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- 2021-07-01 发布
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第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”.
(2)命题p且q,p或q,﹁p的真假判断
p
q
p且q
p或q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词.
(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题.
3.存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词.
(2)含有存在量词的命题,叫作特称命题.
4.全称命题和特称命题的否定
命题
命题的否定
任意x∈M,p(x)
存在x∈M,﹁p(x)
存在x∈M,p(x)
任意x∈M,﹁p(x)
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题﹁(p且q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是假命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( )
[解析] (1)错误.命题p或q中,p,q有一真则真.
(2)错误.p且q是真命题,则p,q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”,是全称命题.
(4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角不相等”.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题﹁p,﹁q,p或q,p且q中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B [p和q显然都是真命题,所以﹁p,﹁q都是假命题,p或q,p且q都是真命题.]
3.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:存在n∈N,n2>2n,则﹁p为( )
A.任意n∈N,n2>2n B.存在n∈N,n2≤2n
C.任意n∈N,n2≤2n D.存在n∈N,n2=2n
C [因为“存在x∈M,p(x)”的否定是“任意x∈M,﹁p(x)”,所以命题“存在n∈N,n2>2n”的否定是“任意n∈N,n2≤2n”.故选C.]
4.(2017·西安模拟)下列命题中的假命题是( )
A.存在x∈R,lg x=0 B.存在x∈R,tan x=1
C.任意x∈R,x3>0 D.任意x∈R,2x>0
C [对于A,当x=1时,lg x=0,正确;对于B,当x=时,tan x=1,正确;对于C,当x<0时,x3<0,错误;对于D,任意x∈R,2x>0,正确.]
5.若命题“任意x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.
【导学号:57962015】
[-8,0] [当a=0时,不等式显然成立.
当a≠0时,依题意知
解得-8≤a<0.
综上可知-8≤a≤0.]
含有逻辑联结词的命题的真假判断
设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
【导学号:57962016】
A.p或q B.p且q
C.(﹁p)且(﹁q) D.p且(﹁q)
A [取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,∴p是假命题.
a,b,c是非零向量,
由a∥b知a=xb,由b∥c知b=yc,
∴a=xyc,∴a∥c,∴q是真命题.
综上知p或q是真命题,p且q是假命题.
又∵﹁p为真命题,﹁q为假命题,
∴(﹁p)且(﹁q),p且(﹁q)都是假命题.]
[规律方法] 1.“p或q”“p且q”“﹁p”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤是:(1)明确其构成形式;(2)判断其中命题p,q的真假;(3)确定“p或q”“p且q”“﹁p”形式的命题的真假.
2.p且q形式是“一假必假,全真才真”,p或q形式是“一真必真,全假才假”,非p则是“与p的真假相反”.
[变式训练1] (2017·石家庄一模)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A.p或q B.p且q
C.q D.﹁p
B [取x=,y=,可知命题p不正确;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q正确.
故﹁p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.]
全称命题、特称命题
☞角度1 含有一个量词的命题的否定
(2015·浙江高考)命题“任意n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.任意n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.任意n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.存在n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
D.存在n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
D [写全称命题的否定时,要把量词任意改为存在,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.]
角度2 全称命题、特称命题的真假判断
(2014·全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D,有下面四个命题:
p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2;
p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2;
p3:任意(x,y)∈D,x+2y≤3;
p4:存在(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3
C [作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).
由
得交点A(2,-1).
目标函数的斜率k=->-1,
观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A
时取得最小值0y=-+,表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.]
[规律方法] 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.
3.要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.只要找到一个反例,则该命题为假命题.
由命题的真假求参数的取值范围
(1)已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,3)
C.(-3,+∞) D.(-3,1)
(2)已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
(1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,为真命题,
则Δ=(a-1)2-4×2×<0,
则-2<a-1<2,则-1<a<3.
(2)依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,任意x∈R,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.
因此,由p,q均为假命题得即m≥2.]
[规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤:
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况).
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围.
(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
[变式训练2] (2017·济南调研)若“任意x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
1 [∵0≤x≤,∴0≤tan x≤1,
由“任意x∈,tan x≤m”是真命题,得m≥1.
故实数m的最小值为1.]
[思想与方法]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼,要结合语句的含义理解.
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p或q→见真即真,p且q→见假即假,p与﹁p→真假相反.
3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.
[易错与防范]
1.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“﹁p”,只否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假相反,即两者中有且只有一个为真.
2.几点注意
(1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提;
(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定;
(3)由逻辑联结词构成的新命题的否定.
①﹁(p且q)⇔(﹁p)或(﹁q);②﹁(p或q)⇔(﹁p)且(﹁p).