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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量的数量积及其应用学案文

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‎§5.3 平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、射影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题.‎ ‎1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].‎ ‎2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积,记作a·b 射影 ‎|a|cos θ叫作向量a在b方向上的射影,|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影 几何意义 a·b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则 ‎(1)e·a=a·e=|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b=0.‎ ‎(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;‎ 当a与b反向时,a·b=-|a||b|.‎ 特别地,a·a=|a|2或|a|=.‎ ‎(4)cos θ=.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4.平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b=b·a;‎ ‎(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);‎ ‎(3)(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到 ‎(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=||=.‎ ‎(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.‎ ‎(4)若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角,则cos θ== .‎ 知识拓展 ‎1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;‎ 两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.‎ ‎2.平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.‎ ‎(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.‎ ‎(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量,而不是向量.( √ )‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )‎ ‎(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( × )‎ ‎(4)(a·b)c=a(b·c).( × )‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.( × )‎ ‎(6)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________.‎ 答案 12‎ 解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),‎ 由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,‎ ‎∴10+2-k=0,解得k=12.‎ ‎3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的射影为________.‎ 答案 -2‎ 解析 由数量积的定义知,b在a方向上的射影为 ‎|b|cos θ=4×cos 120°=-2.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积为________.‎ 答案  解析 a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,‎ 所以a·b=-1×+2×1=.‎ ‎5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的射影为________.‎ 答案  解析 =(2,1),=(5,5),‎ 由定义知,在方向上的射影为 ==.‎ ‎6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________.‎ 答案 - 解析 ∵〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1,‎ ‎∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos 120°=-,‎ ‎∴a·b+b·c+a·c=-.‎ 题型一 平面向量数量积的运算 ‎1.设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·等于(  )‎ A.20 B. 15 C.9 D.6‎ 答案 C 解析 =+,‎ =-=-+,‎ ‎∴·=(4+3)·(4-3)‎ ‎=(162-92)=(16×62-9×42)=9,‎ 故选C.‎ ‎2.(2018届“超级全能生”全国联考)在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ABC=,D是AC的中点,E在BC上,且AE⊥BD,则·等于(  )‎ A.16 B.12‎ C.8 D.-4‎ 答案 A 解析 以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3),‎ 设E(0,t),·=(2,3)·(-4,t)=-8+3t=0,t=,即E,·=·(0,6)=16.‎ 故选A.‎ 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解.‎ 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模 典例 (1)(2018届广州海珠区综合测试)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于(  )‎ A.4 B.2 C. D.1‎ 答案 D 解析 由|a-2b|=2,‎ 得(a-2b)2=|a|2-4a·b+4|b|2=4,‎ 即|a|2-4|a||b|cos 60°+4|b|2=4,‎ 则|b|2-|b|=0,解得|b|=0(舍去)或|b|=1,故选D.‎ ‎(2)(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.‎ 答案 5‎ 解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).‎ 所以|+3|‎ ‎=(0≤y≤b).‎ 当y=b时,|+3|min=5.‎ 命题点2 求向量的夹角 典例 (1)(2017·山西四校联考)已知向量a,b满足(2a-b)·(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,则a与b的夹角为__________________________.‎ 答案  解析 ∵(2a-b)·(a+b)=6,∴2a2+a·b-b2=6,‎ 又|a|=2,|b|=1,∴a·b=-1,‎ ‎∴cos〈a,b〉==-,‎ 又〈a,b〉∈[0,π],∴a与b的夹角为.‎ ‎(2)(2018届吉林百校联盟联考)已知单位向量e1与e2的夹角为,向量e1+2e2与2e1+λe2的夹角为,则λ等于(  )‎ A.- B.-3‎ C.-或-3 D.-1‎ 答案 B 解析 依题意可得 ‎|e1+2e2|==,‎ 同理,|2e1+λe2|=,‎ 而(e1+2e2)·(2e1+λe2)=4+λ,‎ 又向量e1+2e2与2e1+λe2的夹角为,‎ 可知==-,‎ 由此解得λ=-或-3,又4+λ<0,‎ ‎∴λ=-3.‎ 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ‎①写出有关向量的坐标,利用公式|a|=即可.‎ ‎②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解,|a|=.‎ ‎(2)求平面向量的夹角的方法 ‎①定义法:cos θ=,注意θ的取值范围为[0,π].‎ ‎②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ= .‎ ‎③解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.‎ 跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.‎ 答案 2 解析 方法一 ‎|a+2b|= ‎= ‎= ‎==2.‎ 方法二 (数形结合法)‎ 由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.‎ 又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.