2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 再练一课(范围：6.2.1～6.2.4) 5页

再练一课(范围：6.2.1～6.2.4) 1.在平行四边形 ABCD 中，AB→＋CA→＋BD→ 等于( ) A.AB→ B.BD→ C.BC→ D.CD→ 答案 D 解析 AB→＋CA→＋BD→ ＝(AB→＋BD→ )＋CA→＝AD→ ＋CA→＝CA→＋AD→ ＝CD→ . 2.已知|a|＝3，|b|＝4，且 a 与 b 的夹角θ＝150°，则 a·b 等于( ) A.－6 B.6 C.－6 3 D.6 3 答案 C 3.已知 A，B，D 三点共线，且对任一点 C，有CD→ ＝4 3CA→＋λCB→，则λ等于( ) A.2 3 B.1 3 C.－1 3 D.－2 3 答案 C 解析 ∵A，B，D 三点共线， ∴4 3 ＋λ＝1，∴λ＝－1 3. 4.如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则OP→ ＋OQ→ 等于( ) A.OH→ B.OG→ C.FO→ D.EO→ 答案 C 解析 设 a＝OP→ ＋OQ→ ，利用平行四边形法则作出向量OP→ ＋OQ→ ，再平移即发现 a＝FO→ . 5.设非零向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则 a 与 b 的夹角θ为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 答案 B 解析 由|a|＝|b|＝|c|且 a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2⇒ 2|a|·|b|·cos θ＝－|a|2⇒cos θ＝－1 2 ⇒θ＝120°. 6.若 2 y－1 3a －1 3(c＋b－3y)＋b＝0，其中 a，b，c 为已知向量，则未知向量 y＝______. 答案 2 9a－2 9b＋1 9c 解析 因为 2 y－1 3a －1 3(c＋b－3y)＋b＝0， 所以 3y－2 3a＋2 3b－1 3c＝0，所以 y＝2 9a－2 9b＋1 9c. 7.已知 O 是四边形 ABCD 所在平面内的一点，且OA→ ，OB→ ，OC→ ，OD→ 满足等式OA→ ＋OC→ ＝OB→ ＋ OD→ ，则四边形 ABCD 是____. 答案 平行四边形 解析 OA→ ＋OC→ ＝OB→ ＋OD→ ， ∴OA→ －OB→ ＝OD→ －OC→ ， ∴BA→＝CD→ ， 则 BA＝CD 且 BA∥CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 8.如图，在△ABC 中，若 AB＝AC＝3，cos∠BAC＝1 2 ，DC→ ＝2BD→ ，则AD→ ·BC→＝________. 答案 －3 2 解析 根据条件： AD→ ＝AB→＋BD→ ＝AB→＋1 3BC→＝AB→＋1 3(AC→－AB→) ＝2 3AB→＋1 3AC→； 所以AD→ ·BC→＝ 2 3AB→＋1 3AC→ ·(AC→－AB→) ＝1 3AB→·AC→－2 3AB→ 2＋1 3AC→ 2 ＝1 3 ×3×3×1 2 －2 3 ×9＋1 3 ×9＝－3 2. 9.已知向量 a，b 满足(2a＋b)·(a－b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，求 a 与 b 的夹角. 解 设 a 与 b 的夹角为θ，依题意有：(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝7－2cos θ＝6，所以 cos θ＝1 2 ， 因为 0≤θ≤π，故θ＝π 3. 10.已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为π 3 ，求|a＋b|，|a－b|. 解 a·b＝|a||b|cosπ 3 ＝5×5×1 2 ＝25 2 . |a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 25＋2×25 2 ＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a·b＋|b|2 ＝ 25－2×25 2 ＋25＝5. 11.如图所示，O 为线段 A0A201 外一点，若 A0，A1，A2，A3，…，A201 中任意相邻两点间的距 离相等，OA0 → ＝a，OA201＝b，用 a，b 表示OA0 → ＋OA1 → ＋OA2 → ＋…＋OA201 —→ ，其结果为( ) A.100(a＋b) B.101(a＋b) C.201(a＋b) D.202(a＋b) 答案 B 解析 设 A0A201 的中点为 A，则 A 也是 A1A200，…，A100A101 的中点，可得OA0 → ＋OA201 —→ ＝2OA→ ＝ a＋b，同理可得，OA1 → ＋OA200 —→ ＝OA2 → ＋OA199 —→ ＝…＝OA100 —→ ＋OA101 —→ ＝a＋b，故OA0 → ＋OA1 → ＋OA2 → ＋… ＋OA201 —→ ＝101×2OA→ ＝101(a＋b). 