【数学】2019届一轮复习北师大版内切，外接球学案 3页

‎ 2019年高考数学总复习 ‎ ‎ ‎ 球的“内切”“外接”问题 考点一。内切球 等体积法 ‎（1）设正方体的棱长为，求内切球半径； （2）求棱长为正四面体的内切球的半径； ‎ 解 （1）截面图为正方形的内切圆，得；‎ （2） 设内切球半径为，则，，故。‎ 考点二。外接球 一．多面体几何性质法 ‎ ‎（1）若正方体的表面积为，则该球外接的体积为 .‎ 解 正方体的体对角线是所以球的半径为.故该球的体积为.‎ ‎（2）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求球的表面积。‎ 解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得.‎ ‎∴.∴这个球的表面积是.‎ 二．补形法 ‎（1）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球O的半径。‎ 解 由题得BC=5,BO2=,OO2=6,则球O的半径R===.‎ ‎（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .‎ 解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为，则有.∴.‎ 故其外接球的表面积。‎ ‎（3）已知球的面上四点A、B、C、D，，，，求球的体积.‎ 解 由于，，构造长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.‎ ‎（4）在等腰梯形中，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使重合于点，求三棱锥的外接球的体积。‎ 解 因为，，所以，由此可求得正方体的棱长为，体对角线为，从而外接球的直径也为，所以此球的体积.‎ 三．直棱柱 ‎ ‎（1）已知A，B，C为球面上点，，且，外接求半径为10，求球心O到面ABC的距离。‎ 解 由已知 ，有，则d=6.‎ ‎(2)一个正三棱柱左视图为边长为的正方形，求外接球半径。‎ 解 正三棱柱的高线为上下底面正三角形重心的连线，左视图的长即为正三角形的高=，球心O在正三棱柱高线的中点处，则，d=,故。‎ ‎（3）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且六棱柱的体积为，底面周长为3，求外接球体积.‎ 解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 ∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面距离.∴外接球的半径..‎ 四 侧棱垂直于底面 ‎ ‎（1）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为正三角形，SA=1且，求其外接球表面积。‎ 解 三棱锥外接球即以ABC为底SA为高的三棱柱外接球，ABC外接圆。‎ ‎（2）四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，面PAD面ABCD，三角形PAD为正三角形，AB=2AD=4，求外接球表面积。‎ 解 四棱锥外接球即以PAD为底AB为高的三棱柱外接球，。‎