2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9-1空间几何体课件理北师大版 25页

第九章　立 体 几 何 第一节　空间几何体 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相 ____ 且 ____ 多边形 互相 _____ 侧棱 ___________ 相交于 _____ 但不一定相等 延长线交于 _____ 侧面形状 ___________ _______ _____ 平行 全等 平行 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 2. 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且 _____ 于底面 相交于 _____ 延长线交于 _____ 轴截面 全等的 _____ 全等的 _______ _____ 全等的 _________ ___ 侧面 展开图 _____ _____ _____ 垂直 一点 一点 矩形 等腰三 角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 3. 直观图 斜二测画法规则 : (1) 夹角 : 原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直 , 直观图中 ,x′ 轴、 y′ 轴的夹角为 _____,z′ 轴与 x′ 轴 ( 或 y′ 轴 )_____. (2) 方向 : 原图形中与 x 轴、 y 轴、 z 轴平行的 , 在直观图中与 x′ 轴 ,y′ 轴 ,z′ 轴 _____. (3) 长度 : 原图形中与 x 轴、 z 轴平行的 , 在直观图中长度不变 , 原图形中与 y 轴平行 的 , 长度变成原来的 ____. 45° 垂直 平行 4. 三视图 几何体的 三视图包括 ___ 视图、 ___ 视图、 ___ 视图 , 分别是从几何体的正前方、 正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线 . 5. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S 圆柱侧 =_____ S 圆锥侧 =____ S 圆台侧 =__________ 主 左 俯 2πr l πr l π(r+r′) l 6. 空间几何体的表面积和体积公式 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 有两个平面平行 , 其余各面都是四边形的多面体是棱柱 . ( 　　 ) (2) 有一个面是多边形 , 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 . ( 　　 ) (3) 有两个面是平行的相似多边形 , 其余各面都是梯形的几何体是棱台 .( 　　 ) (4) 用一个平面去截棱锥 , 棱锥的底面和截面之间的部分是棱台 . ( 　　 ) (5) 正方体、球、圆锥各自的三视图中 , 三个视图均相同 .( 　　 ) (6) 锥体的体积等于底面积与高之积 . ( 　　 ) (7) 已知球 O 的半径为 R, 其内接正方体的棱长为 a, 则 R= a. ( 　　 ) 提示 : (1)×, 也可以是棱台 . (2)×, 棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形 . (3)×, 侧棱延长后必须交于一点 . (4)×, 必须用平行于底面的平面去截棱锥 . (5) ×, 圆锥的三视图中 , 有两个三角形一个圆 . (6) ×, 锥体的体积等于底面积与高之积的三分之一 . (7) √, 正方体的体对角线是球的直径 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 对多面体定义理解不透彻 考点一、 T2 2 对旋转体定义理解不透彻 考点一、 T1,3 3 三视图忽视实线与虚线 考点二、 T1 4 求组合体的表面积 忽视某些部分 考点三、变式 1 5 求锥体体积公式记错 考点三、角度 2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 2 P6 习题 A 组 T3 改编 ) 下列说法不正确的是 ( 　　 ) A. 棱柱的侧棱长都相等 B. 棱锥的侧棱长都相等 C. 三棱台的上、下底面是相似三角形 D. 有的棱台的侧棱长都相等 【解析】 选 B. 根据棱锥的结构特征知 , 棱锥的侧棱长不一定都相等 . 2.( 必修 2 P7 例 1 改编 ) 下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 正方形的直观图是正方形 D. 若两条线段平行 , 则在直观图中对应的两条线段仍然平行 【解析】 选 D. 由直观图的画法规则知 , 角度、长度都有可能改变 , 而线段的平行性 不变 . 3.