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第三讲 三角函数的图象与性质
1.[2020武汉市部分学校质量监测]已知曲线C1:y=2sin 2x,C2:y=sin 2x+cos 2x,则下面结论正确的是( )
A.把曲线C1向右平移π8个单位长度,得到曲线C2
B.把曲线C1向左平移π4个单位长度,得到曲线C2
C.把曲线C2向左平移π4个单位长度,得到曲线C1
D.把曲线C2向右平移π8个单位长度,得到曲线C1
2.[2020长春市第一次质量监测]把函数y=f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象(部分图象如图4 - 3 - 1所示),则y=f (x)的解析式为( )
图4 - 3 - 1
A.f (x)=2sin(2x+π6) B.f (x)=2sin(x+π6)
C.f (x)=2sin(4x+π6) D.f (x)=2sin(x - π6)
3.[2020惠州市调考]函数f (x)=2cos2ωx - sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π,则ω=( )
A.32 B.2 C.1 D.12
4.[2020四省八校联考]图4 - 3 - 2是函数f (x)=3sin(ωx+5π6)(ω>0)的部分图象,
图4 - 3 - 2
若|AB|=4,则f ( - 1)=( )
A. - 1 B.1 C. - 32 D.32
5.[2020成都市高三摸底测试]将函数f (x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则ω的最小值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
6.[2020惠州市二调]已知直线x=π3是函数f (x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)图象的一条对称轴,则( )
A.φ=π6
B.f (x)在[0,π2]上单调递增
C.f (x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
D.f (x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin 2x的图象
7.[2020广东四校联考]已知函数f (x)=sin(x - π3),若x1x2>0,且f (x1)+f (x2)=0,则|x1+x2|的最小值为( )
A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
8.[2019江西红色七校第一次联考]函数y=sin(2x - π6)的图象与函数y=cos(x - π3)的图象( )
A.有相同的对称轴但无相同的对称中心
B.有相同的对称中心但无相同的对称轴
C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴
9.[多选题]已知函数f (x)=3sin ωx+cos(π+ωx)(ω>0)的图象上的最高点与最低点之间距离的最小值为π2+642,则下列说法正确的是( )
A.函数f (x)的极大值为3+1
B.[π3,5π6]为函数f (x)的一个单调递减区间
C.函数f (x)的图象关于点( - 5π12,0)对称
D.将函数f (x)的图象向右平移π12个单位长度后,所得函数图象关于原点对称
10.[2020河北模拟]若函数f (x)=3sin(x+π10) - 2在区间[π2,a]上单调,则实数a的最大值是 .
11.[2019浙江高考]设函数f (x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=[f (x+π12)]2+[f (x+π4)]2的值域.
12.[2020江西红色七校第一次联考]若函数f (x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)图象的一个对称中心为点(π3,0),与该对称中心相邻的一条对称轴方程为x=7π12,该对称轴处所对应的函数值为 - 1,为了得到g(x)=cos 2x的图象,则只需将f (x)的图象( )
A.向右平移π6个单位长度 B.向左平移π12个单位长度
C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π12个单位长度
13.[2020安徽省示范高中名校联考]将函数y=sin(2x - π4)的图象向左平移π4个单位长度,所得图象对应的函数在区间( - m,m)上无极值点,则m的最大值为( )
A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2
14.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2),f (π3)=1且f (π4)= - 1,当ω取最小值时,函数f (x)的单调递减区间为( )
A.[π12+kπ3,π4+kπ3],k∈Z B.[π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z
C.[ - π12+kπ3,π12+kπ3],k∈Z D.[ - π12+2kπ,π4+2kπ],k∈Z
15.[2020陕西省百校第一次联考]将函数f (x)=cos 2x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有的性质为( )
A.最大值为1,图象关于直线x=π2对称
B.为奇函数,在(0,π4)上单调递增
C.为偶函数,在( - 3π8,π8)上单调递增
D.最小正周期为π,图象关于点(3π8,0)对称
16.[2019安徽示范高中高三测试]已知函数f (x)=Asin(2x+θ)(A>0,|θ|<π2)的部分图象如图4 - 3 - 3所示,
图4 - 3 - 3
f (a)=f (b)=0,f (a+b)=3,则( )
A.f (x)在( - 5π12,π12)上是减函数 B.f (x)在( - 5π12,π12)上是增函数
C.f (x)在(π3,5π6)上是减函数 D.f (x)在(π3,5π6)上是增函数
17.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知函数f (x)=asin ωx+cos(ωx - π6)(a>0,ω>0),对于任意的x1,x2∈R,都有f (x1)+f (x2) - 23≤0,若f (x)在[0,π]上的值域为[32,3],则实数ω的取值范围为( )
A.[13,12] B.[13,23] C.[14,23] D.[14,12]
18.[2019新疆乌鲁木齐二检]若关于x的方程(sin x+cos x)2+cos 2x=m在区间(0,π]上有两个不同的实数根x1,x2,且|x1 - x2|≥π4,则实数m的取值范围是( )
A.[0,2) B.[0,2] C.[1,2+1] D.[1,2+1)
19.[2019安师大附中最后一卷]如图4 - 3 - 4,
图4 - 3 - 4
已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象与坐标轴交于点A,B,C,点C的坐标为( - 12,0),直线BC交f (x)的图象于另一点D,O是△ABD的重心.则△ACD的外接圆的半径为( )
A.2 B.576 C.573 D.8
20.[双空题]函数f (x)=3cos(x+π4)的图象向右平移π4个单位长度,可得到函数g(x)的图象,则函数
g(x)的解析式为 ,函数h(x)=sin2x+g(x)的值域是 .
