【数学】2020届一轮复习北师大版几个重要不等式教案 11页

几个重要不等式 ‎【学习目标】‎ ‎1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，学会柯西不等式的简单应用.‎ ‎2.用向量递推的方法讨论排序不等式，学会排序不等式的简单应用.‎ ‎3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤，会用数学归纳法证明一些简单问题.‎ ‎4.会用数学归纳法证明贝努利不等式.‎ ‎5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用，提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力. ‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一：柯西不等式 ‎1．二维形式的柯西不等式 代数形式（定理1）‎ 对任意实数，则.‎ ‎（当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）.‎ 向量形式：‎ 设是平面上任意两个向量，则.‎ ‎（当且仅当向量与向量共线时，等号成立）。‎ 三角形式:‎ 对任意实数，则 ‎（当且仅当时，等号成立.）‎ 证明：‎ 几何背景：‎ 如图，在三角形中，‎ ‎，‎ 则 ‎ ‎ ‎ 将以上三式代入余弦定理，并化简，可得 ‎ 或 因为，所以，， ‎ 于是 ‎ 要点诠释：‎ ‎（1）柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；‎ ‎（2）定理1的变形：‎ 若a、b、c、d都是正实数，则，（当且仅当向量与向量共线，即时，，等号成立）‎ ‎2. 一般形式的柯西不等式 定理2 设与是两组实数，则 ‎，‎ 当且仅当向量与向量共线时，等号成立。‎ 要点诠释：‎ ‎（1）使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数：‎ ‎ ，，…， ，‎ ‎ ，，…， ，‎ 其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。‎ ‎（2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。 （3）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。 （4）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。‎ 要点二：排序不等式 定理1 设a，b和c，d都是实数，如果，那么 当且仅当a=b（或c=d）时取“=”号.‎ 定理2（排序不等式） 设有两个有序实数组：‎ ‎ 及 ‎ ‎ 则 （顺序和） ≥‎ ‎（乱序和） ≥‎ ‎（逆序和） .‎ ‎　　 其中，是1，2，…，的任一排列形式，上式当且仅当（或）时，取“=”号。 ‎ 要点诠释：‎ 学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．‎ 要点三：贝努利不等式 定理（贝努利不等式） 对任意实数和任何正整数n；有 ‎.‎ 推广 （1），且 ‎（2），有；‎ ‎，有 ‎（3）；则有 ‎（4）设，则当且仅当时取到“=”‎ 贝努利不等式的证明：‎ 证法1：（数学归纳法）‎ ‎（1）当时，等式显然成立.‎ ‎（2）假设时，等式成立，即 当n=k+1时，‎ 综上可知，不等式成立 证法2：联想到 当时，‎ 当 ‎ 证法3：当，‎ 当，则 证法4：‎ 证法5：只证； 设 ‎，故.‎ 要点四：数学归纳法 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：‎ 先证明当n取第一个值n0时命题成立；‎ 然后假设当n=k(kÎN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法 要点诠释：‎ ‎（1）数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。‎ ‎（2）证明了第一步，就获得了递推的基础；证明了第二步，就获得了递推的依据。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：柯西不等式的简单应用 例1. 已知实数满足， ，试求的最值。‎ ‎【思路点拨】构造关于变量的柯西不等式，再利用已知条件，转化为关于的式子，解不等式即可.‎ ‎【解析】由柯西不等式得 ，‎ 即 ，‎ 由条件可得， ，‎ 解得 .‎ 当且仅当向量与向量共线，即 时等号成立.‎ 当时， 的最大值是2；当时，的最小值是1.‎ ‎【总结升华】正确运用柯西不等式，能用它求函数或代数式的最值，注意等号成立的条件.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知＝13，求的最小值.‎ ‎【答案】由柯西不等式 ，‎ 因为＝13，‎ 所以 ，‎ 当且仅当 ，即时取等号.‎ ‎ 所以，的最小值是13.‎ ‎【变式2】设，求的最大值．‎ ‎【答案】‎ 根据柯西不等式  　　 　　。 　　当且仅当，即时等号成立，‎ 此时，的最大值是.‎ 例2. 设为正数且互不相等，求证：。‎ ‎【思路点拨】先变形，要证，即征，‎ 对不等号的左侧使用柯西不等式，由于其中一个因式由构成，那么另一因式应表示为的和的形式。‎ ‎【解析】均为正数　 ‎ ‎　　‎ 又，只需证 ‎ ‎ 又互不相等，所以不能取等，‎ ‎∴原不等式成立，证毕。‎ ‎【总结升华】利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】为非负数，，，求证：.‎ ‎【答案】∵，由柯西不等式得 ‎　　　‎ ‎　　　即.‎ ‎【变式2】已知正数满足 证明 .‎ ‎【答案】利用柯西不等式： ，‎ 即 ，‎ 因为 ，‎ 所以，. ①‎ 又因为 ，在此不等式两边同乘以2，再加上，得：‎ ‎，‎ 即 ， ②‎ 由①②得，.