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  • 2021-07-01 发布

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:11

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www.ks5u.com ‎11.4 空间中的垂直关系 ‎11.4.1 直线与平面垂直 ‎[课程目标] 1.了解异面直线所成角的概念,会求一些较特殊的异面直线所成的角;2.掌握直线和平面垂直的定义及相关概念;3.掌握直线和平面垂直的判定定理及判定方法.‎ 知识点一  直线与直线所成的角 ‎[填一填]‎ ‎1.两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.‎ ‎2.如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a′,b′,则a′与b′所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.‎ ‎3.规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°.空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.‎ ‎[答一答]‎ ‎1.求异面直线所成的角的解题思路是什么?‎ 提示:把空间两异面直线通过平移,转化为平面内相交直线所成的角,具体的平移过程应视题而定,主要有以下四种平移途径:①利用三角形的中位线平移;②利用平行线分线段成比例的推论平移;③利用平行四边形平移;④利用补形平移.‎ 知识点二   直线与平面垂直及其判定定理 ‎[填一填]‎ ‎1.直线与平面垂直的定义:‎ ‎(1)文字语言:直线l与平面α内的任意直线都垂直.‎ ‎(2)图形语言:如下图所示.‎ ‎(3)符号语言:∀m⊂α,l⊥m⇔l⊥α.‎ ‎2.直线与平面垂直的判定定理 ‎(1)文字语言:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.‎ ‎(2)图形语言:如下图所示.‎ ‎(3)符号语言:m⊂α,n⊂α,m∩n≠∅,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.‎ ‎[答一答]‎ ‎2.如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,l与α垂直吗?‎ 提示:不一定.若平面内的无数条直线是平行的,则直线l与平面可能平行,也可能垂直,也可能是相交但不垂直,也可能直线l在平面内.‎ ‎3.如果一条直线和平面内的两条直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直吗?为什么?‎ 提示:无法判断这条直线和这个平面是否垂直.因为当这两条直线相交时,由判定定理可知直线和平面垂直;而当这两条直线相互平行时,直线和平面不一定垂直,直线可能在平面内,也可能与平面平行,还可能与平面斜交.‎ ‎4.直线与平面垂直的判定定理的作用是什么?‎ 提示:直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据,体现了相互转化的数学思想,在应用时,应该注意定理条件的完备性.‎ 知识点三  直线与平面垂直的性质 ‎[填一填]‎ 定理内容:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.‎ 符号语言:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.‎ 图形语言:如图所示.‎ 作用:证明两直线平行.‎ ‎[答一答]‎ ‎5.两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面吗?‎ 提示:垂直.因为两条平行线中的一条垂直于这个平面,所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线,所以另一条直线也垂直于这两条相交直线,故另一条也垂直于这个平面.‎ ‎6.分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行?‎ 提示:平行.因为一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面的平行平面,所以这两条直线垂直于同一个平面,所以这两条直线平行.‎ 知识点四  直线与平面垂直的应用 ‎[填一填]‎ ‎1.如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线),称C为斜足.‎ ‎2.如图中,AB是平面α的垂线段,AC是平面α的斜线段,B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.则∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.‎ ‎[答一答]‎ ‎7.求线面角的常用方法有哪些?‎ 提示:(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).‎ ‎(2)转移法(找过点与面平行的线或面).‎ ‎(3)等积法(三棱锥变换顶点,属间接求法).‎ 类型一  异面直线所成的角 ‎[例1] 在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.