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- 2021-07-01 发布
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第3讲 等比数列及其前n项和
一、知识梳理
1.等比数列的有关概念
(1)定义:
①文字语言:一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零).
②符号语言:=q(n∈N+,q为非零常数).
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:Sn=
3.等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.(m,n,p,q,r,k∈N+)
(1)若m+n=p+q=2r,则am·an=ap·aq=a;
(2)数列am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等比数列;
(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,… 仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).
常用结论
1.等比数列的单调性
当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;
当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;
当q=1时,{an}是常数列.
2.等比数列与指数函数的关系
当q≠1时,an=·qn,可以看成函数y=cqx,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上.
3.等比数列{an}的前n项和Sn=A+B·Cn⇔A+B=0,公比q=C(A,B,C均不为零)
二、教材衍化
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列
解析:选D.设等比数列的公比为q,则a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,满足(a1q5)2=a1q2·a1q8,
即a=a3·a9.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则q= .
答案:2
3.在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 .
解析:设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,得q3=27,所以q=3.
所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.
答案:27,81
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.( )
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )
(3)满足an+1=qan(n∈N+,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )
(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )
(5)等比数列中不存在数值为0的项.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)运用等比数列的前n项和公式时,忽略q=1的情况;
(2)“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件;
(3)对等比数列项的符号不能作出正确判断.
1.已知在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q的值是( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或
解析:选C.当q=1时,an=7,S3=21,符合题意;当q≠1时,得q=-.综上,q的值是1或-,故选C.
2.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5= .
解析:因数列{an}为等比数列,则a=a3a7=16,又a3>0,所以a5=4.
答案:4
3.在等比数列{an}中,a2=4,a10=16,则a2和a10的等比中项为 .
解析:设a2与a10的等比中项为G,因为a2=4,a10=16,所以G2=4×16=64,所以G=±8.
答案:±8
等比数列的基本运算(师生共研)
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4= .
(2)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.则an= .
【解析】 (1)通解:设等比数列{an}的公比为q,由a1=1及S3=,易知q≠1.把a1=1代入S3==,得1+q+q2=,解得q=-,所以S4===
.
优解一:设等比数列{an}的公比为q,因为S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=,a1=1,所以1+q+q2=,解得q=-,所以a4=a1·q3==-,所以S4=S3+a4=+=.
优解二:设等比数列{an}的公比为q,由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn=A(1-qn)(其中A为常数),则a1=S1=A(1-q)=1 ①,S3=A(1-q3)= ②,由①②可得A=,q=-.所以S4=×=.
(2)设{an}的公比为q,由题设得
2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.
【答案】 (1) (2)22n-1
解决等比数列有关问题的常见数学思想
(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类讨论.
(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.
1.(一题多解)(2020·宿州市质量检测)等比数列{an}的各项均为正实数,其前n项和为Sn.若a3=4,a2a6=64,则S5=( )
A.32 B.31
C.64 D.63
解析:选B.通解:设首项为a1,公比为q,因为an>0,所以q>0,由条件得
解得所以S5=31,故选B.
优解:设首项为a1,公比为q,因为an>0,所以q>0,由a2a6=a=64,a3=4,得q=2,a1=1,所以S5=31,故选B.
2.(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )
A.16 B.8
C.4 D.2
解析:选C.设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a5=3a3+4a1,得a1q4=3a1q2+4a1,得q4-3q2-4=0,令q2=t,则t2-3t-4=0,解得t=4或t=-1(舍去),所以q2=4,即q=2或q=-2(舍去).又S4==15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4.故选C.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则( )
A.数列{an}的公比为2 B.数列{an}的公比为8
C.=8 D.=4
解析:选A.因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,所以=q3=8,解得q=2,所以==1+q3=9.
等比数列的判定与证明(典例迁移)
(1)已知数列{an}是等比数列,则下列命题不正确的是( )
A.数列{|an|}是等比数列
B.数列{anan+1}是等比数列
C.数列是等比数列
D.数列{lg a}是等比数列
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+),若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.
【解】 (1)选D.因为数列{an}是等比数列,所以=q.对于A,==|q|,所以数列{|an|}是等比数列,A正确;对于B,=q2,所以数列{anan+1}是等比数列,B
正确;对于C,==,所以数列是等比数列,C正确;对于D,==,不一定是常数,所以D错误.
(2)证明:因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以====2.