‎ 例3（2015 福建高考）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．‎ ‎（1）求a+b+c的值；‎ ‎（2）求a2+b2+c2的最小值．‎ ‎【思路点拨】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；‎ ‎（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．‎ ‎【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，‎ 当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，‎ 又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，‎ 所以f（x）的最小值为a+b+c，‎ 所以a+b+c=4；‎ ‎（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，‎ ‎（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，‎ 即a2+b2+c2≥‎ 当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．‎ 所以a2+b2+c2的最小值为．‎ ‎【总结升华】运用柯西不等式，主要是要观察式子的结构特征.‎ ‎　‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2015秋 凤凰县校级月考）已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）求函数f（x）=a+b的最大值．‎ ‎【解析】（1）不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，‎ 所以﹣1，5是方程x2﹣ax﹣b=0的两根，所以，解得a=4，b=5．‎ ‎（2）函数f（x）=a+b的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：‎ ‎[f（x）]2=（4+5）2≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．‎ 又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5=4时等号成立，‎ 即x=时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．‎ ‎【变式2】之三边长为4，5，6，为三角形内部一点，到三边的距离分別为，求的最小值。‎ ‎【答案】‎ ‎　，‎ ‎　 ‎ ‎　　‎ 类型二：排序不等式的简单应用 例4. 对，比较与的大小。‎ ‎【思路点拨】题目中没有给出三个数的大小顺序，且在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明．‎ ‎【解析】‎ 那么这两个不等式组的顺序和为：；乱序和为：，‎ 由排序不等式可得：.‎ ‎【总结升华】应用排序不等式，必须取两组数目相同便于大小排序的数，此时有两种情形：一是知道各数的大 小顺序；二是不知道各数的大小顺序，但不等式是对称不等式，可以在不失一般性的情况下，假定各数的大小顺序 举一反三：‎ ‎【变式1】比较1010×1111×1212×1313 与1013×1112×1211×1310的大小。‎ ‎【答案】‎ 因10 ≤ 11 ≤ 12 ≤ 13及 lg10 ≤ lg11 ≤ lg12 ≤ lg13， 　　由排序不等式得： 　　10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 ≥ 13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13 　　lg(1010×1111×1212×1313) ≥ lg(1013×1112×1211×1310) 　　即1010×1111×1212×1313 ≥ 1013×1112×1211×1310。‎ ‎【变式2】已知，求证：. ‎ ‎【答案】‎ 由对称性，不妨设，于是，，‎ 由排序不等式可得：‎ ‎  又因为，，‎ 由排序不等式，乱序和≥逆序和，可得：‎ 由①②得．‎ ‎【变式3】设,求证：.‎ ‎【答案】‎ 类型三：贝努力不等式的简单应用 例5. 已知.证明：‎ ‎【思路点拨】要证，即证，也就是证，该式可用贝努利不等式证明.‎ ‎【解析】； ‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【总结升华】贝努里不等式是分析不等式中最常见的一种不等式，具有简单的结构，深刻的内涵，因此应用非常广泛.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】对于。已知，求证：‎ ‎【答案】当，时；由（1）知 于是 ‎【变式2】设函数，是否存在使得 ‎【答案】‎ ‎，‎ 由贝努利不等式，‎ ‎，‎ 类型三：数学归纳法的简单应用 例6. 用数学归纳法证明：‎ ‎【总结升华】本题主要考查用数学归纳法证明等式的步骤，注意当n＝k＋1时，两边加上的项和结论各是什么．‎ ‎【证明】‎ ‎【总结升华】数学归纳法证题的两个步骤缺一不可．证n＝k＋1成立时，必须用n＝k成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】用数学归纳法证明： ‎ ‎【答案】①当n=1时，左边=1，右边=2．‎ 左边<右边，不等式成立．‎ ‎②假设n=k时，不等式成立，即．‎ 那么当n=k+1时，‎ 这就是说，当n=k+1时，不等式成立．‎ 由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．‎ 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：．‎