2006年湖南省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2006年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 函数y=‎log‎2‎x的定义域是（ ）‎ A.‎(0, 1]‎ B.‎(0, +∞)‎ C.‎[1, +∞)‎ D.‎‎(1, +∞)‎ ‎2. 已知向量a‎→‎‎=(2,t)，b‎→‎=(1,2)‎，若t=‎t‎1‎时，a‎→‎‎ // ‎b‎→‎；t=‎t‎2‎时，a‎→‎‎⊥‎b‎→‎，则（ ）‎ A.t‎1‎‎=-4‎，t‎2‎‎=-1‎ B.t‎1‎‎=-4‎，t‎2‎‎=1‎ C.t‎1‎‎=4‎，t‎2‎‎=-1‎ D.t‎1‎‎=4‎，‎t‎2‎‎=1‎ ‎3. 若‎(ax-1‎‎)‎‎5‎的展开式中x‎3‎的系数是‎80‎，则实数a的值是（ ）‎ A.‎-2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎2‎ ‎4. 过半径为‎2‎的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是‎60‎‎∘‎则该截面的面积是（ ）‎ A.π B.‎2π C.‎2‎3‎π D.‎‎3π ‎5. “a＝‎1‎”是“函数f(x)‎＝‎|x-a|‎在区间‎[1, +∞)‎上为增函数”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. 在数字‎1‎，‎2‎，‎3‎与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）‎ A.‎6‎ B.‎12‎ C.‎24‎ D.‎‎18‎ ‎7. 圆x‎2‎‎+y‎2‎-4x-4y-10=0‎上的点到直线x+y-14=0‎的最大距离与最小距离的差是‎(‎        ‎‎)‎ A.‎36‎ B.‎18‎ C.‎5‎‎2‎ D.‎‎6‎‎2‎ ‎8. 设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值π‎4‎，则f(x)‎的最小正周期是（ ）‎ A.‎2π B.π C.π‎4‎ D.‎π‎2‎ ‎9. 过双曲线M:x‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1‎的左顶点A作斜率为‎1‎的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且‎|AB|=|BC|‎，则双曲线M的离心率是（ ）‎ A.‎10‎ B.‎5‎ C.‎10‎‎3‎ D.‎‎5‎‎2‎ ‎10. 如图，OM // AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）．且OP‎→‎‎=xOA‎→‎+yOB‎→‎，则实数对‎(x, y)‎可以是（ ）‎ A.‎(‎1‎‎4‎，‎3‎‎4‎)‎ B.‎(-‎2‎‎3‎，‎2‎‎3‎)‎ C.‎(-‎1‎‎4‎，‎3‎‎4‎)‎ D.‎‎(-‎1‎‎5‎，‎7‎‎5‎)‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎11. 若数列‎{an}‎满足：a‎1‎‎=1‎，an+1‎‎=2‎an．n=1‎，‎2‎，‎3‎…．则a‎1‎‎+a‎2‎+...+an=‎________．‎ ‎12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有‎40‎人，乙班‎50‎人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是‎90‎分，乙班的平均成绩是‎81‎分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．‎ ‎13. 已知x≥1‎x-y+1≤0‎‎2x-y-2≤0‎，则x‎2‎‎+‎y‎2‎的最小值是________．‎ ‎14. 过三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB‎1‎A‎1‎平行的直线共有________条．‎ ‎15. 若f(x)=asin(x+π‎4‎)+3sin(x-π‎4‎)‎是偶函数，则a=‎________．‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16. 已知‎3‎sinθ-sin(π‎2‎-2θ)‎cos(π+θ)‎⋅cosθ=1‎，θ∈(0, π)‎，求θ的值．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎17. 某安全生产监督部门对‎5‎家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是‎0.5‎，整改后安检合格的概率是‎0.8‎，计算（结果精确到‎0.01‎）：‎ ‎（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；‎ ‎（2）平均有多少家煤矿必须整改；‎ ‎（3）至少关闭一家煤矿的概率．