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- 2021-06-30 发布
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2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
一、选择题(共12小题,每小题5分)
1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=( )
A.[1,2) B.[﹣1,1] C.[﹣1,2) D.[﹣2,﹣1]
2.(5分)=( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数
C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数
4.(5分)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C.m D.3m
5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B. C. D.
6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )
A. B. C. D.
8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则( )
A.3α﹣β= B.3α+β= C.2α﹣β= D.2α+β=
9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:
p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2
p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1
其中真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3
10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
A. B.3 C. D.2
11.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)
12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A.6 B.6 C.4 D.4
二、填空题(共4小题,每小题5分)
13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)
14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为 .
15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为 .
16.(5分)已知a,b,c分别为△
ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为 .
三、解答题
17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.
(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ
(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.
附:≈12.2.
若Z~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ)证明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
21.(12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)证明:f(x)>1.
选修4-1:几何证明选讲
22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.
(Ⅰ)证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
选修4-4:坐标系与参数方程
23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
选修4-5:不等式选讲
24.若a>0,b>0,且+=.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分)
1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=( )
A.[1,2) B.[﹣1,1] C.[﹣1,2) D.[﹣2,﹣1]
【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.
【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣3)(x+1)≥0,
解得:x≥3或x≤﹣1,即A=(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞),
∵B=[﹣2,2),
∴A∩B=[﹣2,﹣1].
故选:D.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.(5分)=( )
A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.
【解答】解:==﹣(1+i)=﹣1﹣i,
故选:D.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.
3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数
C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),
f(﹣x)•g(﹣x)=﹣f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,
|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,
f(﹣x)•|g(﹣x)|=﹣f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.
|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,
故选:C.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
4.(5分)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C.m D.3m
【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.
【解答】解:双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)可化为,
∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,
∴点F到C的一条渐近线的距离为=.
故选:A.
【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.
5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.
【解答】解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况,
周六、周日都有同学参加公益活动,共有24﹣2=16﹣2=14种情况,
∴所求概率为=.
故选:D.
【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )
A. B. C. D.
【分析】
在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.
【解答】解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,则OM=|cosx|,
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|
=|cosx|•|sinx|=|sin2x|,
其周期为T=,最大值为,最小值为0,
故选:C.
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.
7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )
A. B. C. D.
【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.
【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;
第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;
第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.
不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.
故选:D.
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则( )
A.3α﹣β= B.3α+β= C.2α﹣β= D.2α+β=
【分析】化切为弦,整理后得到sin(α﹣β)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α﹣β)=cosα,则答案可求.
【解答】解:由tanα=,得:
,
即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,
sin(α﹣β)=cosα=sin(),
∵α∈(0,),β∈(0,),
∴当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.
故选:C.
【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.
9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:
p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2
p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1
其中真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3
【分析】作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.
【解答】解:作出图形如下:
由图知,区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域,
p1:区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方,故:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2成立;
p2:在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2正确;
p3:由图知,区域D有部分在直线x+2y=3的上方,因此p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3错误;
p4:x+2y≤﹣1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1错误;
综上所述,p1、p2正确;
故选:C.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.
10.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
A. B.3 C. D.2
【分析】求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.
【解答】解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d,
∵=4,
∴|PQ|=3d,
∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2,
∵F(2,0),
∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2),
与y2=8x联立可得x=1,
∴|QF|=d=1+2=3,
故选:B.
【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.
11.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)
【分析】由题意可得f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.
【解答】解:∵f(x)=ax3﹣3x2+1,
∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;
①当a=0时,f(x)=﹣3x2+1有两个零点,不成立;
②当a>0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上有零点,故不成立;
③当a<0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点;
故f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上没有零点;
而当x=时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上取得最小值;
故f()=﹣3•+1>0;
故a<﹣2;
综上所述,
实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2);
故选:D.
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题.
12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A.6 B.6 C.4 D.4
【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.
【解答】解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C到BD的中点的距离为:4,
∴.AC==6,AD=4,
显然AC最长.长为6.
故选:B.
【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.
二、填空题(共4小题,每小题5分)
13.(5分)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 ﹣20 .(用数字填写答案)
【分析】由题意依次求出(x+y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.
【解答】解:(x+y)8的展开式中,含xy7的系数是:8.
含x2y6的系数是28,
∴(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为:8﹣28=﹣20.
故答案为:﹣20
【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.
14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为 A .
【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.
【解答】解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,
但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,
再由丙说:我们三人去过同一城市,
则由此可判断乙去过的城市为A.
故答案为:A.
【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.
