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- 2021-07-01 发布
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海淀区高三年级第二学期阶段性测试
数学
2020春
本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40 分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)在复平面内,复数对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(2)已知集合,,则集合B可以是
(A){1,2}(B){1,3}(C){0,1,2}(D){1,2,3}
(3)已知双曲线的离心率为 ,则b的值为
(A)1(B)2(C)3(D)4
(4)已知实数在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是
(A)(B)(C)(D)
(5)在的展开式中,常数项为
(A)-120(B)120(C)-160(D)160
(6)如图,半径为1的圆M与直线相切于点,圆M沿着直线滚动.当圆M滚动到圆时,圆
与直线相切于点B.点运动到点,线段的长度为,则点到直线的距离为
(A)1(B)(C) (D)
(7)已知函数与函数的图象关于y轴对称.若在区间(1,2)内单调递减,则m的取值范围为
(A)[-1,+∞)(B)(-∞,-1] (C)[-2,+∞)(D)(-∞,-2]
(8)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为
(A)(B)
(C)(D)
(9)若数列满足,则“”是“为等比数列”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(10)形如(n是非负整数)的数称为费马数,记为.数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出,不是质数,那么的位数是
(参考数据; )
(A)9(B)10(C)11(D)12
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)已知点P(1,2)在抛物线C:y2 =2px上,则抛物线C的准线方程为.
(12)在等差数列{an}中,a1=3,a2+a5=16,则数列{an}的前4项的和为.
(13)已知非零向量a,b满足|a|=|a-b|,则(a-b)·b=.
(14)在△ABC中,AB=,∠B=,点D在边BC上,∠ADC=,CD=2,则AD=;
△ACD的面积为.
(15)如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为,给出下列三个结论:
①函数的最大值为12 ;
②函数的图象的对称轴方程为x=9;
③关于x的方程=kx+3最多有5个实数根.
其中,所有正确结论的序号是.
注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分。
三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(16)(本小题共14分)
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,AB=BB1=2BC=2, BC1=,点E为A1C1的中点.
(I)求证:C1B⊥平面ABC:
(II)求二面角A—BC—E的大小.
(17)(本小题共14分)
已知函数.
(I)求的值;
(II)从① ,;②,这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数在上的最小值,并直接写出函数的一个周期.
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分。
(18)(本小题共14分)
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元).
(I)从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;
(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X的分布列和数学期望;
(III)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.
(19)(本小题共15分)
已知函数.
(I)当a=-1时,
①求曲线在点(0,)处的切线方程;
②求函数的最小值:
(II)求证:当a∈(-2,0)时,曲线与y=1-lnx有且只有一个交点.
(20)(本小题共14分)
已知椭圆C:的离心率为,,,,的面积为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线与直线交于点P ,直线与直线交于点Q.求证:为等腰三角形.
(21)(本小题共14分)
已知数列是由正整数组成的无穷数列,若存在常数,使得,对任意的成立,则称数列具有性质.
(Ⅰ)分别判断下列数列是否具有性质;(直接写出结论)
①;②.
(Ⅱ)若数列满足,求证:“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件;
(Ⅲ)已知数列中,且.若数列具有性质,求数列的通项公式.
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