12.已知向量 a 的终点与向量 b 的起点重合，向量 c 的起点与向量 b 的终点重合，则下列结论 正确的为________.(填序号) ①以 a 的起点为终点，c 的起点为起点的向量为－(a＋b)； ②以 a 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为－a－b－c； ③以 b 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为－b－c. 答案 ①②③ 解析 根据题意画出图形如图所示，可知：以 a 的起点为终点，c 的起点为起点的向量为－(a ＋b)，①正确；以 a 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正 确；以 b 的起点为终点，c 的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确. 13.设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a＝2m＋n 与 b＝2n－3m 的夹角. 解 ∵|n|＝|m|＝1 且 m 与 n 的夹角是 60°， ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×1 2 ＝1 2. |a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2＝ 4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×1 2 ＝ 7， |b|＝|2n－3m|＝ 2n－3m2 ＝ 4×1＋9×1－12m·n ＝ 4×1＋9×1－12×1 2 ＝ 7， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2 ＝1 2 －6×1＋2×1＝－7 2. 设 a 与 b 的夹角为θ， 则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －7 2 7× 7 ＝－1 2. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π 3 ，故 a 与 b 的夹角为2π 3 . 14.如图所示，半圆的直径 AB＝6，点 C 是半圆上的一点，D，E 分别是 AB，BC 上的点，且 AD＝1，BE＝4，DE＝3. (1)求证：向量AC→∥DE→ ； (2)求|AC→|. (1)证明 由题意知，在△BED 中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，∴∠DEB＝90°.又点 C 为半圆 上一点，AB 为直径， ∴∠ACB＝90°，∴AC∥DE，∴AC→∥DE→ . (2)解 由(1)知 AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴AC DE ＝AB BD ，即AC 3 ＝6 5 ，∴AC＝18 5 ，即|AC→|＝18 5 . 15.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量 a 在向量 a＋b 方向上的投影向量的模为 ________. 答案 10 13 13 解析 (2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得 a·b＝－6，∴|a＋ b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13， ∴|a＋b|＝ 13， 设 a 与 a＋b 的夹角为θ， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10， ∴cos θ＝a·a＋b |a||a＋b| ＝ 10 4× 13 ＝ 5 2 13 ， 则 a 在 a＋b 方向上的投影向量的模为|a|cos θ＝4× 5 2 13 ＝10 13 13 . 16.在 Rt△ABC 中，斜边 BC＝a，PQ 是以点 A 为圆心，a 为半径的圆上的一条直径，向量PQ→ 与BC→的夹角为θ.当θ取何值时，BP→·CQ→ 有最大值，并求此最大值. 解 BP→·CQ→ ＝(BA→＋AP→)·(CA→＋AQ→ ) ＝ BA→－1 2PQ→ · CA→＋1 2PQ→ ＝BA→·CA→＋1 2(BA→－CA→)·PQ→ －1 4PQ→ ·PQ→ ＝0＋1 2BC→·PQ→ －a2 ＝1 2|BC→|·|PQ→ |cos θ－a2＝a2(cos θ－1)， 当θ＝0°，即PQ→ 和BC→同方向时，BP→·CQ→ 有最大值 0.