2009年山东省高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 8页

‎2009年山东省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 集合A={0, 2, a}‎，B={1, a‎2‎}‎，若A∪B={0, 1, 2, 4, 16}‎，则a的值为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎2. 复数‎3-i‎1-i等于（ ）‎ A.‎1+2i B.‎1-2i C.‎2+i D.‎‎2-i ‎3. 将函数y=sin2x的图象向左平移π‎4‎个单位，再向上平移‎1‎个单位，所得图象的函数解析式是（ ）‎ A.y=2cos‎2‎x B.‎y=2sin‎2‎x C.y=1+sin(2x+π‎4‎)‎ D.‎y=cos2x ‎4. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(        )‎ A.‎2π+2‎‎3‎ B.‎4π+2‎‎3‎ C.‎2π+‎‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎4π+‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎5. 在R上定义运算‎⊗:a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗(x-2)<0‎的实数x的取值范围为（ ）‎ A.‎(0, 2)‎ B.‎‎(-2, 1)‎ C.‎(-∞, -2)∪(1, +∞)‎ D.‎‎(-1, 2)‎ ‎6. 函数y=‎ex‎+‎e‎-xex‎-‎e‎-x的图象大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7. 设函数f(x)=‎x‎2‎‎-1(x≥2），‎log‎2‎x（0＜x＜2）,‎      若f(m)=3，‎则实数m的值为（         ）‎ A.-2 B.8 C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎8. 设P是‎△ABC所在平面内的一点，BC‎→‎‎+BA‎→‎=2‎BP‎→‎，则‎(        )‎ A.PA‎→‎‎+PB‎→‎=‎‎0‎‎→‎ B.‎PC‎→‎‎+PA‎→‎=‎‎0‎‎→‎ C.PB‎→‎‎+PC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ D.‎PA‎→‎‎+PB‎→‎+PC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ ‎9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的‎(‎        ‎‎)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎10. 设斜率为‎2‎的直线l过抛物线y‎2‎‎=ax(a≠0)‎的焦点F，且和y轴交于点A，若‎△OAF（O为坐标原点）的面积为‎4‎，则抛物线方程为（ ）‎ A.y‎2‎‎=±4x B.y‎2‎‎=4x C.y‎2‎‎=±8x D.‎y‎2‎‎=8x ‎11. 在区间‎[-π‎2‎, π‎2‎]‎上随机取一个数，cosx的值介于‎0‎到‎1‎‎2‎之间的概率为(        )‎ ‎ 8 / 8‎ A.‎1‎‎3‎ B.π‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎12. 已知定义在R上的奇函数f(x)‎，满足f(x-4)‎＝‎-f(x)‎且在区间‎[0, 2]‎上是增函数，则（ ）‎ A.f(-25)0‎，且a≠1)‎有两个零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎15. 执行程序框图，输出的T=‎________．‎ ‎16. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品‎5‎件和B类产品‎10‎件，乙种设备每天能生产A类产品‎6‎件和B类产品‎20‎件．