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  • 2021-07-01 发布

2009年山东省高考数学试卷(文科)【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年山东省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 集合A={0, 2, a}‎,B={1, a‎2‎}‎,若A∪B={0, 1, 2, 4, 16}‎,则a的值为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎2. 复数‎3-i‎1-i等于( )‎ A.‎1+2i B.‎1-2i C.‎2+i D.‎‎2-i ‎3. 将函数y=sin2x的图象向左平移π‎4‎个单位,再向上平移‎1‎个单位,所得图象的函数解析式是( )‎ A.y=2cos‎2‎x B.‎y=2sin‎2‎x C.y=1+sin(2x+π‎4‎)‎ D.‎y=cos2x ‎4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(        )‎ A.‎2π+2‎‎3‎ B.‎4π+2‎‎3‎ C.‎2π+‎‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎4π+‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎5. 在R上定义运算‎⊗:a⊗b=ab+2a+b,则满足x⊗(x-2)<0‎的实数x的取值范围为( )‎ A.‎(0, 2)‎ B.‎‎(-2, 1)‎ C.‎(-∞, -2)∪(1, +∞)‎ D.‎‎(-1, 2)‎ ‎6. 函数y=‎ex‎+‎e‎-xex‎-‎e‎-x的图象大致为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7. 设函数f(x)=‎x‎2‎‎-1(x≥2),‎log‎2‎x(0<x<2),‎      若f(m)=3,‎则实数m的值为(         )‎ A.-2 B.8 C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎8. 设P是‎△ABC所在平面内的一点,BC‎→‎‎+BA‎→‎=2‎BP‎→‎,则‎(        )‎ A.PA‎→‎‎+PB‎→‎=‎‎0‎‎→‎ B.‎PC‎→‎‎+PA‎→‎=‎‎0‎‎→‎ C.PB‎→‎‎+PC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ D.‎PA‎→‎‎+PB‎→‎+PC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ ‎9. 已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的‎(‎        ‎‎)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎10. 设斜率为‎2‎的直线l过抛物线y‎2‎‎=ax(a≠0)‎的焦点F,且和y轴交于点A,若‎△OAF(O为坐标原点)的面积为‎4‎,则抛物线方程为( )‎ A.y‎2‎‎=±4x B.y‎2‎‎=4x C.y‎2‎‎=±8x D.‎y‎2‎‎=8x ‎11. 在区间‎[-π‎2‎, π‎2‎]‎上随机取一个数,cosx的值介于‎0‎到‎1‎‎2‎之间的概率为(        )‎ ‎ 8 / 8‎ A.‎1‎‎3‎ B.π‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎12. 已知定义在R上的奇函数f(x)‎,满足f(x-4)‎=‎-f(x)‎且在区间‎[0, 2]‎上是增函数,则( )‎ A.f(-25)0‎,且a≠1)‎有两个零点,则实数a的取值范围是________.‎ ‎15. 执行程序框图,输出的T=‎________.‎ ‎16. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品‎5‎件和B类产品‎10‎件,乙种设备每天能生产A类产品‎6‎件和B类产品‎20‎件.