2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题一 第1讲 三角函数的图象与性质含解析 23页

第1讲　三角函数的图象与性质 ‎[做真题]‎ 题型一　三角函数图象及其变换 ‎1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ 解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin ‎＝sin的图象，即曲线C2，故选D.‎ ‎2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ 解析：函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin 的图象至少向右平移个单位长度得到．‎ 答案： 题型二　三角函数的性质 ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)‎ A．f(x)＝|cos 2x|　　　 B．f(x)＝|sin 2x|‎ C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|‎ 解析：选A.A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数；‎ ‎②f(x)在区间单调递增；‎ ‎③f(x)在[－π，π]有4个零点；‎ ‎④f(x)的最大值为2.‎ 其中所有正确结论的编号是(　　)‎ A．①②④ B．②④‎ C．①④ D．①③‎ 解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当0，ω>0，|φ|< ‎)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝sin B．f(x)＝－cos C．f(x)＝cos D．f(x)＝sin ‎【解析】　法一：根据函数g(x)的图象可知A＝1，T＝＋＝，T＝π＝，ω＝2，所以g(x)＝sin(2x＋φ)，所以g＝sin＝0，所以＋φ＝π＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝，所以g(x)＝sin，将g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，即可得到函数f(x)的图象，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝g＝sin＝sin＝cos.‎ 法二：根据g(x)的图象可知g＝g＝1，因为f(x)的图象向右平移个单位长度后，即可得到g(x)的图象，‎ 所以f＝f＝1，对于A，f＝sin≠1，不符合题意；对于B，f＝－cos 0＝－1≠1，不符合题意；对于C，f＝cos 0＝1，符合题意；对于D，f＝sin≠1，不符合题意．‎ ‎【答案】　C 由“图”定“式”找“对应”‎ 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．‎ ‎(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋‎ B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.‎ ‎(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.记住三角函数的周期T的相关结论：‎ ‎①两个相邻对称中心之间的距离等于.‎ ‎②两条相邻对称轴之间的距离等于.‎ ‎③对称中心与相邻对称轴的距离等于.‎ ‎(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，ω，B已知)，也可代入图象与直线y＝B的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．　 ‎ 命题角度二　图象变换 ‎ (1)(一题多解)(2019·广州市调研测试)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)‎ A．sin　　　 B．sin C．sin D．sin ‎(2)若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　(1)法一：由题设知，f＝sin.设x＋＝t，则x＝2t－，所以f(t)＝sin＝sin.故f(x)＝sin.故选B.‎ 法二：由题设知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.‎ 故选B.‎ ‎(2)函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y＝cos＝cos，其图象与函数y＝sin ωx＝cos，k∈Z的图象重合，所以－＋2kπ＝－＋，k∈Z，所以ω＝－6k＋，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为，故选B.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 三角函数图象的变换规律 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法．‎ 　(1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换．‎ ‎(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左(右)平移k个单位长度后，其图象对应的函数解析式为g(x)＝sin[ω(x±k)＋φ]，而不是g(x)＝sin(ωx±k＋φ)．　 ‎ 命题角度三　三角函数图象的应用 ‎ (1)(多选)(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝|sin x|·|cos x|，则下列说法正确的是(　　)‎ A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)的最小正周期为 C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)在区间上单调递减 ‎(2)已知函数f(x)＝4sincos x＋，若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点，‎ 则实数m的取值范围为____________．‎ ‎【解析】　(1)f(x)＝|sin x|·|cos x|＝|sin 2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间上单调递减，f(x)的图象无对称中心，故C不正确．‎ ‎(2)方程g(x)＝0同解于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin在上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解．‎ ‎【答案】　(1)ABD　(2)[，2)‎ 巧用图象解决三角方程或不等式问题 解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．　‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　　)‎ A．－2 B．－ C． D．2‎ 解析：选C.由f(x)为奇函数可得φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g(x)＝Asinωx.由g(x)的最小正周期为2π，可得＝2π，故ω＝2，g(x)＝Asin x．g＝Asin ＝，所以A＝2，‎ 所以f(x)＝2sin 2x，故f＝2sin ＝.‎ ‎2．(2019·湖南省五市十校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．‎ 解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0，1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asin φ＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎　　　三角函数的性质 ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(一题多解)(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则下列关于g(x)的说法正确的是(　　)‎ A．最大值为3‎ B．在上单调递减 C．是g(x)图象的一个对称中心 D．