已知设备甲每天的租赁费为‎200‎元，设备乙每天的租赁费为‎300‎元，现该公司至少要生产A类产品‎50‎件，B类产品‎140‎件，所需租赁费最少为________元．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 已知函数f(x)=2sinxcos‎2‎θ‎2‎+cosxsinθ-sinx(0<θ<π)‎，在x=π处取最小值． ‎ ‎1‎求θ的值；‎ ‎2‎在‎△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1‎，b=‎‎2‎，f(A)=‎‎3‎‎2‎，求角C．‎ ‎18. 如图，在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，底面ABCD为等腰梯形，AB // CD，AB=4‎，BC=CD=2‎，AA‎1‎=2‎，E，E‎1‎分别是棱AD，AA‎1‎的中点，F为AB的中点．证明： ‎ ‎（1）EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎．‎ ‎(2)‎平面D‎1‎AC⊥‎平面BB‎1‎C‎1‎C．‎ ‎19. 汽车厂生产A，B，‎C ‎ 8 / 8‎ 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取‎50‎辆，其中有A类轿车‎10‎辆． ‎ ‎(1)‎求z的值；‎ ‎(2)‎用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为‎5‎的样本，将该样本看成一个总体，从中任取‎2‎辆，求至少有‎1‎辆舒适型轿车的概率；‎ ‎(3)‎用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取‎8‎辆，经检测它们的得分如下：‎9.4‎，‎8.6‎，‎9.2‎，‎9.6‎，‎8.7‎，‎9.3‎，‎9.0‎，‎8.2‎．把这‎8‎辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过‎0.5‎的概率．‎ ‎20. 等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn，已知对任意的n∈‎N‎*‎，点‎(n, Sn)‎，均在函数y=bx+r(b>0)‎且b≠1‎，b，r均为常数）的图象上． ‎ ‎（1）求r的值；‎ ‎（2）当b=2‎时，记bn‎=n+1‎‎4‎an(n∈N‎*‎)‎，求数列‎{bn}‎的前n项和Tn．‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎1‎‎3‎ax‎3‎+bx‎2‎+x+3‎，其中a≠0‎． ‎ ‎（1）当a，b满足什么条件时，f(x)‎取得极值？‎ ‎（2）已知a>0‎，且f(x)‎在区间‎(0, 1]‎上单调递增，试用a表示出b的取值范围．‎ ‎22. 设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=(mx, y+1)‎，向量b=(x, y-1)‎，a⊥b，动点M(x, y)‎的轨迹为E． ‎ ‎（1）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；‎ ‎（2）已知m=‎‎1‎‎4‎．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；‎ ‎（3）已知m=‎‎1‎‎4‎．设直线l与圆C:x‎2‎+y‎2‎=R‎2‎(1a，‎ 所以 B=‎π‎4‎时，C=π-A-B=π-π‎6‎-π‎4‎=‎‎7π‎12‎，‎ 当B=‎‎3π‎4‎时，C=π-A-B=π-π‎6‎-‎3π‎4‎=‎π‎12‎．‎ ‎18.证明：‎(1)‎证法一：取A‎1‎B‎1‎的中点为F‎1‎，‎ 连接FF‎1‎，C‎1‎F‎1‎，‎ 由于FF‎1‎ // BB‎1‎ // CC‎1‎，‎ 所以F‎1‎‎∈‎平面FCC‎1‎F‎1‎，‎ 因为平面FCC‎1‎F‎1‎即为平面C‎1‎CFF‎1‎，‎ 连接A‎1‎D，F‎1‎C，‎ 由于A‎1‎F‎1‎和D‎1‎C‎1‎和CD平行且相等．‎ 所以 四边形A‎1‎DCF‎1‎为平行四边形，‎ 因为 A‎1‎D // F‎1‎C．