因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.
所以b1=a2-2a1=3.
所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
【迁移探究1】 (变问法)若本例(2)中的条件不变,试求{an}的通项公式.
解:由(2)知bn=an+1-2an=3·2n-1,
所以-=,
故是首项为,公差为的等差数列.
所以=+(n-1)·=,
所以an=(3n-1)·2n-2.
【迁移探究2】 (变条件)在本例(2)中,若cn=,证明:数列{cn}为等比数列.
证明:由[迁移探究1]知,an=(3n-1)·2n-2,所以cn=2n-2.
所以==2,又c1==,
所以数列{cn}是首项为,公比为2的等比数列.
等比数列的判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数)或=q(q为非零常数且n≥2),则{an}是等比数列.
(2)中项公式法:若数列{an}中an≠0且a=an·an+2(n∈N+),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均为不为0的常数,n∈N+),则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
1.(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为( )
A.- B.
C.- D.
解析:选A.法一:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,所以a+=,所以a=-.
法二:因为等比数列的前n项和Sn=k×qn-k,则a=-,a=-.
2.(2019·高考全国卷Ⅱ节选)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.
证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).
又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
等比数列的性质及应用(多维探究)
角度一 等比数列项的性质的应用
(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的两根,则的值为( )
A.- B.-
C. D.-或
(2)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .
【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的两根,所以a3·a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,则a9=-,所以==a9=-.
(2)由题意知a1a5=a=4,因为数列{an}的各项均为正数,所以a3=2.所以a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2a4)·a3=(a)2·a3=a=25.所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.
【答案】 (1)B (2)5
角度二 等比数列前n项和的性质的应用
(1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= .
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则= .
【解析】 (1)由题意,得解得所以q===2.
(2)设等比数列{an}的公比为q,因为=,所以{an}的公比q≠1.由÷=,得q3=-,所以==.
【答案】 (1)2 (2)
等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项公式的变形,三是前n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
[提醒] 在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要对性质进行适当变形.此外,解题时注意“设而不求”的运用.
1.已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.-9
解析:选A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.
2.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于( )
A.12 B.13
C.14 D.15
解析:选C.因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,a10a11a12,…也成等比数列.
不妨令b1=a1a2a3,b2=a4a5a6,则公比q===3.
所以bm=4×3m-1.
令bm=324,即4×3m-1=324,解得m=5,
所以b5=324,即a13a14a15=324.
所以n=14.
3.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++= .
解析:因为+=,+=,
由等比数列的性质知a7a10=a8a9,
所以+++=
=÷=-.
答案:-
思想方法系列11 分类讨论思想求解数列问题
(2020·武汉市调研测试)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,a3-4a1=0.
(1)求Sn;
(2)令bn=an-15,求T=|b1|+|b2|+…+|b10|的值.
【解】 (1){an}是正项等比数列,由a3-4a1=0,所以a1q2-4a1=0
所以q=2,则an的前n项和Sn==2n-1.
(2)由(1)知an=2n-1,
当n≥5时,bn=2n-1-15>0,n≤4时,bn=2n-1-15<0,
所以T=-(b1+b2+b3+b4)+(b5+b6+…+b10)
=-(a1+a2+a3+a4-15×4)+(a5+a6+…+a10-15×6)
=-S4+S10-S4+60-90
=S10-2S4-30
=(210-1)-2×(24-1)-30
=210-25-29
=1 024-32-29
=963.
分类讨论思想在数列中应用较多,常见的分类讨论有:
(1)已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况.
(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论.
(3)项数的奇、偶数讨论.
(4)等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.
1.(2020·陕西榆林模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:选A.法一:当n=1时,a1=S1=4+λ.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1+λ)-(2n+λ)=2n,此时==2.
因为{an}是等比数列,所以=2,
即=2,解得λ=-2.故选A.
法二:依题意,a1=S1=4+λ,a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8,
因为{an}是等比数列,所以a=a1·a3,所以8(4+λ)=42,解得λ=-2.故选A.
2.已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是( )
A.(-∞,-1]
B.(-∞,0)∪[1,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
解析:选D.设等比数列{an}的公比为q,
则S3=a1+a2+a3=a2=1+q+.
当公比q>0时,S3=1+q+≥1+2=3,当且仅当q=1时,等号成立;
当公比q<0时,S3=1-≤1-2 =-1,当且仅当q=-1时,等号成立.
