【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-2不等式的证明学案 12页

第2讲　不等式的证明 ‎1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．‎ ‎3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．‎ ‎ 对于任意的x、y∈R，求证|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.‎ 证明：根据绝对值的几何意义，可知|x－1|＋|x|≥1，‎ ‎|y－1|＋|y＋1|≥2，‎ 所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.‎ ‎ 若a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：＋≥8.‎ 证明：因为a＋b＝1，‎ 所以a2＋2ab＋b2＝1.‎ 因为a>0，b>0，‎ 所以＋＝＋＝1＋＋＋1＋＋＝2＋＋≥2＋2＋2＝8.‎ ‎ 若x，y，z∈R＋，且x＋y>z，求证：＋>.‎ 证明：因为x＋y>z，‎ 所以x＋y－z>0.‎ 由分数性质得<＝.‎ 因为x>0，y>0，‎ 所以＝＋<＋.‎ 所以＋>.‎ ‎ 若a>b>1，证明：a＋>b＋.‎ 证明：a＋－＝a－b＋＝.‎ 由a>b>1得ab>1，a－b>0，‎ 所以>0.‎ 即a＋－>0，所以a＋>b＋.‎ 比较法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ (2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎【解】　(1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1；‎ 当－＜x＜时，f(x)＜2；‎ 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.‎ 因此|a＋b|＜|1＋ab|.‎ 比较法证明不等式的方法与步骤 ‎(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．‎ ‎(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．‎ ‎[提醒]　(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．‎ ‎(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．若a，b∈R＋，证明：(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．‎ 证明：因为(a＋b)(a5＋b5)－2(a6＋b6)＝a6＋a5b＋ab5＋b6－2a6－2b6＝a5b＋ab5－a6－b6＝a5(b－a)＋b5(a－b)＝(a－b)(b5－a5)．‎ 当a>b>0时，a－b>0，b5－a5<0，有(a－b)(b5－a5)<0.‎ 当b>a>0时，a－b<0，b5－a5>0，有(a－b)(b5－a5)<0.‎ 当a＝b>0时，a－b＝0，有(a－b)(b5－a5)＝0.‎ 综上可知(a＋b)(a5＋b5)≤2(a6＋b6)．‎ ‎2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab).‎ 证明：＝ab－ba－＝.‎ 当a＝b时，＝1；‎ 当a>b>0时，0<<1，‎ >0，<1.‎ 当b>a>0时，>1，<0，<1.‎ 所以abba≤(ab).‎ 用综合法、分析法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ ‎【证明】　法一：(综合法)‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)‎ ‎＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3‎ ‎＝2＋3ab(a＋b)‎ ‎≤2＋·(a＋b)‎ ‎＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ 法二：(分析法)‎ ‎(1)因为a>0，b>0，a3＋b3＝2.‎ 要证(a＋b)(a5＋b5)≥4，‎ 只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2，‎ 再证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6，‎ 再证a4＋b4≥2a2b2，‎ 因为(a2－b2)2≥0，即a4＋b4≥2a2b2成立．‎ 故原不等式成立．‎ ‎(2)要证a＋b≤2成立，‎ 只需证(a＋b)3≤8，‎ 再证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8，‎ 再证ab(a＋b)≤2，‎ 再证ab(a＋b)≤a3＋b3，‎ 再证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)，‎ 即证ab≤a2－ab＋b2显然成立．‎ 故原不等式成立．‎ 分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设x≥1，y≥1，求证：x＋y＋≤＋＋xy.‎ 证明：由于x≥1，y≥1，‎ 要证x＋y＋≤＋＋xy，‎ 只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.‎ 因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]‎ ‎＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]‎ ‎＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)‎ ‎＝(xy－1)(xy－x－y＋1)‎ ‎＝(xy－1)(x－1)(y－1)，‎ 因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，‎ 从而所要证明的不等式成立．‎ ‎2．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.‎ ‎(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；‎ ‎(2)证明：＋＋≤＋＋.‎ 证明：(1)1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，‎ 相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8.‎ ‎(2)＋＋＝ab＋bc＋ac，‎ ab＋bc≥2＝2，‎ ab＋ac≥2＝2，‎ bc＋ac≥2＝2，‎ 相加得＋＋≤＋＋.‎ 反证法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ 设0，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>，①‎ 又因为00，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.‎ 证明：(1)设a<0，因为abc>0，‎ 所以bc<0.‎ 又由a＋b＋c>0，则b＋c>－a>0，‎ 所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与题设矛盾．‎ ‎(2)若a＝0，则与abc>0矛盾，‎ 所以必有a>0.‎ 同理可证：b>0，c>0.‎ 综上可证a，b，c>0.‎ 放缩法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ 若a，b∈R，求证：≤＋.‎ ‎【证明】　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．‎ 当|a＋b|≠0时，‎ 由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|‎ ‎⇒≥，‎ 所以＝≤ ‎＝ ‎＝＋≤＋.‎ 综上，原不等式成立．‎ ‎“放”和“缩”的常用技巧 在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．‎ 常见的放缩变换有：‎ ‎(1)变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.