‎ 又 EE‎1‎ // A‎1‎D，‎ 得EE‎1‎ // F‎1‎C，‎ 而 EE‎1‎⊄‎平面FCC‎1‎F‎1‎，F‎1‎C⊂‎平面FCC‎1‎F‎1‎，‎ 故 EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎F‎1‎．‎ 证法二：因为F为AB的中点，CD=2‎，AB=4‎，AB // CD，‎ ‎ 8 / 8‎ 所以CD // AF，‎ 因此 四边形AFCD为平行四边形，‎ 所以 AD // FC．‎ 又 CC‎1‎ // DD‎1‎，FC∩CC‎1‎=C，‎ FC⊂‎平面FCC‎1‎，CC‎1‎⊂‎平面FCC‎1‎F‎1‎，‎ 所以 平面ADD‎1‎A‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎F‎1‎，‎ 又 EE‎1‎⊂‎平面ADD‎1‎A‎1‎，‎ 所以 EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎．‎ ‎(2)‎证明：连接AC，连‎△FBC中，FC=BC=FB，‎ 又 F为AB的中点，‎ 所以 AF=FC=FB，‎ 因此‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，‎ 即 AC⊥BC．‎ 又 AC⊥CC‎1‎，且CC‎1‎∩BC=C，‎ 所以 AC⊥‎平面BB‎1‎C‎1‎C，‎ 而 AC⊂‎平面D‎1‎AC，‎ 故 平面D‎1‎AC⊥‎平面BB‎1‎C‎1‎C．‎ ‎19.解：‎(1)‎设该厂这个月共生产轿车n辆，‎ 由题意得‎50‎n‎=‎‎10‎‎100+300‎，‎ ‎∴ n=2000‎，‎ ‎∴ z=2000-(100+300)-150-450-600=400‎．‎ ‎(2)‎设所抽样本中有a辆舒适型轿车，‎ 由题意，得a=2‎．‎ 因此抽取的容量为‎5‎的样本中，‎ 有‎2‎辆舒适型轿车，‎3‎辆标准型轿车．‎ 用A‎1‎，A‎2‎表示‎2‎辆舒适型轿车，‎ 用B‎1‎，B‎2‎，B‎3‎表示‎3‎辆标准轿车，‎ 用E表示事件“在该样本中任取‎2‎辆，其中至少有‎1‎辆舒适型轿车”，‎ 则基本事件空间包含的基本事件有：‎ ‎(A‎1‎, A‎2‎)‎‎，‎(A‎1‎B‎1‎)‎，‎(A‎1‎B‎2‎)‎，‎ ‎（A‎1‎‎, ‎B‎3‎,），‎(A‎2‎, B‎1‎)‎，‎(A‎2‎, B‎2‎)(A‎2‎, B‎3‎)‎，‎ ‎(B‎1‎B‎2‎)‎‎，（B‎1‎‎, ‎B‎3‎,），‎(B‎2‎, B‎3‎)‎，共‎10‎个，‎ 事件E包含的基本事件有：‎ ‎(A‎1‎A‎2‎)‎‎，（A‎1‎‎, ‎B‎1‎,），‎(A‎1‎, B‎2‎)‎，‎(A‎1‎, B‎3‎)‎，‎ ‎(A‎2‎, B‎1‎)‎‎，‎(A‎2‎, B‎2‎)‎，‎(A‎2‎, B‎3‎)‎，共‎7‎个，‎ 故 P(E)=‎‎7‎‎10‎，‎ 即所求概率为‎7‎‎10‎．‎ ‎(3)‎样本平均数x‎¯‎‎=‎1‎‎8‎(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9‎．‎ 设D表示事件“从样本中任取一数，‎ 该数与样本平均数之差的绝对不超过‎0.5‎”，‎ 则基本事件空间中有‎8‎个基本事件，‎ 事件D包括的基本事件有：‎9.4‎，‎8.6‎，‎9.2‎，‎8.7‎，‎9.3‎，‎9.0‎，共‎6‎个，‎ ‎ 8 / 8‎ ‎∴ P(D)=‎6‎‎8‎=‎‎3‎‎4‎，即所求概率为‎3‎‎4‎．‎ ‎20.解：（1）因为对任意的n∈‎N‎+‎，点‎(n, Sn)‎，均在函数y=bx+r（b>0‎，且b≠1‎，b，r均为常数）的图象上．‎ 所以得Sn‎=bn+r，‎ 当n=1‎时，a‎1‎‎=S‎1‎=b+r，‎ a‎2‎‎=S‎2‎-S‎1‎=b‎2‎+r-(b‎1‎+r)=b‎2‎-b‎1‎=(b-1)b‎，‎ a‎3‎‎=S‎3‎-S‎2‎=b‎3‎+r-(b‎2‎+r)=b‎3‎-b‎2‎=(b-1)‎b‎2‎‎，‎ 又因为‎{an}‎为等比数列，所以‎(a‎2‎‎)‎‎2‎=a‎1‎×‎a‎3‎，则‎[(b-1)b‎]‎‎2‎=(b-1)b‎2‎×(b+r)‎ 解可得r=-1‎，‎ ‎（2）当b=2‎时，an‎=(b-1)bn-1‎=‎‎2‎n-1‎，‎bn=n+1‎‎4‎an=n+1‎‎4×‎‎2‎n-1‎=‎n+1‎‎2‎n+1‎ 