‎ ‎18. 如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为‎1‎和‎2‎，AB=4‎．‎ ‎（1）证明PQ⊥‎平面ABCD；‎ ‎（2）求异面直线AQ与PB所成的角；‎ ‎（3）求点P到平面QAD的距离．‎ ‎19. 已知函数f(x)=ax‎3‎-3x‎2‎+1-‎‎3‎a．‎ ‎（1）讨论函数f(x)‎的单调性；‎ ‎（2）若曲线y=f(x)‎上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎20. 在m(m≥2)‎个不同数的排列P‎1‎P‎2‎‎...‎Pn中，若‎1≤i‎Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列‎(n+1)n(n-1)‎…‎321‎的逆序数为an，如排列‎21‎的逆序数a‎1‎‎=1‎，排列‎321‎的逆序数a‎3‎‎=6‎．‎ ‎（1）求a‎4‎、a‎5‎，并写出an的表达式；‎ ‎（2）令bn‎=anan+1‎+‎an+1‎an，证明‎2n0)‎，且C‎1‎、C‎2‎的公共弦AB过椭圆C‎1‎的右焦点．‎ ‎（1）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C‎2‎的焦点是否在直线AB上；‎ ‎（2）是否存在m、p的值，使抛物线C‎2‎的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.C ‎2.C ‎3.D ‎4.A ‎5.A ‎6.B ‎7.D ‎8.B ‎9.A ‎10.C 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎11.‎‎2‎n‎-1‎ ‎12.‎‎85‎ ‎13.‎‎5‎ ‎14.‎‎6‎ ‎15.‎‎-3‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16.解：由已知‎3‎sinθ+cos2θ=1‎，‎ ‎∴ ‎3‎sinθ-2sin‎2‎θ=0‎，‎ ‎∴ sinθ(sinθ-‎3‎‎2‎)=0‎．‎ ‎∵ ‎0<θ<π，‎ ‎∴ sinθ=‎‎3‎‎2‎，‎ θ=‎π‎3‎‎，或θ=‎‎2π‎3‎．‎ ‎17.解：（1）每家煤矿必须整改的概率是‎1-0.5‎，‎ 且每家煤矿是否整改是相互独立的．‎ 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 P‎1‎‎=C‎5‎‎2‎×(1-0.5‎)‎‎2‎×‎0.5‎‎3‎=‎5‎‎16‎=0.31‎‎．‎ ‎（2）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B(5, 0.5)‎．‎ 从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5‎，‎ 即平均有‎2.50‎家煤矿必须整改．‎ ‎（3）某煤矿被关闭，‎ 即该煤矿第一次安检不合格，‎ 整改后经复查仍不合格，‎ 所以该煤矿被关闭的概率是 P‎2‎‎=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1‎‎，‎ 从而该煤矿不被关闭的概率是‎0.9‎．‎ 由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，‎ 所以至少关闭一家煤矿的概率是 P‎3‎‎=1-‎0.9‎‎5‎=0.41‎ ‎18.解法一：（1）连接AC、BD，设AC∩BD=O．由P-ABCD与Q-ABCD 都是正四棱锥，所以PO⊥‎平面ABCD，QO⊥‎平面ABCD．‎ 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥‎平面ABCD．‎ ‎（2）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．‎ 由（1），PQ⊥‎平面ABCD，‎ 故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0, 0, 1)‎，Q(0, 0, -2)‎，‎B(0,2‎2‎，0)‎ 所以AQ‎→‎‎=(-2‎2‎,0,-2)‎，PB‎→‎‎=(0,2‎2‎,-1)‎，‎ ‎ 7 / 7‎ 于是cos=‎|AQ‎→‎|⋅|PB‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎9‎．‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos‎3‎‎9‎．‎ ‎（3）．由（2），点D的坐标是‎(0, -2‎2‎, 0)‎，AD‎→‎‎=(-2‎2‎,-2‎2‎,0)‎，PQ‎→‎‎=(0,0,-3)‎，‎ 设n‎→‎‎=(x,y,z)‎是平面QAD的一个法向量，‎ 由n‎→‎‎⋅AD‎→‎=0‎‎˙‎得‎2‎x+z=0‎x+y=0‎．‎ 取x=1‎，得n‎→‎‎=(1,-1,-‎2‎)‎．‎ 所以点P到平面QAD的距离d=‎|n‎→‎|‎‎˙‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．