【数学】2018届一轮复习北师大版第三章三角函数解三角形第三节两角和与差的正弦余弦和正切公式教案 11页

第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；‎ ‎2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；‎ ‎3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；‎ ‎4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，9,5分(两角和差与二倍角公式)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，2,5分(两角差正弦公式)‎ ‎2014，全国卷Ⅱ，14,5分(两角和与差三角公式、三角函数最值)‎ ‎2014，全国卷Ⅱ，15,5分(给值求值)‎ 和差角公式、二倍角公式常与三角函数的求值、化简交汇命题，有时也与解三角形、三角函数的性质交汇考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．两角和的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。‎ ‎(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。‎ ‎(3)tan(α＋β)＝。‎ ‎2．两角差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)。‎ ‎(2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)。‎ ‎(3)＝tan(α－β)。‎ ‎3．常用公式的变化形式 ‎(1)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，‎ 其中cosφ＝，sinφ＝ 或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，‎ 其中cosθ＝，sinθ＝。‎ ‎(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)。‎ ‎(3)＝tan。‎ ‎(4)＝tan。‎ 微点提醒 应用公式时要三看：角，名，形。‎ ‎(1)角：观察角之间的关系，如α＝(α＋β)－β，＝2等，通过观察角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式。‎ ‎(2)名：观察三角函数的名称之间的关系，如sinα，cosα，tanα的关系，常常要用到同角关系、诱导公式。通过观察函数名称之间的关系，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”等。‎ ‎(3)形：观察已知与未知的表达式之间的关系，主要是公式的变形应用。分析表达式的结构特征，寻求变形的方向，迅速准确地使用公式。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修4P131练习T5改编)计算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝________。‎ ‎【解析】　原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°‎ ‎＝sin72°cos42°－cos72°sin42°‎ ‎＝sin(72°－42°)‎ ‎＝sin30°‎ ‎＝。‎ ‎【答案】　 ‎2．(必修4P‎137A组T5改编)已知cos＝－，则cosα＝________。‎ ‎【解析】　因为<α<π，‎ 所以<α＋<π，又cos＝－，‎ 所以sin＝ ＝，‎ 所以cosα＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝－×＋×＝。‎ ‎【答案】　 ‎3．(必修4P‎146A组T3)已知α，β都是锐角，tanα＝，sinβ＝，则α＋2β的大小为________。‎ ‎【解析】　因为β为锐角，且sinβ＝，所以tanβ＝，所以tan2β＝＝＝。故tan(α＋2β)＝＝＝1。又因为β为锐角，且sinβ＝cos(α＋β)。‎ 因为>>－，所以cos(α＋β)＝－。‎ 于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ‎＝－×＋×＝。故选A。‎ ‎(2)∵cos＋sinα＝，‎ ‎∴cosα＋sinα＝，‎ ＝，‎ sin＝，‎ ‎∴sin＝，‎ ‎∴sin＝－sin＝－。‎ ‎【答案】　(1)A　(2)－ 反思归纳　1.三角函数公式活用技巧 ‎(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式。‎ ‎(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用。‎ ‎2．利用角的变换求三角函数值的策略 ‎(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；‎ ‎(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。‎ 考点二 ‎ 三角函数求值…………多维探究 角度一：给值求值 ‎【典例4】　(1)已知sin＝－，α∈，求sinα的值。‎ ‎(2)已知<β<α<，sin(α＋β)＝－，cos(α－β)＝，求cos2α的值。‎ ‎【解析】　(1)∵α∈，‎ ‎∴α＋∈。‎ 又sin＝－<0，∴α＋∈。‎ ‎∴cos＝ ＝。‎ ‎∴sinα＝sin ‎＝sincos－cossin ‎＝·－·＝－。‎ ‎(2)∵0<α－β<，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝ ＝。‎ ‎∵π<α＋β<，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－＝－＝－。‎ 于是cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]‎ ‎＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－。‎ ‎【答案】　(1)－　(2)－ 角度二：给值求角 ‎【典例5】　已知α，β为锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝－，求2α＋β。‎ ‎【解析】　∵sinα＝，α∈，∴cosα＝。‎ ‎∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝。‎ ‎∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝0。‎ 又2α＋β∈。∴2α＋β＝π。‎ ‎【答案】　π 反思归纳　1.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关 系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。‎ ‎2．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角。‎ 考点三 ‎ 三角恒等变换的综合应用 ‎【典例6】　已知函数f(x)＝－sin＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R。‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值。‎ ‎【解析】　(1)f(x)＝－sin2x·cos－cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2sin。‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π。‎ ‎(2)∵x∈，∴2x－∈，‎ 所以f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－2。‎ ‎【答案】　(1)π　(2)最大值为2，最小值为－2‎ 反思归纳　三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题。‎ ‎【变式训练】　(2016·沈阳质检)已知函数f(x)＝2sinxsin。‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的值域。‎ ‎【解析】　(1)f(x)＝2sinx＝×＋sin2x＝sin＋。‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π。‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是 ，k∈Z。‎ ‎(2)当x∈时，2x－∈，‎ sin∈，‎ f(x)∈。‎ 故f(x)的值域为。‎ ‎【答案】　(1)最小正周期为π　单调递增区间为k∈Z　(2) 微专题　巧突破 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号。另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错。‎ 三角函数求值忽视角的范围致误 ‎【典例】　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为________。‎ ‎(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝，cosB＝－，则cosA＝________。‎ ‎【易错分析】　(1)角－β，α－的范围没有确定准确，导致开方时符号错误。‎ ‎(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角。‎ ‎【解析】　(1)∵0<β<<α<π，‎ ‎∴－<－β<，<α－<π，‎ ‎∴cos＝＝，‎ sin＝＝，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－。‎ ‎(2)在△ABC中，∵cosB＝－，‎ ‎∴0，β∈(0，π)，可得β∈，sinβ＝，‎ 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0。‎ ‎【答案】　C