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- 2021-07-01 发布
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2007年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设集合U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 3}，B={2, 3, 4}，则(∁UA)∩(∁UB)=( )
A.{1} B.{5} C.{2, 4} D.{1, 2, 3, 4}
2. 若函数y=f(x)的反函数图象过点(1, 5)，则函数y=f(x)的图象必过点（ ）
A.(1, 1) B.(1, 5) C.(5, 1) D.(5, 5)
3. 若向量a→与b→不共线，a→⋅b→≠0，且c→=a→-(a→⋅b→˙)b→，则向量a→与c→的夹角为（ ）
A.0 B.π6 C.π3 D.π2
4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27
5. 若θ∈(34π，54π)，则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6. 若函数y=f(x)的图象按向量a→平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象，则向量a→=( )
A.(-1, -2) B.(1, -2) C.(-1, 2) D.(1, 2)
7. 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ=m，β∩γ=n，m // n，则α // β
C.若α⊥γ，α⊥β，则β // γ
D.若m⊥β，m // α，则α⊥β
8. 已知变量x，y满足约束条件x-y+2≤0x≥1x+y-7≤0 ，则yx的取值范围是（ ）
A.[95,6] B.(-∞,95]∪[6,+∞)
C.(-∞, 3]∪[6, +∞) D.[3, 6]
9. 一个坛子里有编号为1，2，⋯，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是( )
A.122 B.111 C.322 D.211
10. 设p，q是两个命题：p：log12(|x|-3)>0，q：x2-56x+16>0，则p是q的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
11. 设P为双曲线x2-y212=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|:|PF2|=3:2，则△PF1F2的面积为（ ）
A.63 B.12 C.123 D.24
12. 已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A.0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值
B.0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值
C.0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值
D.0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 已知函数f(x)=acosx(x≥0)x2-1(x<0)在点x=0处连续，则a=________．
14. 设椭圆x225+y216=1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足OM→=12(OP→+OF→)，则|OM→|=________．
15. 若一个底面边长为62，棱长为6
6 / 6
的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．
16. 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai(i=1, 2,…,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a10）.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x)，x∈(a, a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f(x)，x∈R的单调增区间．
18. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M-DE-A为30∘．
（1）证明：A1B1⊥C1D；
（2）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．
19. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为C=q33-3q2+20q+10(q>0)．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：
市场情形
概率
价格p与产量q的函数关系式
好
0.4
p=164-3q
中
0.4
p=101-3q
差
0.2
p=70-3q
设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξq，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．
（1）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；
（2）当产量q确定时，求期望Eξq，试问产量q取何值时，Eξq取得最大值．
6 / 6
20. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）
（1）求圆C的方程；
（2）设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE→⋅CF→的最大值和最小值．
21. 已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R满足条件：an=bn，f(bn)=g(bn+1)(n∈N*)．
（1）若f(x)≥tx+1，t≠0，t≠2，g(x)=2x，f(b)≠g(b)，limn→∞an存在，求x的取值范围；
（2）若函数y=f(x)为R上的增函数，g(x)=f-1(x)，b=1，f(1)<1，证明对任意n∈N*，an+1<an（用t表示）．
22. 已知函数f(x)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1，g(x)=12f'(x)．
（1）证明：当t<22时，g(x)在R上是增函数；
（2）对于给定的闭区间[a, b]，试说明存在实数k，当t>k时，g(x)在闭区间[a, b]上是减函数；
（3）证明：f(x)≥32．
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参考答案与试题解析
2007年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.B
2.C
3.D
4.B
5.B
6.A
7.D
8.A
9.D
10.A
11.B
12.C
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.-1
14.2
15.43π
16.30
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)f(x)=32sinωx+12cosωx+32sinωx-12cosωx-(cosωx+1)
=232sinωx-12cosωx-1
=2sinωx-π6-1
由-1≤sin(ωx-π6)≤1，
得-3≤2sin(ωx-π6)-1≤1，
可知函数f(x)的值域为[-3, 1]；
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，
y=f(x)的周期为π，
又由ω>0，得2πω=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x-π6)-1.
再由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，
所以y=f(x)的单调增区间为[kπ-π6，kπ+π3](k∈Z).