21.[2020安徽省示范高中名校联考]已知函数f (x)=asin 2x - 3cos 2x的图象关于直线x= - π12对称,若f (x1)·f (x2)= - 4,则|x1 - x2|的最小值为 .
22.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x)=sin(ωx+π4)(ω>0),若f (x)在[0,2π]上恰有3个极值点,则ω的取值范围是 .
23.[2019四省八校联考]若f (x)=2sin(ωx+φ) - 3(ω>0)对任意x∈R都有f (x+π6)=f (π3 - x)成立,则f (π4)= .
24.[2020合肥市调研检测]已知函数f (x)=cos 2x+sin(2x - π6).
(1)求函数f (x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,π]时,求函数f (x)的单调递增区间.
25.[2019湖南重点高中联考]已知函数f (x)=cos(πx+π3)cos(πx - π3).
(1)求f (x)的单调递增区间;
(2)若f (x)在区间[13,a]上的值域为[ - 34, - 12],求a的取值范围.
26.[多选题]已知函数f (x)=23sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0),则下列结论正确的是( )
A.f (x)的最大值为2
B.若f (x)的最小正周期为π,则ω=1
C.方程f (x)= - 2有无数个解
D.若函数f (x)的图象在区间(π2,π)内不存在对称轴,则ω的最大值为23
27.[2020洛阳市第一次联考][开放题]设定义在R上的函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0, - π12<φ<π2).给
出以下四个论断:①f (x)的最小正周期为π;②f (x)在区间( - π6,0)上是增函数;③f (x)的图象关于点(π3,0)对称;④f (x)的图象关于直线x=π12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式) .(用到的论断都用序号表示)
28. [2019山东省八所重点中学联考]如图4 - 3 - 5,点A,点B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.
图4-3-5
动点A从初始位置A0(cos π3,sin π3)开始,按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,点B的纵坐标分别为y1,y2.
(1)求t=π4时,A,B两点间的距离;
(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,π2]时,y的取值范围.
第三讲 三角函数的图象与性质
1.D 因为C1:y=2sin 2x,C2:y=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+π4)=2sin[2(x+π8)],所以把曲线C2向右平移π8个单位长度,得到曲线C1,选D.
2.C 将(0,1)代入y=2sin(ωx+φ)中,得sin φ=12.又|φ|<π2,所以φ=π6.由“五点作图法”知点(11π12,0)为图象上的第五点,则ω×11π12+π6=2π,解得ω=2,所以y=2sin(2x+π6),将其图象上所有点的横坐标缩短成原来的12,得y=f (x)=2sin(4x+π6)的图象,故选C.
3.C ∵f (x)=2cos2ωx - sin2ωx+2=32cos 2ωx+52(ω>0),∴f (x)的最小正周期T=2π2ω=π,∴ω=1.
4.D 设f (x)的最小正周期为T,则|AB|2=(23)2+(T2)2,即16=12+T24,则T=4,所以T=4=2πω,ω=π2,所以f (x)=3sin(π2x+5π6),所以f ( - 1)=3sin( - π2+5π6)=3sinπ3=3×32=32.
5.C 将函数f (x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后,得到y=sin(ωx - ωπ6+π3)的图象,∵y=sin(ωx - ωπ6+π3)的图象关于y轴对称,∴ - ωπ6+π3=kπ+π2,k∈Z,∴ω= - 6k - 1,k∈Z,又ω>0,∴ω的最小值为5,故选C.
6.D 由题意可得2×π3+φ=kπ+π2(k∈Z),所以φ=kπ - π6(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ= - π6,故选项A错误;函数的解析式为f (x)=2sin(2x - π6),若x∈[0,π2],则2x - π6∈[ - π6,5π6],此时函数不具有单调性,故选项B错误;把f (x)的图象向左平移π6个单位长度可得到y=2sin[2(x+π6) - π6]=2sin(2x+π6)的图象,故选项C错误;把f (x)的图象向左平移π12个单位长度可得到y=2sin[2(x+π12) - π6]=2sin 2x的图象,故选项D正确.
