【数学】2018届一轮复习北师大版第十章计数原理概率随机变量及其分布第三节二项式定理教案 7页

第三节　二项式定理 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎　　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，13,5分(求特殊项系数) ‎ ‎2016，北京卷，10,5分(求特殊项系数)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，10,5分(求特殊项系数)‎ ‎2014，全国卷Ⅰ，13,5分(求特殊项系数)‎ ‎　　以考查二项展开式、通项公式及二项式系数的性质为主，赋值法求系数的和也是考查的热点，题型以选择题、填空题为主，要求相对较低。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)。‎ ‎2．二项展开式的通项 第k＋1项为：Tk＋1＝Can－kbk。‎ ‎3．二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0,1,2，…，n)。‎ ‎4．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 最大值 当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值 当n为奇数时，中间的两项Cn和Cn取得最大值 ‎5.二项式系数和的性质 ‎(1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于C＋C＋C＋…＋C，即2n。‎ ‎(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1。‎ 微点提醒 ‎1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项。‎ ‎2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关。‎ ‎(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修2－3P31练习T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　)‎ A．C B．－C C．C D．－C ‎【解析】　二项式的通项为Tr＋1＝Cx10－r(－1)r，当r＝5时，C(－1)r＝－C。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．(选修2－3P35练习T1(2)改编)化简：C＋C＋…＋C＝________。‎ ‎【解析】　因为C＋C＋C＋…＋C＝22n，‎ 所以C＋C＋…＋C＝(C＋C＋…＋C)＝22n－1‎ ‎【答案】　22n－1‎ 二、双基查验 ‎1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A．C B．C C．C D．(－1)m－‎1C ‎【解析】　(x－y)n展开式中第m项的系数为 C(－1)m－1。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．已知C＋‎2C＋‎22C＋‎23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)‎ A．63 B．64‎ C．31 D．32‎ ‎【解析】　逆用二项式定理得C＋‎2C＋‎22C＋‎23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝26－C＝64－1＝63。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎3．已知7的展开式的第4项等于5。则x等于(　　)‎ A. B．－ C．7 D．－7‎ ‎【解析】　7的展开式中T4＝Cx43＝5，所以x＝－。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎4．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________。(用数字作答)‎ ‎【解析】　由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10。‎ ‎【答案】　10‎ ‎5．在二项式5的展开式中，含x项的系数是－80，则实数a的值为________。‎ ‎【解析】　二项式5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C(－a)rx10－3r，令10－3r＝1，得r＝3。故含x项的系数是C(－a)3＝－80，解得a＝2。‎ ‎【答案】　2‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 二项展开式的特定项或系数问题多维探究 角度一：二项展开式的特定项或系数 ‎【典例1】　(1)(2016·北京高考)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________。(用数字作答)‎ ‎(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________。(用数字作答)‎ ‎【解析】　(1)(1－2x)6的展开式的通项Tr＋1＝C(－2)rxr，当r＝2时，T3＝C(－2)2x2＝60x2，所以x2的系数为60。‎ ‎(2)因为(x＋y)8的展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kyk(0≤k≤8，k∈N)，‎ 当k＝7时，T8＝Cxy7＝8xy7，当k＝6时，T7＝Cx2y6＝28x2y6，‎ 所以(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的项为x·8xy7＋(－y)·28x2y6＝－20x2y7，故系数为－20。‎ ‎【答案】　(1)60　(2)－20‎ 角度二：多项展开式的特定项或系数 ‎【典例2】　(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10　　　B．‎20　‎　　C．30　　　D．60‎ ‎(2)5的展开式中的常数项为________。(用数字作答)‎ ‎【解析】　(1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2。‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5。‎ 所以x5y2的系数为CC＝30。故选C。‎ ‎(2)原式＝5＝·[(x＋)2]5＝(x＋)10。‎ 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5。‎ 所以所求的常数项为＝。‎ ‎【答案】　(1)C　(2) 反思归纳　1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项。求解时，先准确写出通项Tr＋1＝Can－rbr，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可。‎ ‎2．多项展开式问题一般是转化为二项展开式问题解决。‎ 考点二 ‎ 二项式系数的性质应用 ‎　　【典例3】　(1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，若a1＋a2＋a3＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是(　　)‎ A．15x2　　　　　　　 B．20x3‎ C．21x3 D．35x3‎ ‎(2)若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋‎2a2＋‎3a3＝________。‎ ‎【解析】　(1)在(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n；令x＝0可得a0＝1。依题意得：2n－1＝63，解得：n＝6，所以展开式中系数最大的项为Cx3＝20x3。故选B。‎ ‎(2)令x＝－2得a0＝－1。‎ 令x＝0得27＝a0＋‎2a1＋‎4a2＋‎8a3。‎ 因此a1＋‎2a2＋‎4a3＝14。‎ 因为C(2x)3·30＝a3·x3。‎ 所以a3＝8。‎ 所以a1＋‎2a2＋‎3a3＝14－a3＝6。‎ 所以a0＋a1＋‎2a2＋‎3a3＝－1＋6＝5。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)5‎ 反思归纳　1.形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可。‎ ‎2．对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可。‎ ‎3．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝。‎ ‎【变式训练】　(2016·长春模拟)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)‎ A．0 B．－5‎ C．5 D．255‎ ‎【解析】　令x＝2得a0＝－5，令x＝3得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，所以a1＋a2＋…＋a11＝－a0＝5。‎ ‎【答案】　C 考点三 ‎ 二项式定理的应用 ‎【典例4】　(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．11 D．12‎ ‎(2)1.028的近似值是________。(精确到小数点后三位)‎ ‎【解析】　(1)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除，且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，且0≤a<13，因此a的值为12。‎ ‎(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172。‎ ‎【答案】　(1)D　(2)1.172‎ 反思归纳　1.整除问题的解题思路 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断。‎ ‎2．求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx。‎ ‎【变式训练】　1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋‎9010C除以88的余数是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－87 D．87‎ ‎【解析】　1－‎90C＋‎902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋‎9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1。‎ ‎【答案】　B 微考场　新提升 ‎1．(2016·潍坊联考)在6的二项展开式中常数项是(　　)‎ A．－120　　　　　　　 B．－60‎ C．120 D．60‎ 解析　二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C()6－r·r＝C(－2)rx3－r，令3－r＝0，得r＝2，所以常数项为C(－2)2＝60。‎ 答案　D ‎2．(2016·辽宁五校联考)若n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　)‎ A．360 B．180‎ C．90 D．45‎ 解析　展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n＝10，通项公式为Tr＋1＝C()10－r·r＝C2rx5－r，令5－r＝0，得r＝2，所以r＝2时，常数项为180。‎ 答案　B ‎3．(2017·厦门模拟)(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋…＋a2 014x2 014(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－1 D．－2‎ 解析　令x＝得a0＋＋＋…＋＝0，‎ 令x＝0得a0＝1，‎ 所以＋＋…＋＝－1。‎ 答案　C ‎4．(2016·天津高考)8的展开式中x7的系数为________。(用数字作答)‎ 解析　二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C＝－56。‎ 答案　－56‎ ‎5．(2016·皖南八校联考)(x2－4x＋4)5的展开式中x的系数是________。‎ 解析　由(x2－4x＋4)5＝(x－2)10，得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－r(－2)r，所以x的系数为(－2)‎9C＝－5 120。‎ 答案　－5 120‎