‎ ‎[解] 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,‎ GF∥CD且GF=CD,‎ 由AB=CD知EG=FG,‎ 从而可知∠GEF为EF与AB所成角,∠EGF或其补角为AB与CD所成角.‎ ‎∵AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°.‎ 由EG=FG知△EFG为等腰三角形,‎ 当∠EGF=30°时,∠GEF=75°,‎ 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°,‎ 故EF与AB所成角的大小为15°或75°.‎ 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.‎ (2)计算角:求角度,常利用三角形.‎ (3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.‎ ‎[变式训练1] 在正方体AC1中,E,F分别是A1B1,B‎1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.‎ 解:如图,连接A‎1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A‎1G,C‎1G.‎ 则OG∥B1D,EF∥A‎1C1.‎ ‎∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.‎ ‎∵GA1=GC1,O为A‎1C1的中点,‎ ‎∴GO⊥A‎1C1.‎ ‎∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.‎ 类型二  直线与平面垂直的判定定理 ‎[例2] 如图所示,已知PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC.‎ ‎[证明] ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.‎ 而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.‎ 又∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.‎ ‎∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.‎ ‎1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线,证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法.‎ ‎2.线线垂直与线面垂直的转化关系 ‎[变式训练2] 如图所示,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M、N分别为AB、PC的中点,‎ 求证:MN⊥平面PCD.‎ 证明:取PD的中点E,连接AE,NE,∵N,E为中点,‎ ‎∴NE为△PCD的中位线,∴NE綉CD.‎ 在矩形ABCD中,AB綉CD,‎ 又∵M为AB的中点,∴AM綉CD.∴AM綉NE,‎ ‎∴四边形AMNE为平行四边形,∴AE∥MN.‎ 又∵△PAD为等腰三角形,E为PD的中点.‎ ‎∴AE⊥PD,∴MN⊥PD.‎ 连接PM、CM,设AD=a,AB=2b,‎ ‎∴PM2=a2+b2,CM2=a2+b2,‎ ‎∴CM=PM,∴MN⊥PC.‎ 又∵PC∩PD=P,∴MN⊥平面PCD.‎ 类型三  直线与平面垂直的性质定理 ‎[例3] 如右图,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,E,F分别为A1D和AC上的点,EF与异面直线AC,A1D均垂直.求证:EF∥BD1.‎ ‎[分析] BD1为正方体的体对角线,连接AB1,B‎1C后可证得BD1⊥平面AB‎1C,只需证EF⊥平面AB‎1C即可.‎ ‎[证明] 连接AB1,B‎1C,BD,B1D1.‎ ‎∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.‎ 又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.‎ 同理可证BD1⊥B‎1C.∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ 又EF与异面直线AC,A1D均垂直,即EF⊥AC,EF⊥A1D.‎ 又A1D∥B‎1C,∴EF⊥B‎1C,‎ ‎∴EF⊥平面AB‎1C,∴EF∥BD1.‎ 正方体、直棱柱、正棱锥、正四面体等特殊的几何体都有明显的几何特征,解题时,要充分挖掘这些几何体的线面关系.如直棱柱的侧棱垂直于底面等.‎ ‎[变式训练3] 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a⊂β,a⊥AB.求证:a∥l.‎ 证明:因为EA⊥α,α∩β=l,‎ 即l⊂α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.‎ 又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.‎ 因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,‎ 又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.‎ 由线面垂直的性质定理,得a∥l.