7.D 由题意可得x1,x2的符号相同,且(x1 - π3)+(x2 - π3)=2kπ,k∈Z,或(x2 - π3) - (x1 - π3)=kπ,k∈Z,所以x1+x2=2kπ+2π3,k∈Z,故|x1+x2|的最小值为2π3,故选D.
8.A 当x=π3+kπ,k∈Z时,cos(x - π3)=±1,所以函数y=cos(x - π3)的图象的对称轴是直线x=π3+kπ,k∈Z,又当2x - π6=π2+kπ,k∈Z,即x=π3+kπ2,k∈Z时,sin(2x - π6)=±1,所以y=sin(2x - π6)的图象的对称轴是直线x=π3+kπ2,k∈Z,所以y=cos(x - π3)的图象的对称轴都是y=sin(2x - π6)的图象的对称轴;当x - π3=π2+kπ,k∈Z,即x=5π6+kπ,k∈Z时,cos(x - π3)=0,所以y=cos(x - π3)的图象的对称中心是点(5π6+kπ,0),k
∈Z,又当2x - π6=kπ,k∈Z,即x=π12+kπ2,k∈Z时,sin(2x - π6)=0,所以y=sin(2x - π6)的图象的对称中心是点(π12+kπ2,0),k∈Z,由此可得,它们的对称中心均不相同.故选A.
9.BC f (x)=3sin ωx - cos ωx=2sin(ωx - π6),其最小正周期T=2πω.由已知得(T2)2+(-2-2)2=(πω)2+42=π2+642,得ω=2,所以f (x)=2sin(2x - π6).
A
函数f (x)的极大值为2.
错误
B
由2kπ+π2≤2x - π6≤2kπ+3π2(k∈Z),
解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z),所以该函数的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z).令k=0,所得区间为[π3,5π6].
正确
C
令2x - π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k∈Z),所以函数f (x)的图象的对称中心为点(kπ2+π12,0)(k∈Z).当k= - 1时,对称中心为点( - 5π12,0).
正确
D
将函数f (x)的图象向右平移π12个单位长度后,所得图象对应的函数的解析式为g(x)=f (x - π12)=2sin[2(x - π12) - π6]=2sin(2x - π3),显然该函数不是奇函数,其图象不关于原点对称.
错误
综上,说法正确的是BC.
10.7π5 解法一 令2kπ+π2≤x+π10≤2kπ+3π2,k∈Z,得2kπ+2π5≤x≤2kπ+7π5,k∈Z,所以函数f (x)在区间[2π5,7π5]上单调递减,所以a的最大值为7π5.
解法二 因为π2≤x≤a,所以π2+π10≤x+π10≤a+π10,
而f (x)在[π2,a]上单调,所以a+π10≤3π2,即a≤7π5,所以a的最大值为7π5.
11.(1)因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin( - x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ= - sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.
(2)y=[f (x+π12)]2+[f (x+π4)]2
=sin2(x+π12)+sin2(x+π4)
=1-cos(2x+π6)2+1-cos(2x+π2)2
=1 - 12(32cos 2x - 32sin 2x)
=1 - 32cos(2x+π3).
因此,函数的值域是[1 - 32,1+32].
12.B 根据函数f (x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点(π3,0),(7π12, - 1),可得A=1,14·2πω=7π12 - π3,解得ω=2.又由五点作图法可得2×π3+φ=π,解得φ=π3,所以f (x)=sin(2x+π3).因为cos 2x=sin(2x+π2)=sin[2(x+π12)+π3],所以将函数f (x)=sin(2x+π3)的图象向左平移π12个单位长度,可得g(x)=cos 2x的图象,故选B.
13.A 解法一 将函数y=sin(2x - π4)的图象向左平移π4个单位长度后所得图象对应的函数的解析式为y=sin[2(x+π4) - π4]=sin(2x+π4).又此函数在区间( - m,m)上无极值点,所以0<2m≤T2=π2,所以00.当k2= - 1,k1=0或k1=2,k2=0时,ω取最小值6.又|φ|<π2,所以φ=0,f (x)=2sin 6x+1.令2kπ+π2≤6x≤2kπ+32π,k∈Z,则kπ3+π12≤x≤kπ3+π4,k∈Z,所以f (x)的单调递减区间为[kπ3+π12,kπ3+π4],k∈Z,故选A.
15.B 将函数f (x)=cos 2x的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)=cos[2(x - π4)]=sin 2x 的图象,则函数g(x)的最大值为1,其图象关于直线x=kπ2+π4(k∈Z)对称,故选项A不正确;易知函数g(x)为奇函数,当x∈(0,π4)时,2x∈(0,π2),故函数g(x)在(0,π4)上单调递增,故选项B正确,选项C不正确;易知函数g(x)的最小正周期为π,其图象关于点(kπ2,0)(k∈Z)对称,故选项D不正确.故选B.