则Tn‎=‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎4‎+…+‎n+1‎‎2‎n+1‎ ‎1‎‎2‎Tn=‎2‎‎2‎‎3‎+‎3‎‎2‎‎4‎+‎4‎‎2‎‎5‎+…+n‎2‎n+1‎+‎n+1‎‎2‎n+2‎ 相减，得‎1‎‎2‎Tn=‎2‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+‎1‎‎2‎‎4‎+‎1‎‎2‎‎5‎+…+‎1‎‎2‎n+1‎-‎n+1‎‎2‎n+2‎ ‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎‎3‎‎×(1-‎1‎‎2‎n-1‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎-n+1‎‎2‎n+2‎=‎3‎‎4‎-‎1‎‎2‎n+1‎-‎n+1‎‎2‎n+2‎ 所以Tn=‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎n-n+1‎‎2‎n+1‎=‎3‎‎2‎-‎n+3‎‎2‎n+1‎ ‎21.解：（1）由已知得f'(x)=ax‎2‎+2bx+1‎，‎ 令f'(x)=0‎，得ax‎2‎+2bx+1=0‎，‎ f(x)‎要取得极值，方程ax‎2‎+2bx+1=0‎，必须有解，‎ 所以‎△=4b‎2‎-4a>0‎，即b‎2‎‎>a，‎ 此时方程ax‎2‎+2bx+1=0‎的根为 x‎1‎‎=‎-2b-‎‎4b‎2‎-4a‎2a=‎‎-b-‎b‎2‎‎-aa‎，x‎2‎‎=‎-2b+‎‎4b‎2‎-4a‎2a=‎‎-b-+‎b‎2‎‎-aa，‎ 所以f'(x)=a(x-x‎1‎)(x-x‎2‎)‎ 当a>0‎时，‎ x ‎(-∞, x‎1‎)‎ x‎1‎ ‎ ‎‎​‎‎（x‎1‎，x‎2‎）‎ x‎2‎ ‎(x‎2‎, +∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎ 增函数 极大值 ‎ 减函数 极小值 ‎ 增函数 所以f(x)‎在x‎1‎，x‎2‎处分别取得极大值和极小值．‎ 当a<0‎时，‎ x ‎(-∞, x‎2‎)‎ x‎2‎ ‎​‎‎（x‎2‎，x‎1‎）‎ x‎1‎ ‎(x‎1‎, +∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以f(x)‎在x‎1‎，x‎2‎处分别取得极大值和极小值．‎ 综上，当a，b满足b‎2‎‎>a时，f(x)‎取得极值．‎ ‎（2）要使f(x)‎在区间‎(0, 1]‎上单调递增，需使f'(x)=ax‎2‎+2bx+1≥0‎在‎(0, 1]‎上恒成立．‎ 即b≥-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x，x∈(0, 1]‎恒成立，‎ 所以b≥-(-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x‎)‎max 设g(x)=-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x，g'(x)=-a‎2‎+‎1‎‎2‎x‎2‎=-‎a(x‎2‎-‎1‎a)‎‎2‎x‎2‎，‎ 令g'(x)=0‎得x=‎‎1‎a或x=-‎‎1‎a（舍去），‎ 当a>1‎时，‎0<‎1‎a<1‎，当x∈(0, ‎1‎a]‎时g'(x)>0‎，g(x)=-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x单调增函数；‎ 当x∈(‎1‎a, 1]‎时g'(x)<0‎，g(x)=-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x单调减函数，‎ 所以当x=‎‎1‎a时，g(x)‎取得最大，最大值为g(‎1‎a)=-‎a．‎ 所以b≥-‎a ‎ 8 / 8‎ 当‎01‎时，b≥-‎a；‎ ‎00‎且m≠1‎时，该方程表示椭圆；‎ 当m<0‎时，该方程表示双曲线．‎ ‎（2）当m=‎‎1‎‎4‎时，轨迹E的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎，‎ 设圆的方程为x‎2‎‎+y‎2‎=r‎2‎(0