‎ 类型四  直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用 ‎[例4] 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,四边形 ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,E为AB的中点,P为线段CM上的一点.‎ 求证:DE⊥CN.‎ ‎[证明] 连接DB,在菱形ABCD中,‎ AD=AB,∠DAB=60°.‎ ‎∴△ABD为等边三角形.‎ 又∵E为AB的中点,∴DE⊥AB.‎ 又∵AB∥DC,∴DE⊥DC.‎ ‎∵四边形ADNM为矩形,∴DN⊥AD.‎ 又∵平面ADNM⊥平面ABCD,‎ 平面ADNM∩平面ABCD=AD,DN⊂平面ADNM,‎ ‎∴DN⊥平面ABCD,‎ ‎∵DE⊂平面ABCD,∴DN⊥DE.‎ 又∵DE⊥DC,DC∩DN=D,∴DE⊥平面DCN,‎ ‎∵CN⊂平面DCN,∴DE⊥CN.‎ ‎1.线线垂直的证明,常转化为线面垂直来证明,即:把两条直线中一条放在某个平面内,然后证明另一条垂直于这个平面.要证线面垂直,可通过线面垂直的定义及判定定理,体现了→→,解题时要注意这种相互转化关系的合理应用.‎ ‎2.要学会逆向分析的方法,从要证明的结论入手,层层递推,这是解决问题的有效方法.‎ ‎[变式训练4] 已知α∩β=AB,PQ⊥α于Q,PO⊥β于O,OR⊥‎ α于R,求证:QR⊥AB.‎ 证明:‎ 如图,∵α∩β=AB,PO⊥β于O,∴PO⊥AB.‎ ‎∵PQ⊥α于Q,∴PQ⊥AB.‎ ‎∵PO∩PQ=P,∴AB⊥平面PQO.‎ ‎∵OR⊥α于R,∴PQ∥OR.‎ ‎∴PQ与OR确定平面PQRO.‎ 又∵QR⊂平面PQRO,∴QR⊥AB.‎ 类型五  点到平面的距离 ‎[例5] 如图所示,已知P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求P点到平面ABC的距离.‎ ‎[解] 过P作PO⊥平面ABC于O,连接AO、BO、CO.‎ ‎∴PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.‎ ‎∵PA=PB=PC=a,∴△PAO≌△PBO≌△PCO.‎ ‎∴OA=OB=OC,∴O为△ABC的外心.‎ ‎∵PA、PB、PC两两垂直,‎ ‎∴AB=BC=CA=a,△ABC为正三角形,‎ ‎∴AO=AB=a,∴PO==a.‎ 因此点P到平面ABC的距离为a.‎ ‎1.求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离,然后使所求距离在某一个三角形中,最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.‎ ‎2.求距离问题转化成解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识.‎ ‎[变式训练5] 已知:线段AB的中点为O,O∈平面α.求证:A,B两点到平面α的距离相等.‎ 证明:(1)当线段AB⊂平面α时,显然A,B到平面α的距离均为0,相等.‎ ‎(2)当AB⊄平面α时,如图,分别过点A,B作平面α的垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1,BB1分别是点A、点B到平面α的距离,且AA1∥BB1.所以AA1与BB1确定一个平面,设为β,则α∩β=A1B1.因为O∈AB,AB⊂β,所以O∈β.‎ 又因为O∈α,所以O∈A1B1.所以∠AOA1=∠BOB1.‎ 又AA1⊥A1O,BB1⊥B1O,AO=BO.‎ 所以Rt△AA1O≌Rt△BB1O.所以AA1=BB1,‎ 综上,A,B两点到平面α的距离相等.‎ ‎1.在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,与棱AA1互相垂直的棱的条数为( C )‎ A.4 B.6‎ C.8 D.10‎ 解析:∵AA1⊥平面ABCD,AA1⊥平面A1B‎1C1D1,∴与AA1垂直的棱共有8条.‎ ‎2.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( C )‎ A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直 B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 C.β内不一定存在直线与m平行,必存在直线与m垂直 D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 解析:因为平面α与平面β相交,直线m⊥α,所以m垂直于两平面的交线,所以β内不一定存在直线与m平行,必存在直线与m垂直.‎ ‎3.在三棱锥PABC中,若PA=PB=PC,则顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的( B )‎ A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析:如图,作PO⊥平面ABC,‎ ‎∵PA=PB=PC,‎ 易证△AOP,△BOP,△COP全等,‎ ‎∴OA=OB=OC.‎ ‎4.如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥平面⊙O,C为圆周上一点,AB=‎5 cm,AC=‎2 cm,‎ 则B到平面PAC的距离为 cm.‎ 解析:∵C为圆周上的一点,AB为直径,∴BC⊥AC.‎ 又∵PA⊥平面⊙O,BC⊂平面⊙O,∴PA⊥BC.‎ 又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,C为垂足,‎ ‎∴BC即为B到平面PAC的距离.‎ 在Rt△ABC中,BC===(cm).‎