所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).
[基础题组练]
1.(2020·河南六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=( )
A.16 B.15
C.8 D.7
解析:选B.设公比为q,由题意得4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,又a1≠0,所以4q=4+q2,解得q=2,所以S4==15,故选B.
2.(2020·陕西五校联考)各项为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则log2a7+log2a11的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C.由题意得a4a14=(2)2=8,由等比数列的性质,得a4a14=a7a11=8,所以log2a7+log2a11=log2(a7a11)=log28=3,故选C.
3.(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1,则{an}的通项公式an=( )
A.2n-1 B.2n-1
C.2n-1 D.2n+1
解析:选B.当n=1时,S1=2a1-1=a1,所以a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,
因此an=2n-1,故选B.
4.(2020·长春市质量监测(一))已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若公比q=2,则=( )
A. B.
C. D.
解析:选A.法一:由题意知a1+a3+a5=a1(1+22+24)=21a1,而S6==63a1,所以==,故选A.
法二:由题意知S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a3+a5+(a2+a4+a6)=a1+a3+a5+2(a1+a3+a5)=3(a1+a3+a5),故=,故选A.
5.(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里
C.6里 D.3里
解析:选C.记该人每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=的等比数列,
由S6=378,得S6==378,解得a1=192,
所以a6=192×=6,故选C.
6.(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,a=a6,则S5= .
解析:通解:设等比数列{an}的公比为q,因为a=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=,所以q=3,所以S5===.
优解:设等比数列{an}的公比为q,因为a=a6,所以a2a6=a6,所以a2=1,又a1=,所以
q=3,所以S5===.
答案:
7.(2020·陕西第二次质量检测)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a2a12=16,则log2a15= .
解析:等比数列{an}的各项都是正数,且公比为,a2a12=16,
所以a1qa1q11=16,即aq12=16,
所以a1q6=22,所以a15=a1q14=a1q6(q2)4=26,则log2a15=log226=6.
答案:6
8.已知{an}是递减的等比数列,且a2=2,a1+a3=5,则{an}的通项公式为 ;a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N+)= .
解析:由a2=2,a1+a3=5,{an}是递减的等比数列,得a1=4,a3=1,an=4×,则a1a2+a2a3+…+anan+1是首项为8,公比为的等比数列的前n项和.故a1a2+a2a3+…+anan+1=8+2++…+8×==×.
答案:an=4× ×
9.(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
10.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3的值;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由.
解:(1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4,
将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12,
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
[综合题组练]
1.(2020·河南郑州三测)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==3,n∈N*,则数列{ban}的前10项和为( )
A.×(310-1) B.×(910-1)
C.×(279-1) D.×(2710-1)
解析:选D.因为an+1-an==3,
所以{an}为等差数列,公差为3,{bn}为等比数列,公比为3,所以an=1+3(n-1)=3n-2,bn=1×3n-1=3n-1,
所以ban=33n-3=27n-1,
所以{ban}是以1为首项,27为公比的等比数列,
所以{ban}的前10项和为=×(2710-1),故选D.
2.(2020·陕西榆林二模)已知数列{an}满足a1=2,nan+1-(n+1)an=2(n2+n),若bn=2,则{bn}的前n项和Sn= .
解析:由nan+1-(n+1)an=2(n2+n),得-=2,又a1=2,所以数列是首项为2,公差为2的等差数列,所以=2+2(n-1)=2n,即an=2n2,所以bn=2=4n,所以数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列,所以Sn==.
答案:
3.(2020·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列,公比q<1,前n项和为Sn,若a2=2,S3=7.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设m∈Z,若Sn<m恒成立,求m的最小值.
解:(1)由a2=2,S3=7得
解得或(舍去)
所以an=4·=.
(2)由(1)可知,Sn===8<8.
因为an>0,所以Sn是增加的.
又S3=7,所以当n≥4时,Sn∈(7,8).
又Sn<m恒成立,m∈Z,所以m的最小值为8.
4.(2020·河南蚌埠二模)Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.
(1)求an及Sn;
(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意可得解得a1=1,q=3,
所以an=3n-1,Sn==.
(2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列,
因为S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,
所以(λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ=,此时Sn+=×3n,则=3,
故存在常数λ=,使得数列
eq lc{
c}(avs4alco1(Sn+f(1,2)))是等比数列.