( 必修 2 P20 习题 A 组 T4 改编 ) 如图 , 下列几何体各自的三视图中 , 有且仅有两个 视图相同的是 ( 　　 ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【解析】 选 C. 由几何体的结构可知 , 只有圆锥、正四棱锥两几何体的主视图和左 视图相同 , 且不与俯视图相同 . 4.( 必修 2P49 例 7 改编 ) 一个半径为 21 的球形冰块融化在一个底面半径为 14 的圆柱 形的水桶内 , 求水面的高度 . 【解析】 设水面的高度为 h, 则 =π×14 2 h, 解得 h=63, 所以水面高度为 63. 5.( 必修 2P45 例 2 改编 ) 一个圆台的母线长为 20, 上底面的直径为 20, 母线与底面所 成的角为 60°, 求这个圆台的表面积和体积 . 【解析】 因为上底面的直径为 20, 所以圆台的上底面的半径为 10, 如图 , 画出圆台的轴截面的一半 . 因为母线与底面所成的角为 60°, 所以 ∠ABC=60°, 高 h=O 1 O=AC=10 ,BC=10, 所以下底面半径 OB=20, 所以圆台的侧面积为 S 侧 =π(r 上 +r 下 ) l =π(10+20)×20= 600π, 上底面的面积为 =100π, 下底面的面积为 =400π, 所以圆台的表 面积为 600π+100π+400π=1 100π, 圆台的体积为 V= 核心素养　直观想象 —— 与球有关的切、接问题 【素养诠释】 直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态变化 , 利用图形理解和解 决数学问题的过程 , 主要表现为识图、画图和对图形的想象能力 . 识图是指观 察研究所给图形中几何元素之间的相互关系 ; 画图是指将文字语言和符号语言 转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换 ; 对图形的想 象主要包括有图想图和无图想图两种 , 是空间想象能力高层次的标志 . 直观想象核心素养的体现 : (1) 是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段 ; (2) 是探索和形成解题思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础 ; (3) 形成利用图形描述 , 建立数与形的联系 , 构建直观模型的思维品质 ; (4) 增强几何直观、空间想象、数形结合的能力 . 【典例】 1.(2019· 全国卷 Ⅰ) 已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面 上 ,PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形 ,E,F 分别是 PA,AB 的中点 , ∠CEF=90°, 则球 O 的体积为 ( 　　 ) A.8 π B.4 π C.2 π D. π 2. 现有三个球和一个正方体 , 第一个球是正方体的内切球 , 第二个球与正方体 的 各条棱都相切 , 第三个球为正方体的外接球 , 那么这三个球的表面积之比 为 　　　　　　　 . 【素养立意 】 与球有关的切、接问题主要考查学生的空间想象能力 , 解答时要准确掌握“切” “接”问题的处理规律 (1)“ 切”的处理 首先要找准切点 , 通过作截面来解决 , 使截面过切点和球心 . (2)“ 接”的处理 抓住外接的特点 , 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 . 【解析】 1. 选 D. 设 PA=PB=PC=2x, 点 E,F 分别为 PA,AB 的中点 , 所以 EF∥PB, 且 EF= PB=x, 因为 △ABC 是边长为 2 的等边三角形 , 所以 CF= , 又 ∠CEF=90°, 所以 CE= , AE= PA=x, 在 △AEC 中 , 利用余弦定理得 cos∠EAC= , 作 PD⊥AC 于 D, 因为 PA=PC, 所以 D 为 AC 中点 ,cos∠EAC= , 所以 , 所以 2x 2 +1=2, 所以 x 2 = ,x= , 所以 PA=PB=PC= , 又 AB=BC=AC=2, 所以 PA,PB,PC 两两垂直 , 所以 2R= , 所以 R= , 所以 V= πR 3 = π× = π. 【一题多解】 选 D. 因为 PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的等边三角形 , 所以 P-ABC 为正三棱锥 , 易得 PB⊥AC, 又 E,F 分别为 PA,AB 的中点 , 所以 EF∥PB, 所以 EF⊥AC, 又 EF⊥CE,CE∩AC=C, 所以 EF⊥ 平面 PAC,PB⊥ 平面 PAC, 所以 ∠BPA=90°, 所以 PA=PB=PC= , 所以 P-ABC 为正方体一部分 ,2R= , 即 R= , 所以 V= πR 3 = π× = π. 2. 设正方体棱长为 a, 则三个球的半径分别为 , a, a, 所以它们的表面积之比为 1∶2∶3. 答案 : 1∶2∶3