16.B 由题图可知A=2,则f (x)=2sin(2x+θ).
因为f (a)=f (b)=0,所以f (a+b2)=2,
则sin(a+b+θ)=1,a+b+θ=π2+2kπ,k∈Z.由f (a+b)=3得sin[2(a+b)+θ]=32,所以2(a+b)+θ=π3+2kπ,k∈Z,或2(a+b)+θ=2π3+2kπ,k∈Z,所以θ=2π3+2kπ或θ=π3+2kπ,k∈Z,又|θ|<π2,所以θ=π3,即f (x)=2sin(2x+π3).当x∈( - 5π12,π12)时,2x+π3∈( - π2,π2),所以f (x)在( - 5π12,π12)上是增函数.当x∈(π3,5π6)时,2x+π3∈(π,2π),所以f (x)在(π3,5π6)上先减后增.故选B.
17.B f (x)=asin ωx+cos(ωx - π6)=asin ωx+cos ωxcos π6+sin ωxsin π6=(12+a)sin ωx+32cos ωx=(12+a)2+(32)2·sin(ωx+ϕ),其中tan ϕ=3212+a.对于任意的x1,x2∈R,都有f (x1)+f (x2) - 23≤0,即f
(x1)+f (x2)≤23,当且仅当f (x1)=f (x2)=f (x)max时取等号,故2(12+a)2+(32)2=23,解得a=1或a= - 2(舍去),故f (x)=32sin ωx+32cos ωx=3sin(ωx+π6).因为0≤x≤π,所以0≤ωx≤ωπ,π6≤ωx+π6≤ωπ+π6.又f (x)在[0,π]上的值域为[32,3],所以π2≤ωπ+π6≤5π6,解得13≤ω≤23,选B.
18.A 关于x的方程(sin x+cos x)2+cos 2x=m可化为sin 2x+cos 2x=m - 1,即sin(2x+π4)=m-12.易知sin(2x+π4)=m-12在区间(0,π]上有两个不同的实数根x1,x2,且|x1 - x2|≥π4.令2x+π4=t,即sin t=m-12在区间(π4,9π4]上有两个不同的实数根t1,t2.
作出y=sin t(π40,∴t∈[π4,2ωπ+π4],结合y=sin t的图象得5π2<2ωπ+π4≤7π2,解得98<ω≤138.
【易错警示】 本题容易出现的错误解答:结合正弦函数y=sin t的图象得5π2≤2ωπ+π4<7π2,解得98≤ω<138,错误的原因是未注意到极值点不能在区间的端点处.
23. - 5或 - 1 由题意知,函数f (x)=2sin(ωx+φ) - 3的图象的一条对称轴为直线x=π4.当x=π4时,函数f (x)=2sin(ωx+φ) - 3取得最值,所以f (π4)= - 5或 - 1.
24.(1)f (x)=cos 2x+32sin 2x - 12cos 2x=32sin 2x+12cos 2x=sin(2x+π6).
∴函数f (x)的最小正周期T=π.
(2)由2kπ - π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ - π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),
∴函数f (x)的单调递增区间为[kπ - π3,kπ+π6](k∈Z).
∵x∈[0,π],∴所求单调递增区间为[0,π6]和[2π3,π].
25.(1)f (x)=(12cos πx - 32sin πx)(12cos πx+32sin πx)=14cos2πx - 34sin2πx=14×1+cos2πx2 - 34×1-cos2πx2=12cos 2πx - 14,令π+2kπ≤2πx≤2π+2kπ,k∈Z,解得12+k≤x≤1+k,k∈Z,∴f (x)的单调递增区间为[k+12,k+1],k∈Z.
(2)∵f (x)的值域为[ - 34, - 12],∴ - 1≤cos 2πx≤ - 12.∵x∈[13,a],∴2π3≤2πx≤2πa,结合余弦函数图象可知π≤2πa≤4π3,解得12≤a≤23,∴a的取值范围是[12,23].
26.BD 因为f (x)=23sin ωxcos ωx+2cos2ωx=3sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin(2ωx+π6)+1,所以 - 1≤f (x)≤3,故选项A,C不正确.若f (x)的最小正周期为π,则2ω=2ππ=2,ω=1,故选项B正确.由2ωx+π6=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ+π32ω(k∈Z),根据题意知,若函数f (x)的图象在区间(π2,π)内不存在对称轴,只需kπ+π32ω≤π2且(k+1)π+π32ω≥π,即ω≥k+13且ω≤k+432,若有解,必须k+13≤k+432,即k≤23,又ω>0,所以k+432>0,即k> - 43,所以 - 430),
当t∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],所以cos(2t+π3)∈[ - 1,12),故当t∈(0,π2]时,y∈[ - 3,32).
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