2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ） 27页

2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）设集合 A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（　　） A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 2．（5 分）若 z=4+3i，则 =（　　） A．1 B．﹣1 C． + i D． ﹣ i 3．（5 分）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最 高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃， B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃，下面叙述不正确的是（　　） A．各月的平均最低气温都在 0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 5．（5 分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M， I，N 中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次 密码能够成功开机的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（5 分）若 tanθ=﹣ ，则 cos2θ=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 7．（5 分）已知 a= ，b= ，c= ，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 8．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（5 分）在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 sinA=（　　） A． B． C． D． 10．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三 视图，则该多面体的表面积为（　　） A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 11．（5 分）在封闭的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB⊥BC， AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（　　） A．4π B． C．6π D． 12．（5 分）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左焦点， A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线 段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 　 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+3y﹣5 的最小值 为　　． 14．（5 分）函数 y=sinx﹣ cosx 的图象可由函数 y=2sinx 的图象至少向右平移　　 个单位长度得到． 15．（5 分）已知直线 l：x﹣ y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分 别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点．则|CD|=　　． 16．（5 分）已知 f（x）为偶函数，当 x≤0 时，f（x）=e ﹣x﹣1﹣x，则曲线 y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是　　． 　 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 ．（ 12 分 ） 已 知 各 项 都为 正 数 的 数 列 {an} 满 足 a1=1 ， an2﹣ （ 2an+1﹣1 ） an﹣2an+1=0． （1）求 a2，a3； （2）求{an}的通项公式． 18．（12 分）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨） 的折线图． 注：年份代码 1﹣7 分别对应年份 2008﹣2014． （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以 证明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾 无害化处理量． 附注： 参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， ≈2.646． 参考公式：r= ， 回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = ﹣ ． 19 ．（ 12 分 ） 如 图 ， 四 棱 锥 P﹣ABCD 中 ， PA ⊥ 底 面 ABCD ， AD ∥ BC ， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点． （Ⅰ）证明 MN∥平面 PAB； （Ⅱ）求四面体 N﹣BCM 的体积． 20．（12 分）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分 别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． （Ⅰ）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 21．（12 分）设函数 f（x）=lnx﹣x+1． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）证明当 x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x； （3）设 c＞1，证明当 x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx． 　 请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，⊙O 中 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OG⊥CD． 　 [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方 程为 ρsin（θ+ ）=2 ． （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标． 　 [选修 4-5：不等式选讲] 24．已知函数 f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）设函数 g（x）=|2x﹣1|，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范 围． 　 2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）设集合 A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB= （　　） A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 【分析】直接利用集合的交、并、补的运算法则求解即可． 【解答】解：集合 A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁ AB={0，2，6， 10}． 故选：C． 　 2．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）若 z=4+3i，则 =（　　） A．1 B．﹣1 C． + i D． ﹣ i 【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可． 【解答】解：z=4+3i，则 = = = ﹣ i． 故选：D． 　 3．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【分析】根据向量 的坐标便可求出 ，及 的值，从而根 据向量夹角余弦公式即可求出 cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值． 【解答】解： ， ； ∴ ； 又 0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选 A． 　 4．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了 一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中 A 点表示十月的平均最 高气温约为 15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃，下面叙述不正确的是 （　　） A．