‎ ‎(2)(2017·山东)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.‎ 答案  解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,‎ ‎|e1-e2|====2.‎ 同理|e1+λe2|=.‎ 所以cos 60°= ‎===,‎ 解得λ=.‎ 题型三 平面向量与三角函数 典例 (2017·广州海珠区摸底)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.‎ ‎(1)求sin A的值;‎ ‎(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的射影.‎ 解 (1)由m·n=-,‎ 得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,‎ 所以cos A=-.‎ 因为0b,所以A>B,则B=,‎ 由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,‎ 解得c=1.‎ 故向量在方向上的射影为 ‎||cos B=ccos B=1×=.‎ 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.‎ 跟踪训练 在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.‎ ‎(1)若m⊥n,求tan x的值;‎ ‎(2)若m与n的夹角为,求x的值.‎ 解 (1)因为m=,n=(sin x,cos x),m⊥n.‎ 所以m·n=0,即sin x-cos x=0,‎ 所以sin x=cos x,所以tan x=1.‎ ‎(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos=,‎ 即sin x-cos x=,所以sin=,‎ 因为0|b|‎ 答案 A 解析 方法一 ∵|a+b|=|a-b|,‎ ‎∴|a+b|2=|a-b|2.‎ ‎∴a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b.‎ ‎∴a·b=0.∴a⊥b.‎ 故选A.‎ 方法二 利用向量加法的平行四边形法则.‎ 在▱ABCD中,设=a,=b,‎ 由|a+b|=|a-b|知,||=||,‎ 从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b.‎ 故选A.‎ ‎2.(2018届河北武邑中学调研)已知向量a=(2,1),b=(1,3),则向量2a-b与a的夹角为(  )‎ A.135° B.60°‎ C.45° D.30°‎ 答案 C 解析 由题意可得2a-b=2(2,1)-(1,3)=(3,-1),‎ 则|2a-b|==,‎ ‎|a|==,‎ 且(2a-b)·a=(3,-1)·(2,1)=6-1=5,‎ 设所求向量的夹角为θ,由题意可得 cos θ===,‎ 则向量2a-b与a的夹角为45°.‎ ‎3.(2017·豫南九校联考)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于(  )‎ A.- B.1 C.2 D. 答案 B 解析 ∵a⊥b,∴2m-2=0,∴m=1,则2a-b=(0,5),‎ a+b=(3,1),∴a·(a+b)=1×3+2×1=5,‎ ‎|2a-b|=5,∴==1,故选B.‎ ‎4.(2018·乐山质检)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 D 解析 在△ABC中,cos∠BAC= ‎==,‎ ‎∴·=||||cos∠BAC=3×2×=.‎ ‎5.(2017·沈阳质检)在△ABC中,|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F为BC的三等分点,则·等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由|+|=|-|,化简得·=0,又因为AB和AC为三角形的两条边,它们的长不可能为0,所以AB与AC垂直,所以△ABC为直角三角形.以A为原点,以AC所在直线为x轴,以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,‎ 则A(0,0),B(0,2),C(1,0).不妨令E为BC的靠近C的三等分点,则E,F,‎ 所以=,=,‎ 所以·=×+×=.‎ ‎6.(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为(  )‎ A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 因为(-)·(+-2)=0,‎ 即·(+)=0,因为-=,‎ 所以(-)·(+)=0,即||=||,‎ 所以△ABC是等腰三角形,故选C.‎ ‎7.(2017·全国Ⅰ)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m ‎=________.‎ 答案 7‎ 解析 ∵a=(-1,2),b=(m,1),‎ ‎∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).‎ 又a+b与a垂直,∴(a+b)·a=0,‎ 即(m-1)×(-1)+3×2=0,‎ 解得m=7.‎ ‎8.(2018·银川质检)已知向量a,b的夹角为,|a|=,|b|=2,则a·(a-2b)=________.‎ 答案 6‎ 解析 a·(a-2b)=a2-2a·b ‎=2-2××2×=6.‎ ‎9.(2018届长春普通高中一模)已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=________.‎ 答案 2‎ 解析 因为平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,所以由题意可知,a,b,c的夹角为120°,又|a|=|b|=1,|c|=3,所以a·b=-,a·c=b·c=-,|a+b+c|= =2.‎ ‎10.(2017·巢湖质检)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是______________.‎ 答案 ∪∪ 解析 a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a与b不共线,则解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值范围是 ∪∪.‎ ‎11.(2018·贵阳质检)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ;‎ ‎(2)求|a+b|;‎ ‎(3)若=a,=b,求△ABC的面积.‎ 解 (1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,‎ 所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.‎ 又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,‎ 所以a·b=-6,‎ 所以cos θ===-.‎ 又0≤θ≤π,所以θ=.‎ ‎(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2‎ ‎=42+2×(-6)+32=13,‎ 所以|a+b|=.‎ ‎(3)因为与的夹角θ=,‎ 所以∠ABC=π-=.‎ 又||=|a|=4,||=|b|=3,‎ 所以S△ABC=||||·sin∠ABC ‎=×4×3×=3.‎ ‎12.(2017·江苏)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,‎ 所以-cos x=3sin x.‎ 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,‎ 故cos x≠0.‎ 于是tan x=-.‎ 又x∈[0,π],所以x=.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)‎ ‎=3cos x-sin x ‎=2cos.‎ 因为x∈[0,π],所以x+∈,‎ 从而-1≤cos≤,‎ 于是,当x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3;‎ 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值-2.‎ ‎13.已知△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,且++=0,则向量在向量方向上的射影为(  )‎ A.3 B. C.-3 D.- 答案 B 解析 △ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,且++=0,∴=,‎ ‎∴四边形OBAC为平行四边形.‎ ‎∵△ABC的外接圆的圆心为O,‎ 半径为2,‎ ‎∴||=||=||,‎ ‎∴四边形OBAC是边长为2的菱形,且∠ABO=∠ACO=60°,因此,∠ACB=∠ACO=30°,‎ ‎∴向量在方向上的射影为 ‎||×cos∠ACB=2cos 30°=,故选B.‎ ‎14.(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为________.‎ 答案  解析 不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,‎ 则B(0,0),A(0,2),C(2,0),‎ 线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2).‎ 设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0