直线x＝－是g(x)图象的一条对称轴 ‎(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)‎ A．　　　　　　　 B． C． D． ‎【解析】　(1)通解：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)和函数g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1(|φ|< ‎)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，所以cos＝±1(k∈Z)，所以对任意k∈Z均存在m∈Z，使得kπ＋＋φ＝mπ.因为|φ|<，所以<＋φ<，所以＋φ＝π，所以φ＝，所以g(x)＝3cos＋1，所以g(x)的最大值为4，所以A错误．令2nπ≤2x＋≤2nπ＋π，n∈Z，得nπ－≤x≤nπ＋，n∈Z，所以B错误．因为g＝3cos＋1＝1，所以是g(x)图象的一个对称中心，所以C错误．因为g＝3cos＋1＝4，所以直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴，所以D正确．故选D.‎ 优解：因为函数f(x)＝2sin(ωx－)(ω>0)和函数g(x)＝3cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin，所以f(－)＝2sin＝－2，又－2为函数f(x)的最小值，所以直线x＝－为函数f(x)图象的一条对称轴，所以直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴，故选D.‎ ‎(2)法一：由题意，得，则，又ω>0，所以，k∈Z，所以k＝0，则0<ω≤，故选B.‎ 法二：取ω＝1，则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项知选B.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 三角函数性质的应用要注意以下两点：首先要将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再对比y＝sin x的性质，即把ωx＋φ看成一个整体处理，但是一定要注意ω>0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是(　　)‎ A．(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C．(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析：选B.法一：因为f(x)＝2＝2sin ，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝2sin，‎ 由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．‎ 所以f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．故选B.‎ 法二：因为f(x)＝2 ‎＝－2cos，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝－2cos，‎ 由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.‎ ‎2．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0<ω<1，|φ|<)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)在上是减函数 B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0‎ C．f(x)≥1的解集是，k∈Z D．f(x)图象的一个对称中心是 解析：选D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，则f(‎ x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D.‎ ‎3．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法错误的是(　　)‎ A．f(x)的周期是 B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}‎ C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z 解析：选ABC.函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A错误；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是f(x)图象的对称轴，故C错误；令kπ－0，ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为6，P是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是(　　)‎ A．(1，0) B．(2，0)‎ C．(3，0) D．(4，0)‎ 解析：选C.由题意可得函数f(x)的最小正周期T＝6，则ω＝＝＝.‎ 结合点P的坐标可得A＝2，且×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，‎ 得φ＝2kπ－π(k∈Z)，所以f(x)＝2sin＝－2sinx(k∈Z)．‎ 令x＝k′π(k′∈Z)，得x＝3k′(k′∈Z)，‎ 取k′＝1可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)．‎ ‎　　　三角函数的值域与最值问题 ‎[典型例题]‎ ‎ (1)已知将函数f(x)＝2sincos x＋的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在上的值域为(　　)‎ A．　　　　　 B． C． D． ‎(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．‎ ‎【解析】　(1)因为f(x)＝2cos x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，所以g(x)＝sin＝sin.因为－≤x≤，所以0≤2x＋≤，则－≤sin≤1，故－≤g(x)≤1.故选C.‎ ‎(2)因为f(x)＝sin－3cos x ‎＝－cos 2x－3cos x ‎＝－2cos2x－3cos x＋1，‎ 令t＝cos x，则t∈[－1，1]，所以f(x)＝－2t2－3t＋1.‎ 又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，‎ 所以当t＝1时，f(x)有最小值－4.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)－4‎ 有关三角函数的值域与最值问题的解题策略 ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值．　 ‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，转化为二次函数去求解．‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再转化为关于t的二次函数去求解．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2019·济南市模拟考试)若函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选A.因为0≤x≤π，ω>0，所以－≤ωx－≤ωπ－.又f(x)的值域为，所以ωπ－≥，所以ω≥，故选A.‎ ‎2．函数f(x)＝2sin2＋2sin·cos在区间上的最小值为________．‎ 解析：由题意得，f(x)＝1－cos＋sin＝1＋sin 2x＋cos 2x＝1＋sin.‎ 因为≤x≤，‎ 所以≤2x＋≤，‎ 所以－1≤sin≤－，‎ 所以1－≤1＋sin≤0，所以函数f(x)在上的最小值为1－.‎ 答案：1－ 一、选择题 ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B． C．1 D． 解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.‎ ‎2．(2019·昆明市诊断测试)函数y＝sin图象的一条对称轴的方程为(　　)‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 解析：选D.