2020版高中数学 第三章 不等式同步精选测试  7页

同步精选测试　不等式的实际应用 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本.如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是(　　)‎ A.2　　　　B‎.3　‎　　　C.4　　　　D.5‎ ‎【解析】　设这种书的最高定价应当为x元，‎ 由题意得：80 000－×2 000×x≥200 000，‎ 解得≤x≤4，所以最高定价为4元.‎ ‎【答案】　C ‎2.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图343所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大(　　)‎ 图343‎ A.3 B.4‎ C.5 D.6‎ ‎【解析】　设y＝a(x－6)2＋11，将(4,7)代入求得a＝－1，‎ ‎∴平均利润为：＝＝－x－＋12≤－2×5＋12＝2，‎ 当x＝，即x＝5时，等号成立.‎ ‎【答案】　C ‎3.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤20，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t满足(　　)‎ A.15≤t≤20 B.10≤t≤15‎ C.10＜t＜15 D.0＜t≤10‎ 7‎ ‎【解析】　由题意知日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10 ≤t≤15.‎ ‎【答案】　B ‎4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　) ‎ ‎【导学号：18082117】‎ A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 ‎【解析】　记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80件(x＞0)时，f(x)取最小值，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎5.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　)‎ A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 ‎【解析】　设销售价定为每件x元，利润为y，则：‎ y＝(x－8)[100－10(x－10)]，‎ 依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，‎ 解得12＜x＜16，‎ 所以每件销售价应为12元到16元之间.‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎6.某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：18082118】‎ ‎【解析】　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则 7‎ y＝2 400×t%＝60(8t－t2).‎ 令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.‎ ‎【答案】　[3,5]‎ ‎7.现有含盐7%的食盐水‎200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________.‎ ‎【解析】　依题意，得5%＜＜6%，‎ 解得x的范围是(100,400).‎ ‎【答案】　(100,400)‎ ‎8.如图344，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是______dm2.‎ 图344‎ ‎【解析】　设阴影部分的高为 x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.‎ 由题意，得y＝(x＋4)－72‎ ‎＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2).‎ 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立.‎ ‎【答案】　56‎ 三、解答题 ‎9.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100×元.‎ ‎(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；‎ ‎(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.‎ ‎【解】　(1)根据题意，‎ 7‎ ‎200≥3 000，‎ 整理得5x－14－≥0，‎ 即5x2－14x－3≥0，‎ 又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.‎ 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10].‎ ‎(2)设利润为y元，则 y＝·100 ‎＝9×104 ‎＝9×104，‎ 故x＝6时，ymax＝457 500元.‎ 即甲厂以‎6千克/小时的生产速度生产‎900千克 该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元.‎ ‎10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为‎900 m2‎的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔‎1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留‎1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留‎3 m宽的通道，如图345.设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).‎ 图345‎ ‎(1)求S关于x的函数关系式；‎ ‎(2)求S的最大值. ‎ ‎【导学号：18082119】‎ ‎【解】　(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450).‎ ‎(2)因为8＜x＜450，‎ 所以2x＋≥2＝240.‎ 当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.‎ 故当矩形温室的室内长为‎60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为‎676 m2‎.‎ 7‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.在如图346所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于‎300 m2‎的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)‎ 图346‎ A.[15,20] B.[12,25]‎ C.[10,30] D.[20,30]‎ ‎【解析】　设矩形的另一边长为y m，‎ 则由三角形相似知，＝，‎ ‎∴y＝40－x.‎ ‎∵xy≥300，‎ ‎∴x(40－x)≥300，‎ ‎∴x2－40x＋300≤0，‎ ‎∴10≤x≤30.‎ ‎【答案】　C ‎2.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站‎10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)‎ A‎.5 km处 B‎.4 km处 C‎.3 km处 D‎.2 km处 ‎【解析】　设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立.‎ ‎【答案】　A ‎3.有纯农药液一桶，倒出‎8升后用水补满，然后又倒出‎4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________.‎ ‎【解析】　设桶的容积为x升，那么第一次倒出‎8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为.‎ 7‎ 第二次又倒出‎4升药液，则倒出的纯农药液为升，‎ 此时桶内有纯农药液升.‎ 依题意，得(x－8)－≤28%·x.‎ 由于x＞0，因而原不等式化简为 ‎9x2－150x＋400≤0，‎ 即(3x－10)(3x－40)≤0.‎ 解得≤x≤.‎ 又∵x＞8，∴8＜x≤.‎ ‎【答案】　 ‎4.如图347所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝‎3米，AD＝‎2米.‎ 图347‎ ‎(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？‎ ‎(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值. ‎ ‎【导学号：18082120】‎ ‎【解】　(1)设DN的长为x(x＞0)米，‎ 则|AN|＝(x＋2)米.‎ ‎∵＝，∴|AM|＝，‎ ‎∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.‎ 由S矩形AMPN＞32，得＞32.‎ 又由x＞0，得3x2－20x＋12＞0，‎ 解得0＜x＜或x＞6.‎ 即DN的长的取值范围是∪(6，＋∞).‎ 7‎ ‎(2)由(1)知，矩形花坛AMPN的面积为 S矩形AMPN＝＝ ‎＝3x＋＋12(x＞0)≥2＋12＝24.‎ 当且仅当3x＝，即x＝2时，矩形花坛的面积最小为‎24平方米.‎ 7‎