18.解：（1）证明：连接CD，
三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴ CC1⊥平面ABC，∴ CD为C1D在平面ABC内的射影．∵ △ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴ AB⊥CD，∴ AB⊥C1D∵ A1B1 // AB，∴ A1B1⊥C1D
（2）解：过点A作CE的平行线，
交ED的延长线于F，连接MF∵ D，E分别为AB，BC的中点，∴ DE // AC
又∵ AF // CE，CE⊥AC∴ AF⊥DE∵ MA⊥平面ABC，∴ AF为MF在平面ABC内的射影∴ MF⊥DE∴ ∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA=30∘
在Rt△MAF中，AF=12BC=a2，∠MFA=30∘，∴ AM=36a
6 / 6
作AG⊥MF，垂足为G，∵ MF⊥DE，AF⊥DE，∴ DE⊥平面AMF，∵ 平面MDE⊥平面AMF，∴ AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA=30∘，AF=a2，∴ AG=a4，即A到平面MDE的距离为a4∵ CA // DE，∴ CA // 平面MDE，∴ C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为a4．
19.解：（1）根据所给的表格中的数据和题意写出
L1=(164-3q)⋅q-(q33-3q2+20q+10)
=-q33+144q-10(q>0)．
同理可得L2=-q33+81q-10(q>0)．
L3=-q33+50q-10(q>0)．
（2）由期望定义可知Eξq=0.4L1+0.4L2+0.2L3
=0.4*(-q33+144q-10)+0.4*(-q33+81q-10)+0.28*(-q33+50q-10)
=-q33+100q-10．
可知Eξq是产量q的函数，设f(q)=Eξq=-q33+100q-10(q>0)，
得f'(q)=-q2+100．令f'(q)=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f(q)取得最大值，即Eξq最大时的产量为10．
20.解：（1）解法一：设A，B两点坐标分别为(y122，y1)，(y222，y2)，
由题设知(y122)2+y22=(y122)2+y22=(y122-y222)2+(y1-y2)2
解得y12=y22=12，
所以A(6,23)，B(6,-23)或A(6,-23)，B(6,23)．
设圆心C的坐标为(r, 0)，则r=23×6=4，
所以圆C的方程为(x-4)2+y2=16．
解法二：设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，由题设知x12+y12=x22+y22
又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即(x1-x2)(x1+x2+2)=0
由x1>0，x2>0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上
设C点的坐标为(r, 0)，则A点坐标为(34r，32r)，于是有(32r)2=2×32r，
解得r=4，
所以圆C的方程为(x-4)2+y2=16．
（2）解：设∠ECF=2α，则CE→⋅CF→=|CE→|⋅|CF→|⋅cos2α=16cos2α=32cos2α-16．
在Rt△PCE中，cosα=x|PC|=4|PC|，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，
所以12≤cosα≤23，由此可得-8≤CE→⋅CF→≤-169．
则CE→⋅CF→的最大值为-169，最小值为-8．
21.解：（1）由题设知an+1=tbn+1+1an=2bn+1，得an+1=t2an+1．
又已知t≠2，可得an+1+2t-2=t2(an+2t-2)．
由t≠0，t≠2，f(b)≠g(b)，可知a1+2t-2=tb+tt-2≠0，t2≠0，
所以{an+2t-2}是等比数列，其首项为tb+2t-2，公比为t2．
于是an+2t-2=(tb+2t-2)(t2)n-1，即an=(tb+2t-2)(t2)n-1-2t-2．
又limn→∞an存在，可得0<|t2|<1，所以-20．由此可知，g(x)在R上是增函数．
（2）因为g'(x)<0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t>k时g'(x)=2e2x-tex+1<0，即t>2ex+e-x在闭区间[a, b]上成立即可．因为y=2ex+e-x在闭区间[a, b]上连续，故在闭区间[a, b]上有最大值，设其为k，于是在t>k时，g'(x)<0在闭区间[a, b]上恒成立，即g(x)在闭区间[a, b]上为减函数．
（3）设F(t)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1，即F(t)=2(t-ex+x2)2+12(ex-x)2+1，
易得F(t)≥12(ex-x)2+1．令H(x)=ex-x，则H'(x)=ex-1，易知H'(0)=0．当x>0时，H'(0)>0；当x<0时，H'(0)<0．故当x=0时，H(x)取最小值，H(0)=1．所以12(ex-x)2+1≥32，
于是对任意的x，t，都有F(t)≥32，即f(x)≥32．
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