15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为 90° .
【分析】根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.
【解答】解:在圆中若=(+),
即2=+,
即+的和向量是过A,O的直径,
则以AB,AC为邻边的四边形是矩形,
则⊥,
即与的夹角为90°,
故答案为:90°
【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.
16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为 .
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:因为:(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC
⇒(2+b)(a﹣b)=(c﹣b)c
⇒2a﹣b2=c2﹣bc,
又因为:a=2,
所以:,
△ABC面积,
而b2+c2﹣a2=bc
⇒b2+c2﹣bc=a2
⇒b2+c2﹣bc=4
⇒bc≤4
所以:,即△ABC面积的最大值为.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
三、解答题
17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.
(Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ
(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
【分析】(Ⅰ)利用anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相减即可得出;
(Ⅱ)对λ分类讨论:λ=0直接验证即可;λ≠0,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,.得到λSn=,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.
【解答】(Ⅰ)证明:∵anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,
∴an+1(an+2﹣an)=λan+1
∵an+1≠0,
∴an+2﹣an=λ.
(Ⅱ)解:①当λ=0时,anan+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为d.
则an+2﹣an=0,∴2d=0,解得d=0,
∴an=an+1=1,
∴12=﹣1,矛盾,因此λ=0时{an}不为等差数列.
②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.
则λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d,
∴.
∴,,
∴λSn=1+=,
根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.
此时可得,an=2n﹣1.
因此存在λ=4,使得{an}为等差数列.
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.
18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.
附:≈12.2.
若Z~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据;
(ii)由(i)知X~B(100,0.6826),运用EX=np即可求得.
【解答】解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为:
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826;
(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,
依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.
19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ)证明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;
(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.
【解答】解:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,
∵侧面BB1C1C为菱形,
∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,
又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,
∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,
又B10=CO,∴AC=AB1,
(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO=CO,
又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,
∴OA,OB,OB1两两垂直,
以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,
的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,
∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为正三角形,又AB=BC,
∴A(0,0,),B(1,0,0,),B1(0,,0),C(0,,0)
∴=(0,,),==(1,0,),==(﹣1,,0),
设向量=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,
则,可取=(1,,),
同理可得平面A1B1C1的一个法向量=(1,﹣,),
∴cos<,>==,
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为
【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.
20.(12分)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
【分析】(Ⅰ)通过离心率得到a、c关系,通过A求出a,即可求E的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)将y=kx﹣2代入,利用△>0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.
【解答】解:(Ⅰ) 设F(c,0),由条件知,得=又,
所以a=2=,b2=a2﹣c2=1,故E的方程.….(5分)
(Ⅱ)依题意当l⊥x轴不合题意,故设直线l:y=kx﹣2,设P(x1,y1),Q(x2,y2)
将y=kx﹣2代入,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,
当△=16(4k2﹣3)>0,即时,
从而=+
又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积=,
设,则t>0,,
当且仅当t=2,k=±等号成立,且满足△>0,
所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为:y=x﹣2或y=﹣x﹣2.…(12分)
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.
21.(12分)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.
(Ⅰ)求a、b;
(Ⅱ)证明:f(x)>1.
【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=,只需证明g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max;
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=+,
由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故a=1,b=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=exlnx+,
∵f(x)>1,∴exlnx+>1,∴lnx>﹣,
∴f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,
∴当x∈(0,)时,g′(x)<0;当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.
故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.
设函数h(x)=xe﹣x﹣,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).
∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.
选修4-1:几何证明选讲
22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.
(Ⅰ)证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠
A=∠E,即可证明△ADE为等边三角形.
【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠D=∠CBE,
∵CB=CE,
∴∠E=∠CBE,
∴∠D=∠E;
(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,
∴O在直线MN上,
∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,
∴OM⊥AD,
∴AD∥BC,
∴∠A=∠CBE,
∵∠CBE=∠E,
∴∠A=∠E,
由(Ⅰ)知,∠D=∠E,
∴△ADE为等边三角形.
【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
选修4-4:坐标系与参数方程
23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|
的最大值与最小值.
【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以
sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.
【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,
故曲线C的参数方程为,(θ为参数).
对于直线l:,
由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).
P到直线l的距离为.
则,其中α为锐角.
当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.
选修4-5:不等式选讲
24.若a>0,b>0,且+=.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.
(Ⅱ)根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b>
8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.
【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,
∴=+≥2,∴ab≥2,
当且仅当a=b=时取等号.
∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,
∴a3+b3的最小值为4.
(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.
而由(1)可知,2≥2=4>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.
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