已知设备甲每天的租赁费为‎200‎元,设备乙每天的租赁费为‎300‎元,现该公司至少要生产A类产品‎50‎件,B类产品‎140‎件,所需租赁费最少为________元.‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17. 已知函数f(x)=2sinxcos‎2‎θ‎2‎+cosxsinθ-sinx(0<θ<π)‎,在x=π处取最小值. ‎ ‎1‎求θ的值;‎ ‎2‎在‎△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a=1‎,b=‎‎2‎,f(A)=‎‎3‎‎2‎,求角C.‎ ‎18. 如图,在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,底面ABCD为等腰梯形,AB // CD,AB=4‎,BC=CD=2‎,AA‎1‎=2‎,E,E‎1‎分别是棱AD,AA‎1‎的中点,F为AB的中点.证明: ‎ ‎(1)EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎.‎ ‎(2)‎平面D‎1‎AC⊥‎平面BB‎1‎C‎1‎C.‎ ‎19. 汽车厂生产A,B,‎C ‎ 8 / 8‎ 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆);‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取‎50‎辆,其中有A类轿车‎10‎辆. ‎ ‎(1)‎求z的值;‎ ‎(2)‎用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为‎5‎的样本,将该样本看成一个总体,从中任取‎2‎辆,求至少有‎1‎辆舒适型轿车的概率;‎ ‎(3)‎用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取‎8‎辆,经检测它们的得分如下:‎9.4‎,‎8.6‎,‎9.2‎,‎9.6‎,‎8.7‎,‎9.3‎,‎9.0‎,‎8.2‎.把这‎8‎辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过‎0.5‎的概率.‎ ‎20. 等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn,已知对任意的n∈‎N‎*‎,点‎(n, Sn)‎,均在函数y=bx+r(b>0)‎且b≠1‎,b,r均为常数)的图象上. ‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(2)当b=2‎时,记bn‎=n+1‎‎4‎an(n∈N‎*‎)‎,求数列‎{bn}‎的前n项和Tn.‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎1‎‎3‎ax‎3‎+bx‎2‎+x+3‎,其中a≠0‎. ‎ ‎(1)当a,b满足什么条件时,f(x)‎取得极值?‎ ‎(2)已知a>0‎,且f(x)‎在区间‎(0, 1]‎上单调递增,试用a表示出b的取值范围.‎ ‎22. 设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx, y+1)‎,向量b=(x, y-1)‎,a⊥b,动点M(x, y)‎的轨迹为E. ‎ ‎(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;‎ ‎(2)已知m=‎‎1‎‎4‎.证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求该圆的方程;‎ ‎(3)已知m=‎‎1‎‎4‎.设直线l与圆C:x‎2‎+y‎2‎=R‎2‎(1a,‎ 所以 B=‎π‎4‎时,C=π-A-B=π-π‎6‎-π‎4‎=‎‎7π‎12‎,‎ 当B=‎‎3π‎4‎时,C=π-A-B=π-π‎6‎-‎3π‎4‎=‎π‎12‎.‎ ‎18.证明:‎(1)‎证法一:取A‎1‎B‎1‎的中点为F‎1‎,‎ 连接FF‎1‎,C‎1‎F‎1‎,‎ 由于FF‎1‎ // BB‎1‎ // CC‎1‎,‎ 所以F‎1‎‎∈‎平面FCC‎1‎F‎1‎,‎ 因为平面FCC‎1‎F‎1‎即为平面C‎1‎CFF‎1‎,‎ 连接A‎1‎D,F‎1‎C,‎ 由于A‎1‎F‎1‎和D‎1‎C‎1‎和CD平行且相等.