各月的平均最低气温都在 0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在 0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在 10°左右，一月的平均温差在 5°左右，故七月的平均 温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为 10°，正确 D．平均最高气温高于 20℃的月份有 7，8 两个月，故 D 错误， 故选：D 　 5．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只 记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1，2，3，4，5 中的一个数字， 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列举出从 M，I，N 中任取一个字母，再从 1，2，3，4，5 中任取一个 数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案． 【解答】解：从 M，I，N 中任取一个字母，再从 1，2，3，4，5 中任取一个数 字，取法总数为： （M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I， 4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共 15 种． 其中只有一个是小敏的密码前两位． 由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ． 故选：C． 　 6．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）若 tanθ=﹣ ，则 cos2θ=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 【分析】展开二倍角的余弦，进一步转化为含有 tanθ 的代数式得答案． 【解答】解：由 tanθ=﹣ ，得 cos2θ=cos2θ﹣sin2θ = = ． 故选：D． 　 7．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）已知 a= ，b= ，c= ，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【分析】b= = ，c= = ，结合幂函数的单调性，可比较 a，b，c，进而 得到答案． 【解答】解：∵a= = ， b= ， c= = ， 综上可得：b＜a＜c， 故选 A 　 8．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输 出的 n=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b， s，n 的值，当 s=20 时满足条件 s＞16，退出循环，输出 n 的值为 4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件 s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件 s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件 s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件 s＞16，退出循环，输出 n 的值为 4． 故选：B． 　 9．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 sinA= （　　） A． B． C． D． 【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出 AB，AC，再由三角形面积公 式，可得 sinA． 【解答】解：∵在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC， ∴AB= BC， 由余弦定理得：AC= = = BC， 故 BC• BC= AB•AC•sinA= • BC• BC•sinA， ∴sinA= ， 故选：D 　 10．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出 的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　） A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱， 进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱 柱， 其底面面积为：3×6=18， 前后侧面的面积为：3×6×2=36， 左右侧面的面积为：3× ×2=18 ， 故棱柱的表面积为：18+36+9 =54+18 ． 故选：B． 　 11．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（　　） A．4π B． C．6π D． 【分析】根据已知可得直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为 ，代入球的体积 公式，可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10． 故三角形 ABC 的内切圆半径 r= =2， 又由 AA1=3， 故直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为 ， 此时 V 的最大值 = ， 故选：B 　 12．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： + =1（a＞ b＞0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中 点，则 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 y=k（x+a），分别 令 x=﹣c，x=0，可得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点 共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设 F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0）， 令 x=﹣c，代入椭圆方程可得 y=±b =± ， 可得 P（﹣c，± ）， 设直线 AE 的方程为 y=k（x+a）， 令 x=﹣c，可得 M（﹣c，k（a﹣c）），令 x=0，可得 E（0，ka）， 设 OE 的中点为 H，可得 H（0， ）， 由 B，H，M 三点共线，可得 kBH=kBM， 即为 = ， 化简可得 = ，即为 a=3c， 可得 e= = ． 故选：A． 　 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 ．（ 5 分 ）（ 2016• 新 课 标 Ⅲ ） 设 x ， y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=2x+3y﹣5 的最小值为　﹣10　． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得 到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， ∰ 联立 ，解得 ，即 A（﹣1，﹣1）． 化目标函数 z=2x+3y﹣5 为 ． 由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值 为 2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10． 故答案为：﹣10． 　 14．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）函数 y=sinx﹣ cosx 的图象可由函数 y=2sinx 的 图象至少向右平移　 　个单位长度得到． 【分析】令 f（x）=2sinx，则 f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得 2sin（x﹣φ） =2sin（x﹣ ），由﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z），可得答案． 【解答】解：∵y=sinx﹣ cosx=2sin（x﹣ ）， 令 f（x）=2sinx， 则 f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0）， 依题意可得 2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣ ）， 故﹣φ=2kπ﹣ （k∈Z）， 即 φ=﹣2kπ+ （k∈Z）， 当 k=0 时，正数 φmin= ， 故答案为： ． 　 15．（5 分）（2016•新课标Ⅲ）已知直线 l：x﹣ y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点．则|CD|=　4　． 【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可． 