，‎ 故函数h(x)在上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴h(x)max＝h＝，∴a＞ ，即实数a的取值范围为. ‎ ‎5．已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b为实数)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x ‎－1．‎ ‎(1)求实数a，b的值及函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)设函数g(x)＝，证明：g(x1)＝g(x2)(x12.‎ 解析　(1)由题得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝a(1＋ln x)，‎ 因为曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，‎ 所以解得a＝1，b＝0.‎ 令f′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝.‎ 当0时，f′(x)>0，f(x)在区间上单调递增．‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎(2)由(1)得，g(x)＝＝ln x＋.‎ 由g(x1)＝g(x2)(x10.‎ 要证x1＋x2>2，需证(x1＋x2)>2ln，‎ 即证－>2ln，‎ 设＝t(t>1)，则要证－>2ln，‎ 等价于证：t－>2ln t(t>1)．‎ 令u(t)＝t－－2ln t，则u′(t)＝1＋－＝2>0，‎ ‎∴u(t)在区间(1，＋∞)上单调递增，u(t)>u(1)＝0，‎ 即t－>2ln t，故x1＋x2>2.‎ ‎6．已知函数f(x)＝x2－x＋aln x(a>0)．‎ ‎(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)> 解析　(1)a＝1时，f(x)＝x2－x＋lnx，‎ f′(x)＝x－1＋，‎ f′(1)＝1，f(1)＝－，∴y－＝x－1，即y＝x－.‎ ‎∴f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为2x－2y－3＝0.‎ ‎(2)f′(x)＝x－1＋＝(a>0)．‎ ‎①若a≥，则x2－x＋a≥0，f′(x)≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎②若00得0；由x2－x＋a<0得g＝.‎ ‎∴f(x1)＋f(x2)>.‎