【数学】2020届一轮复习北师大版第1讲随机抽样学案 11页

第 1 讲 随机抽样 [最新考纲] 1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法. 知 识 梳 理 1．简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样 方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本． (1)编号：先将总体的 N 个个体编号； (2)分段：确定分段间隔 k，对编号进行分段，当N n(n 是样本容量)是整数时，取 k ＝N n ； (3)确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k)； (4)获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体 编号(l＋k)，再加 k 得到第 3 个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个 样本． 3．分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方 法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围： 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 辨 析 感 悟 1．对简单随机抽样的认识 (1)(教材思考问题改编)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次 抽取有关，第一次抽到的可能性最大．(×) (2)从 100 件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿 5 次，是简单随 机抽样．(×) 2．对系统抽样的理解 (3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体．(√) (4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平．(×) 3．对分层抽样的理解 (5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×) (6)(2018·郑州模拟改编)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共 抽取 60 名代表，则可用分层抽样方法抽取．(√) (7)(2018·湖南卷改编)某学校有男、女学生各 500 名．为了解男、女学生在学习 兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调 查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．(√) [感悟·提升] 两点提醒 一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽 取，都是不放回抽样，如(2)． 二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，如(1)、(4)、 (5). 考点一 简单随机抽样 【例 1】 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本． (2)盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从 中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． (3)从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验． (4)某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛． 解 (1)不是简单随机抽样．由于被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是 有限的． (2)不是简单随机抽样．由于它是放回抽样． (3)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取． (4)不是简单随机抽样．因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名中特指的，不存在 随机性，不是等可能抽样． 规律方法 (1)简单随机抽样需满足；①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③是不 放回抽取；④是等可能抽取． (2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数表法(适用 于个体数较多的情况)． 【训练 1】 下列抽样试验中，适合用抽签法的有( )． A．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 答案 B 考点二 系统抽样 【例 2】 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查．为此将他们随机 编号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9. 抽到的 32 人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷 A，编号落入区间[451,750]的 人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 B 的人数为( )． A．7 B．9 C．10 D．15 解析 从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则每 30 人抽取一人，因为第一组 抽到的号码为 9，则第二组抽到的号码为 39，第 n 组抽到的号码为 an＝9＋30(n －1)＝30n－21，由 451≤30n－21≤750，得236 15 ≤n≤257 10 ，所以 n＝16,17，…， 25，共有 25－16＋1＝10 人，选 C. 答案 C 规律方法 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大． (2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地 剔除几个个体，从而确定分段间隔． (3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便 随之确定． 【训练 2】 (1)从编号为 1～50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选 取 5 枚导弹的编号可能是( )． A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32 (2)(2018·临沂模拟)某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽 取一个容量为 4 的样本，已知 3 号、29 号、42 号同学在样本中，那么样本中还 有一个同学的学号是( )． A．10 B．11 C．12 D．16 解析 (1)间隔距离为 10，故可能编号是 3,13,23,33,43. (2)因为 29 号、42 号的号码差为 13，所以 3＋13＝16，即另外一个同学的学号是 16. 答案 (1)B (2)D 考点三 分层抽样 【例 3】 (2018·兰州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学 只参加一个小组)(单位：人) 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加 这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为 ________． 解析 因为 30 45＋15＋30＋10＋a＋20 ＝ 12 45＋15 ，所以解得 a＝30. 答案 30 规律方法 进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解： (1) 样本容量 n 总体的个数 N ＝该层抽取的个体数 该层的个体数 ； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 【训练 3】 (1)(2018·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本， 则应从高二年级抽取________名学生． (2)某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本 中的青年职工为 7 人，则样本容量为________． 解析 (1)高二年级学生人数占总数的 3 3＋3＋4 ＝ 3 10.样本容量为 50，则高二年级 抽取：50× 3 10 ＝15(名)学生． (2)由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝ 7∶5∶3.由样本中青年职工为 7 人得样本容量为 15. 答案 (1)15 (2)15 1．