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- 2021-07-01 发布
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2014年陕西省高考数学试卷(理科)
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=( )
A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)
2.(5分)函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为( )
A.e+2 B.e+1 C.e D.e﹣1
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是( )
A.an=2n B.an=2(n﹣1) C.an=2n D.an=2n﹣1
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为
的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为( )
A. B.4π C.2π D.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A. B. C. D.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x B.f(x)=x3 C.f(x)=()x D.f(x)=3x
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )
A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=﹣x B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x D.y=﹣x3+x
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x= .
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 .
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ= .
14.(5分)观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 .
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为 .
(几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF= .
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是 .
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(Ⅰ)若++=,求||;
(Ⅱ)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值.
21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
22.(13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1
的离心率为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
23.(14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
2014年陕西省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=( )
A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)
【分析】先解出集合N,再求两集合的交即可得出正确选项.
【解答】解:∵M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|﹣1<x<1,x∈R},
∴M∩N=[0,1).
故选:B.
【点评】本题考查交集的运算,理解好交集的定义是解答的关键.
2.(5分)函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
【分析】由题意得ω=2,再代入复合三角函数的周期公式求解.
【解答】解:根据复合三角函数的周期公式得,
函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是π,
故选:B.
【点评】本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式应用,属于基础题.
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为( )
A.e+2 B.e+1 C.e D.e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可.
【解答】解:(2x+ex)dx=(x2+ex)|=(1+e)﹣(0+e0)=e.
故选:C.
【点评】本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数.
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是( )
A.an=2n B.an=2(n﹣1) C.an=2n D.an=2n﹣1
【分析】根据框图的流程判断递推关系式,根据递推关系式与首项求出数列的通项公式.
【解答】解:由程序框图知:ai+1=2ai,a1=2,
∴数列为公比为2的等比数列,∴an=2n.
故选:C.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为( )
A. B.4π C.2π D.
【分析】由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径R=1,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积.
【解答】解:∵正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为,
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上,
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径R=1
根据球的体积公式,得此球的体积为V=πR3=π.
故选:D.
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,即可得出结论.
【解答】解:设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,
∴所求概率为=.
故选:C.
【点评】本题考查概率的计算,列举基本事件是关键.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x B.f(x)=x3 C.f(x)=()x D.f(x)=3x
【分析】对选项一一加以判断,先判断是否满足f(x+y)=f(x)f(y),然后考虑函数的单调性,即可得到答案.
【解答】解:A.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故A错;
B.f(x)=x3,f(y)=y3,f(x+y)=(x+y)3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故B错;
C.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)在R上是单调减函数,故C错.
D.f(x)=3x,f(y)=3y,f(x+y)=3x+y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)在R上是单调增函数,故D正确;
故选:D.
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题.
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假,根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假,再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【解答】解:根据共轭复数的定义,原命题“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”是真命题;
其逆命题是:“若|z1|=|z2|,则z1,z2互为共轭复数”,例|1|=|﹣1|,而1与﹣1不是互为共轭复数,
∴原命题的逆命题是假命题;
根据原命题与其逆否命题同真同假,否命题与逆命题互为逆否命题,同真同假,
∴命题的否命题是假命题,逆否命题是真命题.
故选:B.
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系,考查了共轭复数的定义,熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )
A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a
【分析】方法1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2:根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解:方法1:∵yi=xi+a,
∴E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a,
方差D(yi)=D(xi)+E(a)=4.
方法2:由题意知yi=xi+a,
则=(x1+x2+…+x10+10×a)=(x1+x2+…+x10)=+a=1+a,
方差s2=[(x1+a﹣(+a)2+(x2+a﹣(+a)2+…+(x10+a﹣(+a)2]=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(x10﹣)2]=s2=4.
故选:A.
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,若变量y=ax+b,则Ey=aEx+b,Dy=a2Dx,利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=﹣x B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x D.y=﹣x3+x
【分析】分别求出四个选项中的导数,验证在x=±5处的导数为0成立与否,即可得出函数的解析式.
【解答】解:由题意可得出,此三次函数在x=±5处的导数为0,依次特征寻找正确选项:
A选项,导数为,令其为0,解得x=±5,故A正确;
B选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故B错误;
C选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故C错误;
D选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故D错误.
故选:A.
【点评】本题考查导数的几何意义,导数几何意义是导数的重要应用.
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x= .