【解答】解：由题意，圆心到直线的距离 d= =3， ∴|AB|=2 =2 ， ∵直线 l：x﹣ y+6=0 ∴直线 l 的倾斜角为 30°， ∵过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点， ∴|CD|= =4． 故答案为：4． 　 16 ．（5 分）（2016• 新课标Ⅲ ）已知 f （x ）为偶函数，当 x ≤0 时，f （x ） =e﹣x﹣1﹣x，则曲线 y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是　y=2x　． 【分析】由已知函数的奇偶性结合 x≤0 时的解析式求出 x＞0 时的解析式，求出 导函数，得到 f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：已知 f（x）为偶函数，当 x≤0 时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x， 设 x＞0，则﹣x＜0， ∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x， 则 f′（x）=ex﹣1+1， f′（1）=e0+1=2． ∴曲线 y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是 y﹣2=2（x﹣1）． 即 y=2x． 故答案为：y=2x． 　 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17．（12 分）（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足 a1=1，an2﹣ （2an+1﹣1）an﹣2an+1=0． （1）求 a2，a3； （2）求{an}的通项公式． 【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令 n=1 可得 a12﹣（2a 2﹣1） a1﹣2a2=0 ， 将 a1=1 代 入 可 得 a2 的 值 ， 进 而 令 n=2 可 得 a22﹣ （ 2a3﹣1 ） a2﹣2a3=0，将 a2= 代入计算可得 a3 的值，即可得答案； （ 2 ） 根 据 题 意 ， 将 an2﹣ （ 2an+1﹣1 ） an﹣2an+1=0 变 形 可 得 （ an﹣2an+1 ） （an+an+1）=0，进而分析可得 a n=2an+1 或 an=﹣an+1，结合数列各项为正可得 an=2an+1，结合等比数列的性质可得{an}是首项为 a1=1，公比为 的等比数列，由 等比数列的通项公式计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0， 当 n=1 时，有 a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0， 而 a1=1，则有 1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得 a2= ， 当 n=2 时，有 a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0， 又由 a2= ，解可得 a3= ， 故 a2= ，a3= ； （2）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0， 变形可得（an﹣2an+1）（an+1）=0， 即有 an=2an+1 或 an=﹣1， 又由数列{an}各项都为正数， 则有 an=2an+1， 故数列{an}是首项为 a1=1，公比为 的等比数列， 则 an=1×（ ）n﹣1= n﹣1， 故 an= n﹣1． 　 18．（12 分）（2016•新课标Ⅲ）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处 理量（单位：亿吨）的折线图． 注：年份代码 1﹣7 分别对应年份 2008﹣2014． （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以 证明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾 无害化处理量． 附注： 参考数据： yi=9.32， tiyi=40.17， =0.55， ≈2.646． 参考公式：r= ， 回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = ﹣ ． 【分析】（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代 入相关系数方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的 t 值为 9，代入可预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（1）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正相关关系，理由如下： ∵ r= = ≈ ≈ ≈0.993， ∵0.993＞0.75， 故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系； （2） = = ≈ ≈0.103， = ﹣ ≈1.331﹣0.103×4≈0.92， ∴y 关于 t 的回归方程 =0.10t+0.92， 2016 年对应的 t 值为 9， 故 =0.10×9+0.92=1.82， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82 亿吨． 　 19．（12 分）（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD ∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中 点． （Ⅰ）证明 MN∥平面 PAB； （Ⅱ）求四面体 N﹣BCM 的体积． 【分析】（Ⅰ）取 BC 中点 E，连结 EN，EM，得 NE 是△PBC 的中位线，推导出四 边形 ABEM 是平行四边形，由此能证明 MN∥平面 PAB． （Ⅱ）取 AC 中点 F，连结 NF，NF 是△PAC 的中位线，推导出 NF⊥面 ABCD，延 长 BC 至 G，使得 CG=AM，连结 GM，则四边形 AGCM 是平行四边形，由此能求 出四面体 N﹣BCM 的体积． 【解答】证明：（Ⅰ）取 BC 中点 E，连结 EN，EM， ∵N 为 PC 的中点，∴NE 是△PBC 的中位线， ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD， ∴BE= BC=AM=2， ∴四边形 ABEM 是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面 NEM∥平面 PAB， ∵MN⊂平面 NEM，∴MN∥平面 PAB． 解：（Ⅱ）取 AC 中点 F，连结 NF， ∵NF 是△PAC 的中位线， ∴NF∥PA，NF= =2， 又∵PA⊥面 ABCD，∴NF⊥面 ABCD， 如图，延长 BC 至 G，使得 CG=AM，连结 GM， ∵AM CG，∴四边形 AGCM 是平行四边形， ∴AC=MG=3， 又∵ME=3，EC=CG=2， ∴△MEG 的高 h= ， ∴S△BCM= = =2 ， ∴四面体 N﹣BCM 的体积 VN﹣BCM= = = ． 　 20．（12 分）（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的 两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． （Ⅰ）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程． 【分析】（Ⅰ）连接 RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证 明 AR∥FQ； （Ⅱ）利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求出 N 的坐标，利用点差法求 AB 中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接 RF，PF， 由 AP=AF，BQ=BF 及 AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°， ∴∠PFQ=90°， ∵R 是 PQ 的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ． （Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， F（ ，0），准线为 x=﹣ ， S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|， 设直线 AB 与 x 轴交点为 N， ∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|， ∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即 N（1，0）． 设 AB 中点为 M（x，y），由 得 =2（x1﹣x2）， 又 = ， ∴ = ，即 y2=x﹣1． ∴AB 中点轨迹方程为 y2=x﹣1． 　 21．