‎ 所以 四边形A‎1‎DCF‎1‎为平行四边形,‎ 因为 A‎1‎D // F‎1‎C.‎ 又 EE‎1‎ // A‎1‎D,‎ 得EE‎1‎ // F‎1‎C,‎ 而 EE‎1‎⊄‎平面FCC‎1‎F‎1‎,F‎1‎C⊂‎平面FCC‎1‎F‎1‎,‎ 故 EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎F‎1‎.‎ 证法二:因为F为AB的中点,CD=2‎,AB=4‎,AB // CD,‎ ‎ 8 / 8‎ 所以CD // AF,‎ 因此 四边形AFCD为平行四边形,‎ 所以 AD // FC.‎ 又 CC‎1‎ // DD‎1‎,FC∩CC‎1‎=C,‎ FC⊂‎平面FCC‎1‎,CC‎1‎⊂‎平面FCC‎1‎F‎1‎,‎ 所以 平面ADD‎1‎A‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎F‎1‎,‎ 又 EE‎1‎⊂‎平面ADD‎1‎A‎1‎,‎ 所以 EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎.‎ ‎(2)‎证明:连接AC,连‎△FBC中,FC=BC=FB,‎ 又 F为AB的中点,‎ 所以 AF=FC=FB,‎ 因此‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎,‎ 即 AC⊥BC.‎ 又 AC⊥CC‎1‎,且CC‎1‎∩BC=C,‎ 所以 AC⊥‎平面BB‎1‎C‎1‎C,‎ 而 AC⊂‎平面D‎1‎AC,‎ 故 平面D‎1‎AC⊥‎平面BB‎1‎C‎1‎C.‎ ‎19.解:‎(1)‎设该厂这个月共生产轿车n辆,‎ 由题意得‎50‎n‎=‎‎10‎‎100+300‎,‎ ‎∴ n=2000‎,‎ ‎∴ z=2000-(100+300)-150-450-600=400‎.‎ ‎(2)‎设所抽样本中有a辆舒适型轿车,‎ 由题意,得a=2‎.‎ 因此抽取的容量为‎5‎的样本中,‎ 有‎2‎辆舒适型轿车,‎3‎辆标准型轿车.‎ 用A‎1‎,A‎2‎表示‎2‎辆舒适型轿车,‎ 用B‎1‎,B‎2‎,B‎3‎表示‎3‎辆标准轿车,‎ 用E表示事件“在该样本中任取‎2‎辆,其中至少有‎1‎辆舒适型轿车”,‎ 则基本事件空间包含的基本事件有:‎ ‎(A‎1‎, A‎2‎)‎‎,‎(A‎1‎B‎1‎)‎,‎(A‎1‎B‎2‎)‎,‎ ‎(A‎1‎‎, ‎B‎3‎,),‎(A‎2‎, B‎1‎)‎,‎(A‎2‎, B‎2‎)(A‎2‎, B‎3‎)‎,‎ ‎(B‎1‎B‎2‎)‎‎,(B‎1‎‎, ‎B‎3‎,),‎(B‎2‎, B‎3‎)‎,共‎10‎个,‎ 事件E包含的基本事件有:‎ ‎(A‎1‎A‎2‎)‎‎,(A‎1‎‎, ‎B‎1‎,),‎(A‎1‎, B‎2‎)‎,‎(A‎1‎, B‎3‎)‎,‎ ‎(A‎2‎, B‎1‎)‎‎,‎(A‎2‎, B‎2‎)‎,‎(A‎2‎, B‎3‎)‎,共‎7‎个,‎ 故 P(E)=‎‎7‎‎10‎,‎ 即所求概率为‎7‎‎10‎.‎ ‎(3)‎样本平均数x‎¯‎‎=‎1‎‎8‎(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9‎.‎ 设D表示事件“从样本中任取一数,‎ 该数与样本平均数之差的绝对不超过‎0.5‎”,‎ 则基本事件空间中有‎8‎个基本事件,‎ 事件D包括的基本事件有:‎9.4‎,‎8.6‎,‎9.2‎,‎8.7‎,‎9.3‎,‎9.0‎,共‎6‎个,‎ ‎ 8 / 8‎ ‎∴ P(D)=‎6‎‎8‎=‎‎3‎‎4‎,即所求概率为‎3‎‎4‎.‎ ‎20.解:(1)因为对任意的n∈‎N‎+‎,点‎(n, Sn)‎,均在函数y=bx+r(b>0‎,且b≠1‎,b,r均为常数)的图象上.