【分析】化指数式为对数式求得a,代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.
【解答】解:由4a=2,得,
再由lgx=a=,
得x=.
故答案为:.
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 x2+(y﹣1)2=1 .
【分析】利用点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为
(b,a),求出圆心,再根据半径求得圆的方程.
【解答】解:圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,可得圆心为(0,1),再根据半径等于1,
可得所求的圆的方程为x2+(y﹣1)2=1,
故答案为:x2+(y﹣1)2=1.
【点评】本题主要考查求圆的标准方程,利用了点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为 (b,a),属于基础题.
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ= .
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.
【解答】解:∵∥,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),
∴sin2θ﹣cos2θ=0,
∴2sinθcosθ=cos2θ,
∵0<θ<,∴cosθ≠0.
∴2tanθ=1,
∴tanθ=.
故答案为:.
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题.
14.(5分)观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E,得到规律:F+V﹣E=2,进而发现此公式对任意凸多面体都成立,由此得到本题的答案.
【解答】解:凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E,
①正方体:F=6,V=8,E=12,得F+V﹣E=8+6﹣12=2;
②三棱柱:F=5,V=6,E=9,得F+V﹣E=5+6﹣9=2;
③三棱锥:F=4,V=4,E=6,得F+V﹣E=4+4﹣6=2.
根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系:F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论:F+V﹣E=2
故答案为:F+V﹣E=2
【点评】本题由几个特殊多面体,观察它们的顶点数、面数和棱数,归纳出一般结论,得到欧拉公式,着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识,属于基础题.
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为 .
【分析】根据柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc取等号,问题即可解决.
【解答】解:由柯西不等式得,
(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2)
∵a2+b2=5,ma+nb=5,
∴(m2+n2)≥5
∴的最小值为
故答案为:
【点评】本题主要考查了柯西不等式,解题关键在于清楚等号成立的条件,属于中档题.
(几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF= 3 .
【分析】证明△AEF∽△ACB,可得,即可得出结论.
【解答】解:由题意,∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,
∴∠AEF=∠C,
∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴,
∵BC=6,AC=2AE,
∴EF=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是 1 .
【分析】把极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】解:点P(2,)化为=,y=2=1,∴P.
直线展开化为:=1,化为直角坐标方程为:,即=0.
∴点P到直线的距离d==1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
【分析】(Ⅰ)由a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变形即可得证;
(Ⅱ)由a,bc成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,
∴cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的关键.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【分析】(Ⅰ)由三视图得到四面体ABCD的具体形状,然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行,即可得四边形为平行四边形,再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC,结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH,从而证得结论;
(Ⅱ)分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,求出及平面EFGH的一个法向量,用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:由三视图可知,四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形,
且侧棱AD⊥底面BDC.
如图,∵AD∥平面EFGH,平面ADB∩平面EFGH=EF,AD⊂平面ABD,
∴AD∥EF.
∵AD∥平面EFGH,平面ADC∩平面EFGH=GH,AD⊂平面ADC,
∴AD∥GH.
由平行公理可得EF∥GH.
∵BC∥平面EFGH,平面DBC∩平面EFGH=FG,BC⊂平面BDC,
∴BC∥FG.
∵BC∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=EH,BC⊂平面ABC,
∴BC∥EH.
由平行公理可得FG∥EH.
∴四边形EFGH为平行四边形.
又AD⊥平面BDC,BC⊂平面BDC,
∴AD⊥BC,则EF⊥EH.
∴四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)解:
解法一:取AD的中点M,连结,显然ME∥BD,MH∥CD,MF∥AB,且ME=MH=1,平面MEH⊥平面EFGH,取EH的中点N,连结MN,则MN⊥EH,
∴MN⊥平面EFGH,则∠MFN就是MF(即AB)与平面EFGH所成的角θ,
∵△MEH是等腰直角三角形,
∴MN=,又MF=AB=,
∴sin∠AFN==,即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是.
解法二:分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
由三视图可知DB=DC=2,DA=1.
又E为AB中点,
∴F,G分别为DB,DC中点.
∴A(0,0,1),B(2,0,0),F(1,0,0),E(1,0,),G(0,1,0).
则.
设平面EFGH的一个法向量为.
由,得,取y=1,得x=1.
∴.
则sinθ=|cos<>|===.