（12 分）（2016•新课标Ⅲ）设函数 f（x）=lnx﹣x+1． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）证明当 x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x； （3）设 c＞1，证明当 x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx． 【分析】（1）求出导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间， 注意函数的定义域； （2）由题意可得即证 lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得 lnx＜x﹣1，设 F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到 x﹣1＜xlnx 成立； （3）设 G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，求出导数，可令 G′（x）=0，由 c＞1，x∈ （0，1），可得 1＜ ＜c，由（1）可得 c x= 恰有一解，设为 x=x0 是 G （x）的最小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（1）函数 f（x）=lnx﹣x+1 的导数为 f′（x）= ﹣1， 由 f′（x）＞0，可得 0＜x＜1；由 f′（x）＜0，可得 x＞1． 即有 f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）； （2）证明：当 x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x，即为 lnx＜x﹣1＜xlnx． 由（1）可得 f（x）=lnx﹣x+1 在（1，+∞）递减， 可得 f（x）＜f（1）=0，即有 lnx＜x﹣1； 设 F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx， 当 x＞1 时，F′（x）＞0，可得 F（x）递增，即有 F（x）＞F（1）=0， 即有 xlnx＞x﹣1，则原不等式成立； （3）证明：设 G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，G′（x）=c﹣1﹣cxlnc， 可令 G′（x）=0，可得 cx= ， 由 c＞1，x∈（0，1），可得 1＜cx＜c，即 1＜ ＜c， 由（1）可得 cx= 恰有一解，设为 x=x0 是 G（x）的最大值点，且 0＜x0＜1， 由 G（0）=G（1）=0，且 G（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减， 可得 G（x0）=1+（c﹣1）x0﹣cx0＞0 成立， 则 c＞1，当 x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx． 　 请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）（2016•新课标Ⅲ）如图，⊙O 中 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小； （2）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OG⊥CD． 【分析】（1）连接 PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA= ∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得 E，C，D，F 共圆，再 由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD 的度数； （2）运用圆的定义和 E，C，D，F 共圆，可得 G 为圆心，G 在 CD 的中垂线上， 即可得证． 【解答】（1）解：连接 PB，BC， 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， ∠PBA=∠4，∠PAB=∠5， 由⊙O 中 的中点为 P，可得∠4=∠5， 在△EBC 中，∠1=∠2+∠3， 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5， 即有∠2=∠4，则∠D=∠1， 则四点 E，C，D，F 共圆， 可得∠EFD+∠PCD=180°， 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD， 即有 3∠PCD=180°， 可得∠PCD=60°； （2）证明：由 C，D，E，F 共圆， 由 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G 可得 G 为圆心，即有 GC=GD， 则 G 在 CD 的中垂线，又 CD 为圆 G 的弦， 则 OG⊥CD． 　 [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线 C2 的极坐标方程为 ρsin（θ+ ）=2 ． （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； （2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标． 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1 的普通方程，运用 x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2 的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线 x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与 直线 x+y﹣4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求 得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐 标． 【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数）， 移项后两边平方可得 +y2=cos2α+sin2α=1， 即有椭圆 C1： +y2=1； 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin（θ+ ）=2 ， 即有 ρ（ sinθ+ cosθ）=2 ， 由 x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得 x+y﹣4=0， 即有 C2 的直角坐标方程为直线 x+y﹣4=0； （2）由题意可得当直线 x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值． 设与直线 x+y﹣4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0， 联立 可得 4x2+6tx+3t2﹣3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0， 解得 t=±2， 显然 t=﹣2 时，|PQ|取得最小值， 即有|PQ|= = ， 此时 4x2﹣12x+9=0，解得 x= ， 即为 P（ ， ）． 　 [选修 4-5：不等式选讲] 24．（2016•新课标Ⅲ）已知函数 f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）设函数 g（x）=|2x﹣1|，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范 围． 【分析】（1）当 a=2 时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式 f（x）≤6 的解集． （2）由 f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，由 此能求出 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）=|2x﹣2|+2， ∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6， |2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2， ∴﹣2≤x﹣1≤2， 解得﹣1≤x≤3， ∴不等式 f（x）≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤3}． （2）∵g（x）=|2x﹣1|， ∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3， 2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3， |x﹣ |+|x﹣ |≥ ， 当 a≥3 时，成立， 当 a＜3 时，|x﹣ |+|x﹣ |≥ |a﹣1|≥ ＞0， ∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2， 解得 2≤a＜3， ∴a 的取值范围是[2，+∞）．