【数学】2018届一轮复习北师大版专题12计数原理学案 26页

易错点1 分类计数时考虑不全 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？‎ ‎【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；‎ 每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；‎ 每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，‎ 根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种． ‎ ‎【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．‎ ‎【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号；‎ 每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；‎ 每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．‎ 根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．‎ ‎【参考答案】39种.‎ ‎1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:‎ ‎(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;‎ ‎(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;‎ ‎(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.‎ ‎2．使用分类加法计数原理遵循的原则：‎ 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．‎ ‎3．应用分类加法计数原理要注意的问题：‎ ‎（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．‎ ‎（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．‎ ‎（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．‎ ‎1．某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3趟,则此人的走法可有_________种. ‎ ‎【答案】7‎ 易错点2 未选准分步依据 将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？‎ ‎【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；‎ 同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法. ‎ 根据分步乘法计数原理，共有种不同的投法.‎ ‎【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.‎ ‎【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;‎ 同理，第2，3，4封信各有3种投法.‎ 根据分步乘法计数原理，共有种投法.‎ ‎【参考答案】81种.‎ 对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理 解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法.‎ ‎1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:‎ ‎（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;‎ ‎（2）完成每一步有若干方法;‎ ‎（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.‎ ‎2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：‎ ‎（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．‎ ‎（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．‎ ‎（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．‎ ‎2．数字0,1,2,3,4可以组成(    )个无重复数字的五位数.‎ A．96 B．120‎ C．625 D．1024‎ ‎【答案】A 常见的组数问题及解题原则：‎ ‎(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．‎ ‎(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．‎ ‎ 易错点3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件 解不等式.‎ ‎【错解】由排列数公式得，化简得x2－19x＋84<0，解之得70，8≥x，导致错误．‎ ‎【试题解析】由，得，‎ 化简得x2－19x＋84<0，解之得7