【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系,考查了直线和平面所成的角,训练了利用空间直角坐标系求线面角,解答此题的关键在于建立正确的空间右手系,是中档题.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(Ⅰ)若++=,求||;
(Ⅱ)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值.
【分析】(Ⅰ)先根据++=,以及各点的坐标,求出点p的坐标,再根据向量模的公式,问题得以解决;
(Ⅱ)利用向量的坐标运算,先求出,,再根据=m+n,表示出m﹣n=y﹣x,最后结合图形,求出m﹣n的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵A(1,1),B(2,3),C(3,2),++=,
∴(1﹣x,1﹣y)+(2﹣x,3﹣y)+(3﹣x,2﹣y)=0
∴3x﹣6=0,3y﹣6=0
∴x=2,y=2,
即=(2,2)
∴
(Ⅱ)∵A(1,1),B(2,3),C(3,2),
∴,
∵=m+n,
∴(x,y)=(m+2n,2m+n)
∴x=m+2n,y=2m+n
∴m﹣n=y﹣x,
令y﹣x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,
故m﹣n的最大值为1.
【点评】本题考查了向量的坐标运算,关键在于审清题意,属于中档题,
21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
【分析】(Ⅰ)分别求出对应的概率,即可求X的分布列;
(Ⅱ)分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率,利用概率相加即可得到结论.
【解答】解:(Ⅰ)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,
则P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利润=产量×市场价格﹣成本,
∴X的所有值为:
500×10﹣1000=4000,500×6﹣1000=2000,
300×10﹣1000=2000,300×6﹣1000=800,
则P(X=4000)=P()P()=(1﹣0.5)×(1﹣0.4)=0.3,
P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1﹣0.5)×0.4+0.5(1﹣0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
则X的分布列为:
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
(Ⅱ)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),
则C1,C2,C3相互独立,
由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利润均不少于2000的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512,
3季的利润有2季不少于2000的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2
)=3×0.82×0.2=0.384,
综上:这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为:0.512+0.384=0.896.
【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算,考查学生的计算能力.
22.(13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)在C1、C2的方程中,令y=0,即得b=1,设C1:的半焦距为c,由=及a2﹣c2=b2=1得a=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0),设其方程为y=k(x﹣1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2﹣2k2x+k2﹣4=0.(*)设点P(xp,yp),依题意,可求得点P的坐标为(,);同理可得点Q的坐标为(﹣k﹣1,﹣k2﹣2k),利用•=0,可求得k的值,从而可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)在C1、C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(﹣1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.
设C1:的半焦距为c,由=及a2﹣c2=b2=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得:
(k2+4)x2﹣2k2x+k2﹣4=0.(*)
设点P(xp,yp),
∵直线l过点B,
∴x=1是方程(*)的一个根,
由求根公式,得xp=,从而yp=,
∴点P的坐标为(,).
同理,由得点Q的坐标为(﹣k﹣1,﹣k2﹣2k),
∴=(k,﹣4),=﹣k(1,k+2),
∵AP⊥AQ,∴•=0,即[k﹣4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k﹣4(k+2)=0,解得k=﹣.
经检验,k=﹣符合题意,
故直线l的方程为y=﹣(x﹣1),即8x+3y﹣8=0.
【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题.
23.(14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
【分析】(Ⅰ)由已知,,…可得用数学归纳法加以证明;
(Ⅱ)由已知得到ln(1+x)≥恒成立构造函数φ(x)=ln(1+x)﹣(x≥0),利用导数求出函数的最小值即可;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中取a=1,可得,令则,n依次取1,2,3…,然后各式相加即得到不等式.
【解答】解:由题设得,
(Ⅰ)由已知,
,
…
可得
下面用数学归纳法证明.①当n=1时,,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即,
那么n=k+1时,=即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)﹣(x≥0),则φ′(x)=,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴当a≤1时,ln(1+x)≥恒成立,(仅当x=0时等号成立)
当a>1时,对x∈(0,a﹣1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a﹣1]上单调递减,
∴φ(a﹣1)<φ(0)=0
即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(﹣∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=,
n﹣f(n)=n﹣ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n﹣ln(n+1)
证明如下:上述不等式等价于,
在(Ⅱ)中取a=1,可得,
令则
故有,
ln3﹣ln2,…
,
上述各式相加可得结论得证.
【点评】本题考查数学归纳法;考查构造函数解决不等式问题;考查利用导数求函数的最值,证明不等式,属于一道综合题.
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