‎ 上面不等式中k∈N*，k>1；‎ ‎(2)利用函数的单调性；‎ ‎(3)真分数性质“若00，则<”．‎ ‎[提醒]　在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．　 ‎ ‎ 设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.‎ 证明：由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得≤<.‎ 当k＝1时，≤<；‎ 当k＝2时，≤<；‎ ‎…‎ 当k＝n时，≤<，‎ 所以＝≤＋＋…＋<＝1.‎ 所以原不等式成立．‎ 用数学归纳法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ 证明贝努利不等式：‎ 设x∈R，且x>－1，x≠0，n∈N，n>1，则(1＋x)n>1＋nx.‎ ‎【证明】　(1)当n＝2时，因为x≠0.‎ 所以(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，‎ 即有(1＋x)k>1＋kx，‎ 则当n＝k＋1时，由于x>－1，x≠0.‎ 所以(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)‎ ‎＝1＋x＋kx＋kx2>1＋(k＋1)x，‎ 所以当n＝k＋1时不等式成立．‎ 由(1)(2)可知，贝努利不等式成立．‎ 用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：‎ ‎(1)证明当n＝n0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确．‎ ‎(2)在假设n＝k(k≥n0)时命题正确的基础上，推证当n＝k＋1时，命题也正确．‎ 这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．　 ‎ ‎ 证明：对于n∈N*，不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立．‎ 证明：(1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，‎ 即有|sin kθ|≤k|sin θ|.‎ 当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin kθcos θ＋cos kθsin θ|‎ ‎≤|sin kθcos θ|＋|cos kθsin θ|‎ ‎＝|sin kθ|·|cos θ|＋|cos kθ|·|sin θ|‎ ‎≤|sin kθ|＋|sin θ|‎ ‎≤k|sin θ|＋|sin θ|‎ ‎＝(k＋1)|sin θ|.‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．‎ ‎ 证明不等式的常用方法与技巧 ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．‎ ‎(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值 不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．‎ ‎ 在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要分析每次使用时等号是否成立．‎ ‎1．(2018·安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2；‎ ‎(2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)．‎ 解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|.‎ 因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.‎ 当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；‎ 当12时，原不等式等价于2x－3≤2，即2|a|f.‎ 解：(1)f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝ 当x<－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；‎ 当－3≤x≤1时，4≥8不成立；‎ 当x>1时，由2x＋2≥8，解得x≥3.‎ 所以不等式f(x)＋f(x＋4)≥8的解集为{x|x≤－5或x≥3}．‎ ‎(2)证明：f(ab)>|a|f，即|ab－1|>|a－b|.‎ 因为|a|<1，|b|<1，‎ 所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，‎ 所以|ab－1|>|a－b|.故所证不等式成立．‎ ‎1．(2018·武汉市武昌区调研考试)设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)当x∈M时，证明：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.‎ 解：(1)由已知，得f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；‎ 当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤，显然不成立．‎ 故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．‎ ‎(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，‎ 于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－＋.‎ 令g(x)＝－＋，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，‎ 所以g(x)≤g(0)＝0.‎ 故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.‎ ‎2．(2018·沈阳模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：‎ ‎(1)a＋b＋c≥.‎ ‎(2)＋＋≥(＋＋)．‎ 证明：(1)要证a＋b＋c≥，‎ 由于a，b，c>0，‎ 因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，‎ 即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎(2)＋＋＝.‎ 在(1)中已证a＋b＋c≥.‎ 因此要证原不等式成立，‎ 只需证明≥＋＋，‎ 即证a＋b＋c≤1，‎ 即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.‎ 而a＝≤，‎ b≤，c≤，‎ 所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca ‎(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎3．已知a，b，c均为正实数．求证：‎ ‎(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；‎ ‎(2)若a＋b＋c＝3，则＋＋≤3.‎ 证明：(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，‎ 可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，‎ 需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，‎ 即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立．‎ ‎(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知 ·≤＝，当且仅当a＋1＝2时，取等号，‎ ·≤＝，当且仅当b＋1＝2时，取等号，‎ ·≤＝，当且仅当c＋1＝2时，取等号，‎ 以上三式相加，得(＋＋)≤＝6，‎ 所以＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号．‎