三种抽样方法的联系 三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相 等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为 n，总体的个体数 为 N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是n N. 2．各种抽样方法的特点 (1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小， 尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定 间距． (2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机 会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样． (3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在 每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样． 创新突破 8——抽样方法与概率的交汇问题 【典例】 (2018·天津卷)某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分 层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率． 突破 1：确定分层抽样中的每层所占的比例． 突破 2：用列举法列出所有可能抽取的结果． 突破 3：利用古典概型的计算公式计算． 解 (1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为 6× 21 21＋14＋7 ＝3；从 中学中抽取的学校数目为 6× 14 21＋14＋7 ＝2；从大学中抽取的学校数目为 6× 7 21＋14＋7 ＝1. 则从小学、中学、大学分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 A1，A2，A3,2 所中学分别记为 A4，A5，大学记为 A6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1， A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3， A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共 15 种． ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为(A1，A2)， (A1，A3)，(A2，A3)，共 3 种． 所以 P(B)＝ 3 15 ＝1 5. [反思感悟] 分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读 量都比较大，且一般会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型 的题目． 【自主体验】 (2018·潮州模拟)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程 度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表： 学历 35 岁以下 35～50 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (1)用分层抽样的方法在 35～50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的 样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至少有 1 人学历为研究生的概 率； (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人，其 中 35 岁以下 48 人，50 岁以上 10 人，再从这 N 个人中随机抽取出 1 人，此人的 年龄为 50 岁以上的概率为 5 39 ，求 x，y 的值． 解 (1)用分层抽样的方法在 35～50 岁中抽取一个容量为 5 的样本，设抽取学历 为本科的人数为 m，∴30 50 ＝m 5 ，解得 m＝3. 抽取的样本中有研究生 2 人，本科生 3 人，分别记作 S1，S2；B1，B2，B3. 从中任取 2 人的所有等可能基本事件共有 10 个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)， (S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)， 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1， B3)，(S2，B1)(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)． ∴从中任取 2 人，至少有 1 人学历为研究生的概率为 7 10. (2)由题意，得10 N ＝ 5 39 ，解得 N＝78. ∴35～50 岁中被抽取的人数为 78－48－10＝20， ∴ 48 80＋x ＝20 50 ＝ 10 20＋y ， 解得 x＝40，y＝5. 即 x，y 的值分别为 40,5. 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．某工厂在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量， 决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为 a， b，c，且 a，b，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )． A．800 B．1 000 C．1 200 D．1 500 解析 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占 抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占 总数的三分之一，即为 1 200 双皮靴． 答案 C 2．将参加夏令营的 600 名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法 抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个 营区，从 001 到 300 在第Ⅰ营区，从 301 到 495 在第Ⅱ营区，从 496 到 600 在第 Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )． A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9 解析 由题意知间隔为600 50 ＝12，故抽到的号码为 12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出 不等式可解得：第Ⅰ营区抽 25 人，第Ⅱ营区抽 17 人，第Ⅲ营区抽 8 人． 答案 B 二、填空题 3.200 名职工年龄分布如图所示，从中随机抽 40 名职工作样本，采用系统抽样方 法，按 1～200 编号为 40 组， 分别为 1～5,6～10，…，196～200，第 5 组抽取号码为 22，第 8 组抽取号码为 ______．若采用分层抽样， 40 岁以下年龄段应抽取________人． 解析 将 1～200 编号分为 40 组，则每组的间隔为 5，其中第 5 组抽取号码为 22， 则第 8 组抽取的号码应为 22＋3×5＝37；由已知条件 200 名职工中 40 岁以下的 职工人数为 200×50%＝100，设在 40 岁以下年龄段中抽取 x 人，则 40 200 ＝ x 100 ， 解得 x＝20. 答案 37 20 三、解答题 4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示： 文艺节目 新闻节目 总计 20 至 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 (1)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应 该抽取几名？ (2)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的 概率． 解 (1)应抽取大于 40 岁的观众人数为27 45 ×5＝3 5 ×5＝3(名)． (2)用分层抽样方法抽取的 5 名观众中，20 至 40 岁有 2 名(记为 Y1，Y2)，大于 40 岁有 3 名(记为 A1，A2，A3).5 名观众中任取 2 名，共有 10 种不同取法：Y1Y2，Y1A1， Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3. 设 A 表示随机事件“5 名观众中任取 2 名，恰有 1 名观众年龄为 20 至 40 岁”， 则 A 中的基本事件有 6 种： Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3， 故所求概率为 P(A)＝ 6 10 ＝3 5.