‎ 所以得Sn‎=bn+r,‎ 当n=1‎时,a‎1‎‎=S‎1‎=b+r,‎ a‎2‎‎=S‎2‎-S‎1‎=b‎2‎+r-(b‎1‎+r)=b‎2‎-b‎1‎=(b-1)b‎,‎ a‎3‎‎=S‎3‎-S‎2‎=b‎3‎+r-(b‎2‎+r)=b‎3‎-b‎2‎=(b-1)‎b‎2‎‎,‎ 又因为‎{an}‎为等比数列,所以‎(a‎2‎‎)‎‎2‎=a‎1‎×‎a‎3‎,则‎[(b-1)b‎]‎‎2‎=(b-1)b‎2‎×(b+r)‎ 解可得r=-1‎,‎ ‎(2)当b=2‎时,an‎=(b-1)bn-1‎=‎‎2‎n-1‎,‎bn=n+1‎‎4‎an=n+1‎‎4×‎‎2‎n-1‎=‎n+1‎‎2‎n+1‎ 则Tn‎=‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+‎4‎‎2‎‎4‎+…+‎n+1‎‎2‎n+1‎ ‎1‎‎2‎Tn=‎2‎‎2‎‎3‎+‎3‎‎2‎‎4‎+‎4‎‎2‎‎5‎+…+n‎2‎n+1‎+‎n+1‎‎2‎n+2‎ 相减,得‎1‎‎2‎Tn=‎2‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+‎1‎‎2‎‎4‎+‎1‎‎2‎‎5‎+…+‎1‎‎2‎n+1‎-‎n+1‎‎2‎n+2‎ ‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎‎3‎‎×(1-‎1‎‎2‎n-1‎)‎‎1-‎‎1‎‎2‎-n+1‎‎2‎n+2‎=‎3‎‎4‎-‎1‎‎2‎n+1‎-‎n+1‎‎2‎n+2‎ 所以Tn=‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎n-n+1‎‎2‎n+1‎=‎3‎‎2‎-‎n+3‎‎2‎n+1‎ ‎21.解:(1)由已知得f'(x)=ax‎2‎+2bx+1‎,‎ 令f'(x)=0‎,得ax‎2‎+2bx+1=0‎,‎ f(x)‎要取得极值,方程ax‎2‎+2bx+1=0‎,必须有解,‎ 所以‎△=4b‎2‎-4a>0‎,即b‎2‎‎>a,‎ 此时方程ax‎2‎+2bx+1=0‎的根为 x‎1‎‎=‎-2b-‎‎4b‎2‎-4a‎2a=‎‎-b-‎b‎2‎‎-aa‎,x‎2‎‎=‎-2b+‎‎4b‎2‎-4a‎2a=‎‎-b-+‎b‎2‎‎-aa,‎ 所以f'(x)=a(x-x‎1‎)(x-x‎2‎)‎ 当a>0‎时,‎ x ‎(-∞, x‎1‎)‎ x‎1‎ ‎ ‎‎​‎‎(x‎1‎,x‎2‎)‎ x‎2‎ ‎(x‎2‎, +∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎ 增函数 极大值 ‎ 减函数 极小值 ‎ 增函数 所以f(x)‎在x‎1‎,x‎2‎处分别取得极大值和极小值.‎ 当a<0‎时,‎ x ‎(-∞, x‎2‎)‎ x‎2‎ ‎​‎‎(x‎2‎,x‎1‎)‎ x‎1‎ ‎(x‎1‎, +∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以f(x)‎在x‎1‎,x‎2‎处分别取得极大值和极小值.‎ 综上,当a,b满足b‎2‎‎>a时,f(x)‎取得极值.‎ ‎(2)要使f(x)‎在区间‎(0, 1]‎上单调递增,需使f'(x)=ax‎2‎+2bx+1≥0‎在‎(0, 1]‎上恒成立.‎ 即b≥-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x,x∈(0, 1]‎恒成立,‎ 所以b≥-(-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x‎)‎max 设g(x)=-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x,g'(x)=-a‎2‎+‎1‎‎2‎x‎2‎=-‎a(x‎2‎-‎1‎a)‎‎2‎x‎2‎,‎ 令g'(x)=0‎得x=‎‎1‎a或x=-‎‎1‎a(舍去),‎ 当a>1‎时,‎0<‎1‎a<1‎,当x∈(0, ‎1‎a]‎时g'(x)>0‎,g(x)=-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x单调增函数;‎ 当x∈(‎1‎a, 1]‎时g'(x)<0‎,g(x)=-ax‎2‎-‎‎1‎‎2x单调减函数,‎ 所以当x=‎‎1‎a时,g(x)‎取得最大,最大值为g(‎1‎a)=-‎a.‎ 所以b≥-‎a ‎ 8 / 8‎ 当‎01‎时,b≥-‎a;‎ ‎00‎且m≠1‎时,该方程表示椭圆;‎ 当m<0‎时,该方程表示双曲线.‎ ‎(2)当m=‎‎1‎‎4‎时,轨迹E的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎,‎ 设圆的方程为x‎2‎‎+y‎2‎=r‎2‎(0