由题意，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，函数y＝sin图象的一条对称轴的方程为x＝.故选D. ‎ ‎3．(2019·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)‎ A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D.，k∈Z 解析：选B.由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，得2kπ－0，|φ|<)的部分图象如图所示，点A(0，)，B，则函数f(x)图象的一条对称轴为(　　)‎ A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 解析：选D.因为函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的图象过点A(0，)，所以2cos φ＝，即cos φ＝，所以φ＝2kπ±(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝±，由函数f(x)的图象知<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2cos(ωx－)．因为f(x)＝2cos(ωx－)的图象过点B，所以cos＝0，所以＝mπ＋(m∈Z)，所以ω＝6m＋4(m∈Z)．因为ω>0，>，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f(x)＝2cos.因为x＝时，f(x)＝2，所以x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，故选D.‎ ‎6．(2019·福州市质量检测)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则函数f(x)在区间上的值域是(　　)‎ A．　　　　　　 B．(－1，1)‎ C．(0，2] D．(－1，2]‎ 解析：选D.由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得T＝π，又ω>0，所以＝π，解得ω＝2.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图象．因为函数g(x)为偶函数，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，由|φ|<，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin.‎ 因为0f，则f(x)取最大值时x的值为(　　)‎ A．＋kπ，k∈Z B．＋kπ，k∈Z C．＋kπ，k∈Z D．－＋kπ，k∈Z 解析：选C.由f＝f(x)得f(x)的图象关于直线x＝对称，即当x＝时，f(x)取得最值，所以2×＋φ＝nπ＋，n∈Z，φ＝nπ＋，n∈Z.又f(π)>f ，所以sin(2π＋φ)>sin(π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n∈Z，且n为偶数．不妨取n＝0，即φ＝，当f(x)取最大值时，2x＋＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，故选C.‎ ‎10．(2019·广东六校第一次联考)已知A是函数f(x)＝sin＋cos的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B.f(x)＝sin＋cos＝sin 2 018x＋cos 2 018x＋cos 2 018x＋sin 2 018x＝sin 2 018x＋cos 2 018x＝2sin，故A＝f(x)max＝2，f(x)的最小正周期T＝＝.又存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以f(x2)＝f(x)max，f(x1)＝f(x)min，故A|x1－x2|的最小值为A×T＝，故选B.‎ ‎11．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)‎ A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为2‎ C．f(x)的图象关于y轴对称 D．f(x)在区间上单调递增 解析：选ACD.因为f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.‎ 因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，因为y＝cos 2x在上单调递减，所以f(x)＝－cos 2x在上单调递增，故选ACD.‎ ‎12．(多选)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．φ＝ B.是f(x)图象的一个对称中心 C．f(φ)＝－2‎ D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴 解析：选ABD.由题意得，平移后的函数g(x)＝f＝2sin的图象关于y轴对称 ‎，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，故A正确；f(x)＝2sin，由2x＋＝kπ，k∈Z，得对称中心的横坐标为－＋，k∈Z，故是f(x)图象的一个对称中心，故B正确；f(φ)＝2sin＝2sin ＝2，故C不正确；由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以x＝－是f(x)图象的一条对称轴，故D正确．‎ ‎13．(多选)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)‎ A．f(x)的最小正周期为π，最大值为2‎ B．f(x)的图象关于点中心对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)在区间上单调递减 解析：选ACD.由图可知，A＝2，T＝4×＝，所以ω＝＝3.‎ 又由g＝2可得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－.‎ 所以g(x)＝2sin，‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确．‎ 对于选项B，令2x＋＝k′π(k′∈Z)，得x＝－(k′∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k′∈Z)，由－＝，‎ 得k′＝，不符合k′∈Z，B错误．‎ 对于选项C，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故C正确．‎ 当x∈[，]时，2x＋∈，所以f(x)在区间上单调递减，所以选项D正确．故选ACD.‎ 二、填空题 ‎14．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝________．‎ 解析：因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎15．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y＝sin(ω>0)有零点，且值域M⊆，则ω的取值范围是________．‎ 解析：由0≤x≤π，得－≤ωx－≤ωπ－，当x＝0时，y＝－.因为函数y＝sin在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－，ω≥.因为值域M⊆，所以ωπ－≤π＋，ω≤，从而≤ω≤.‎ 答案： ‎16．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．‎ 解析：因为2sin2x－sin 2x＋m－1＝0，‎ 所以1－cos 2x－sin 2x＋m－1＝0，‎ 所以cos 2x＋sin 2x－m＝0，‎ 所以2sin＝m，即sin＝.‎ 方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，即y＝sin，x∈的图象与y＝的图象有2个不同的交点．作出y＝sin，x∈及y＝的图象如图所示，则－1<<－，‎ 即－20，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．‎ 解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.则f＝sin ＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ 答案：　，k∈Z ‎ ‎