‎ 解法二：（1）．取AD的中点M，连接PM，QM．‎ 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，‎ 所以AD⊥PM，AD⊥QM．从而AD⊥‎平面PQM．‎ 又PQ⊂‎平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，‎ 所以PQ⊥‎平面ABCD、‎ ‎（2）．连接AC、BD设AC∩BD=O，由PQ⊥‎平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在 PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．‎ 取OC的中点N，连接PN．‎ 因为POOQ‎=‎1‎‎2‎，NOOA=NOOC=‎‎1‎‎2‎，‎ 所以POOQ‎=‎NOOA，‎ 从而AQ // PN．‎∠BPN（或其补角）是异面直线AQ 与PB所成的角．连接BN，‎ 因为PB=OB‎2‎+OP‎2‎=‎(2‎2‎‎)‎‎2‎+1‎=3‎．‎PN=ON‎2‎+OP‎2‎=‎(‎2‎‎)‎‎2‎+1‎=‎3‎BN=OB‎2‎+ON‎2‎=‎(2‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎10‎ 所以cos∠BPN=PB‎2‎+PN‎2‎-BN‎2‎‎2PB⋅PN=‎9+3-10‎‎2×3×‎‎3‎=‎‎3‎‎9‎．‎ 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos‎3‎‎9‎．‎ ‎（3）．由（1）知，AD⊥‎平面PQM，所以平面PQM⊥‎平面QAD、过P作PH⊥QM 于H，则PH⊥‎平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．‎ 连接OM，则OM=‎1‎‎2‎AB=2=OQ．‎ 所以‎∠MQP=‎‎45‎‎∘‎，‎ 又PQ=PO+QO=3‎，于是PH=PQsin‎45‎‎∘‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎．‎ 即点P到平面QAD的距离是‎3‎‎2‎‎2‎ ‎19.解：（1）由题设知a≠0,f'(x)=3ax‎2‎-6x=3ax(x-‎2‎a)‎．‎ 令f'(x)=0得x‎1‎=0，x‎2‎=‎‎2‎a．‎ 当（1）a>0‎时，‎ 若x∈(-∞, 0)‎，则f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 所以f(x)‎在区间‎(-∞, 0)‎上是增函数；‎ 若x∈(0,‎2‎a)‎，则f‎'‎‎(x)<0‎，‎ 所以f(x)‎在区间‎(0,‎2‎a)‎上是减函数；‎ 若x∈(‎2‎a，+∞)‎，则f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 所以f(x)‎在区间‎(‎2‎a，+∞)‎上是增函数；‎ ‎（2）当a<0‎时，‎ 若x∈(-∞,‎2‎a)‎，则f‎'‎‎(x)<0‎，‎ 所以f(x)‎在区间‎(-∞,‎2‎a)‎上是减函数；‎ 若x∈(‎2‎a，0)‎，则f‎'‎‎(x)>0‎，‎ 所以f(x)‎在区间‎(‎2‎a，0)‎上是增函数；‎ 若x∈(0, +∞)‎，则f‎'‎‎(x)<0‎，‎ ‎ 7 / 7‎ 所以f(x)‎在区间‎(0, +∞)‎上是减函数．‎ ‎（2）由（1）的讨论及题设知，曲线y=f(x)‎上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，‎ 且函数y=f(x)‎在x=0,x=‎‎2‎a处分别是取得极值f(0)=1-‎‎3‎a，f(‎2‎a)=-‎4‎a‎2‎-‎3‎a+1‎．‎ 因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)⋅f(‎2‎a)≤0‎．‎ 即‎(-‎4‎a‎2‎-‎3‎a+1)(1-‎3‎a)≤0‎．‎ 所以‎(a+1)(a-3)(a-4)‎a‎3‎‎≤0‎．‎ 故‎(a+1)(a-3)(a-4)≤0‎，且a≠0‎．‎ 解得a≤-1‎或‎3≤a≤4‎．‎ 即所求实数a的取值范围是‎(-∞, -1]∪[3, 4]‎．‎ ‎20.解：（1）由排列‎21‎的逆序数a‎1‎‎=1‎，排列‎321‎的逆序数a‎2‎‎=3‎，排列‎4321‎的逆序数a‎3‎‎=6‎，得a‎4‎‎=4+3+2+1=10‎，a‎5‎‎=5+4+3+2+1=15‎，所以an‎=n+(n-1)+...+2+1=‎n(n+1)‎‎2‎；‎ ‎（2）因为bn‎=anan+1‎+an+1‎an=nn+2‎+n+2‎n>2nn+2‎‎⋅‎n+2‎n=2，n=1，2‎，…，‎ 所以b‎1‎‎+b‎2‎+...+bn>2n．‎ 又因为bn‎=nn+2‎+n+2‎n=2+‎2‎n-‎2‎n+2‎，n=1，2‎，…，‎ 所以b‎1‎‎+b‎2‎+...+bn=2n+2[(‎1‎‎1‎-‎1‎‎3‎)+(‎1‎‎2‎-‎1‎‎4‎)+...+(‎1‎n-‎1‎n+2‎)]=2n+3-‎2‎n+1‎-‎2‎n+2‎<2n+3‎．‎ 综上，‎2n