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- 2021-07-01 发布
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一 二维形式的柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(1)定理1:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)二维形式的柯西不等式的推论:
(a+b)(c+d)≥(+)2(a,b,c,d为非负实数);
·≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R);
·≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R).
2.柯西不等式的向量形式
定理2:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α|·|β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|,取等号“=”的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.
3.二维形式的三角不等式
(1)定理3:+≥(x1,y1,x2,y2∈R).
当且仅当三点P1,P2与O共线,并且P1,P2点在原点O异侧时,等号成立.
(2)推论:对于任意的x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R,有
+
≥.
事实上,在平面直角坐标系中,设点P1,P2,P3的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|+|P2P3|≥|P1P2|,当且仅当三点P1,P2,P3共线,并且点P1,P2在P3点的异侧时,等号成立.
利用柯西不等式证明不等式
[例1] 已知θ为锐角,a,b∈R+,求证:+≥(a+b)2.
[思路点拨] 可结合柯西不等式,将左侧构造成乘积形式,利用“1=sin2θ+cos2θ”,然后用柯西不等式证明.
[证明] ∵+
=(cos2θ+sin2θ)
≥2
=(a+b)2,
∴(a+b)2≤+.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式,把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等,将条件构造成柯西不等式的基本形式,从而利用柯西不等式证明,但应注意等号成立的条件.
1.已知a1,a2,b1,b2为正实数.
求证:(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2.
证明:∵(a1b1+a2b2)
=[()2+()2]
≥2=(a1+a2)2.
∴原不等式成立.
2.设a,b,c为正数,
求证:++≥ (a+b+c).
证明:由柯西不等式,
得 ·≥a+b,
即·≥a+b.
同理:·≥b+c,
·≥a+c,
将上面三个同向不等式相加得:
≥2(a+b+c)
∴ + +≥ (a+b+c).
3.设a,b∈R+,且a+b=2.求证:+≥2.
证明:根据柯西不等式,有
[(2-a)+(2-b)]
=[()2+()2]
≥2
=(a+b)2=4.
∴+≥=2.
∴原不等式成立.
利用二维形式的柯西不等式求最值
[例2] 求函数y=3sin α+4cos α的最大值.
[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值.
[解] 由柯西不等式得
(3sin α+4cos α)2≤(32+42)(sin2α+cos2 α)=25,
∴3sin α+4cos α≤5.
当且仅当=>0即sin α=,cos α=时取等号,即函数的最大值为5.
利用柯西不等式求最值的注意点
(1)变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯西不等式求解的先决条件;
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以利用柯西不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧;
(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.
4.已知2x2+y2=1,求2x+y的最大值.
解:∵2x+y=×x+1×y≤×=×=,
当且仅当x=y=时取等号.
∴2x+y的最大值为.
5.求函数y =+的最小值.
解:y=+,
y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2×≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2×[(x-1)(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+(7+2)=11+2.
当且仅当=,
即x=时等号成立.
此时ymin==+1.
1.已知a,b∈R+且a+b=1,则P=(ax+by)2与Q=ax2+by2的大小关系是( )
A.P≤Q B.P<Q
C.P≥Q D.P>Q
解析:选A 设m=(x,y),n=(,),
则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|=·=·= ,
∴(ax+by)2≤ax2+by2,即P≤Q.
2.若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )
A.[-2,2 ]
B.[-2,2 ]
C.[-, ]
D.(-,)
解析:选A (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,
∵a2+b2=10,
∴(a-b)2≤20.
∴-2≤a-b≤2.
3.已知x+y=1,那么2x2+3y2的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析:选B (2x2+3y2)[()2+()2]≥(x+y)2=[(x+y)]2=6,
当且仅当x=,y=时取等号,
即2x2+3y2≥.
故2x2+3y2的最小值为.
4.函数y=+2的最大值是( )
A. B.
C.3 D.5
解析:选B 根据柯西不等式,知y=1×+2×≤×=,当且仅当x=时取等号.
5.设xy>0,则的最小值为________.
解析:原式=≥x·+·y2=9,当且仅当xy=时取等号.
答案:9
6.设a=(-2,1,2),|b|=6,则a·b的最小值为________,此时b=________.
解析:根据柯西不等式的向量形式,有|a·b|≤|a|·|b|,
∴|a·b|≤×6=18,
当且仅当存在实数k,
使a=kb时,等号成立.
∴-18≤a·b≤18,
∴a·b的最小值为-18,
此时b=-2a=(4,-2,-4).
答案:-18 (4,-2,-4)
7.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则P=2x+y的最大值为________.
解析:由柯西不等式得
(2x+y)2≤[(x)2+(y)2]·=(3x2+2y2)·≤6×=11,当且仅当x=,y=时取等号,故P=2x+y的最大值为.
答案:
8.已知x,y∈R+,且x+y=2.求证:+≥2.
证明:+=(x+y)
=[ ()2+()2]
≥2=2,
当且仅当时等号成立,此时x=1,y=1.
所以+≥2.
9.若x2+4y2=5,求x+y的最大值及此时x,y的值.
解:由柯西不等式得
[x2+(2y)2]≥(x+y)2,
即(x+y)2≤5×=,x+y≤.
当且仅当=,即x=4y时取等号.
由得或(舍去).
∴x+y的最大值为,
此时x=2,y=.
10.求函数f(x)=3cos x+4的最大值,并求出相应的x的值.
解:设m=(3,4),n=(cos x,),
则f(x)=3cos x+4
=|m·n|≤|m|·|n|
=·
=5,
当且仅当m∥n时,上式取“=”.
此时,3 -4cos x=0.
解得sin x=,cos x=.
故当sin x=,cos x=时.
f(x)=3cos x+4 取最大值5.