【数学】2018届一轮复习北师大版简单几何体的面积与体积教案 9页

第五节 简单几何体的面积与体积 [考纲传真] 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式． 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r1＋r2)l 2.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积 体积 柱体(棱柱和圆 柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆 锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝1 3Sh 台体(棱台和圆 台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝1 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)h 球 S＝4πR2 V＝4 3πR3 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝ 3 2 a.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一个半圆， 则底面圆的半径为( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．3 2 cm B [S 表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．] 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角， 图 751 下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放 米(如图 751，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高 为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立 方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( ) A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛 B [设米堆的底面半径为 r 尺，则 π 2r＝8，所以 r＝16 π ，所以米堆的体积为 V ＝1 4 ×1 3π·r2·5＝ π 12 × 16 π 2×5≈320 9 (立方尺)．故堆放的米约有320 9 ÷1.62≈22(斛)．故 选 B.] 4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表 面积为( ) A．12π B．32 3 π C．8π D．4π A [设正方体棱长为 a，则 a3＝8，所以 a＝2. 所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所以球的 表面积为 4π·( 3)2＝12π.] 5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图 752 所示(单位：cm)，则该几何 体的体积是________cm3. 【导学号：66482340】 图 752 32 3 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、高为 2 cm 的四棱锥组成，V＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm3＋8 3 cm3＝32 3 cm3.] 空间几何体的表面积 (1)某几何体的三视图如图 753 所示，则该几何体的表面积等于 ( ) 图 753 A．8＋2 2 B．11＋2 2 C．14＋2 2 D．15 (2)(2016·全国卷Ⅰ) 如图 754，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每 个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是( ) A．17π B．18π C．20π D．28π 图 754 (1)B (2)A [(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直 角梯形，如图所示． 直角梯形斜腰长为 12＋12＝ 2，所以底面周长为 4＋ 2，侧面积为 4＋2 2 ＋2＋2＝8＋2 2，两底面的面积和为 2×1 2 ×1×(1＋2)＝3. 所以该几何体的表面积为 8＋2 2＋3＝11＋2 2. (2) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的1 4 ，得到的 几何体如图．设球的半径为 R，则4 3πR3－1 8 ×4 3πR3＝28 3 π，解得 R＝2.因此它的表 面积为7 8 ×4πR2＋3 4πR2＝17π.] [规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之 和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理． 2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中 发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据 条件求解． [变式训练 1] (2016·全国卷Ⅲ)如图 755，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81 图 755 B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为 矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3 5)×2＝54＋ 18 5.故选 B.] 空间几何体的体积 (1)在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π 2 ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB ＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体 积为( ) A.2π 3 B．4π 3 C.5π 3 D．2π (2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视 图如图 756 所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3. 图 756 (1)C (2)2 [(1) 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示． 由于 V 圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝1 3π·CE2·DE＝1 3π·12×(2－1)＝π 3 ， 所以该几何体的体积 V＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π 3 ＝5π 3 . (2)由三视图知，四棱锥的高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，对应高为 1，所以其体积 V＝1 3Sh＝1 3 ×2×1×3＝2.] [规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式 进行求解． 2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的 原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解． 3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图， 然后根据条件求解． [变式训练 2] (2017·陕西质检(二))某几何体的三视图如图 757 所示，则此 几何体的体积是( ) 【导学号：66482341】 A．28π B．32π C．36π D．40π 图 757 C [由三视图得该几何体为一个底面半径为 2，高为 2 的圆柱体和一个上底 半径为 2，下底半径为 4，高为 3 的圆台，则其体积为 2×π×22＋1 3π×3(22＋42 ＋2×4)＝36π，故选 C.] 多面体与球的切、接问题 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的 球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是( ) A．4π B．9π 2 C．6π D．32π 3 B [由 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得 AC＝10，要使球的体积 V 最大，则球 与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半 径为 r.则1 2 ×6×8＝1 2 ×(6＋8＋10)·r，则 r＝2. 此时 2r＝4＞3，不合题意． 因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大． 由 2R＝3，即 R＝3 2. 故球的最大体积 V＝4 3πR3＝9 2π.] [迁移探究 1] 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在 球 O 的球面上”，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球 O 的表面积． [解] 将直三棱柱补形为长方体 ABECA′B′E′C′， 则球 O 是长方体 ABECA′B′E′C′的外接球， ∴体对角线 BC′的长为球 O 的直径． 因此 2R＝ 32＋42＋122＝13， 故 S 球＝4πR2＝169π. [迁移探究 2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面 上”，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积． [解] 如图，设球心为 O，半径为 r， 则在 Rt△AOF 中，(4－r)2＋( 2)2＝r2， 解得 r＝9 4 ， 则球 O 的体积 V 球＝4 3πr3＝4 3π× 9 4 3＝243π 16 . [规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋 转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条 侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． 2．若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧 棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． [变式训练 3] (2015·全国卷Ⅱ)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝ 90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表 面积为( ) A．36π B．64π C．144π D．256π C [如图，设球的半径为 R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝1 2R2. ∵VOABC＝VCAOB，而△AOB 面积为定值， ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC 最大， ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC 最大为 1 3 ×1 2R2×R＝36， ∴R＝6，∴球 O 的表面积为 4πR2＝4π×62＝144π.故选 C.] [思想与方法] 1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行， 即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧 面展开图的形状及平面图形面积的求法． 2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割 补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和 等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可 以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高． [易错与防范] 1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算． 2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义， 以防出错．