【数学】2019届高考一轮复习北师大版理13-1坐标系学案 12页

知识点 考纲下载 坐标系 ‎ 理解坐标系的作用．‎ ‎ 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎ 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．‎ ‎ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．‎ 参数方程 ‎ 了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎ 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．‎ ‎ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.‎ 第1讲　坐标系 ‎1．坐标系 ‎(1)伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．‎ ‎(2)极坐标系 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．‎ ‎2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎3．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos__θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin__θ＝b．‎ ‎4．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acos__θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin__θ.‎ ‎ 求圆ρ＝cos θ－ sin θ的圆心极坐标．‎ 解：ρ＝cos θ－sin θ＝2cos，‎ 令ρ′＝ρ，θ′＝θ＋，　①‎ 则有ρ′＝2cos θ′，‎ 所以圆心的极坐标为ρ′＝1，θ′＝0，代入①，得极坐标为.‎ ‎ 圆心C的极坐标为，且圆C经过极点．求圆C的极坐标方程．‎ 解：圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝r2，‎ 依题意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，‎ 故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)＝0，‎ 即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．‎ ‎ 确定极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1表示的曲线．‎ 解：由方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1，得 ρ2(cos2θ－sin2θ)－2ρcos θ＝1.‎ 由互化公式 得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.‎ 故此方程表示以(1，0)为中心，F1(－1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线．‎ 极坐标与直角坐标的互化 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ ‎(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．‎ ‎【解】　(1)由2ρsin＝，得2ρ＝，所以y－x＝1.‎ 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，‎ 所以d＝＝.‎ 即点A到直线l的距离为.‎ ‎(2)将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，‎ 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．　 ‎ ‎ 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，‎ 所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos ＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ 求曲线的极坐标方程 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的极坐标方程．‎ ‎【解】　设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．　 ‎ ‎ 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos ＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρcos＝1得 ρ＝1.‎ 从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y－2＝0.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为.‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 曲线极坐标方程的应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2018·太原市模拟试题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．‎ ‎【解】　(1)因为(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.‎ 因为x2＋y2－2y＝0，‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，‎ 所以|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，‎ 因为0<α<，所以1<1＋sin2α<2，‎ 所以6<＋4(1＋sin2α)<9，‎ 所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．‎ 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．　 ‎ ‎ (2018·福建省普通高中质量检查)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：θ＝(ρ>0)，A(2，0)．‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．‎ 解：(1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 即x2＋y2－4x＝0，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，‎ 即ρ＝4cos θ.‎ ‎(2)法一：依题意，设点P，Q的极坐标分别，.‎ 将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，‎ 将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，‎ 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2－1，‎ 依题意，点A(2，0)到曲线θ＝(ρ>0)的距离 d＝|OA|sin ＝1.‎ 所以S△APQ＝|PQ|·d＝×(2－1)×1＝－.‎ 法二：依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.‎ 将θ＝代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝2，‎ 即|OP|＝2，‎ 将θ＝代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，即|OQ|＝1，‎ 因为A(2，0)，所以∠POA＝，‎ 所以S△APQ＝S△OPA－S△OQA ‎＝|OA||OP|sin －|OA||OQ|sin ‎＝×2×2×－×2×1× ‎＝－.‎ ‎ 曲线的极坐标方程化成直角坐标方程 对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．‎ ‎ 直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤 ‎(1)运用ρ＝，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎(2)在[0，2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．‎ ‎ 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点 ‎(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．‎ 解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，‎ 则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.‎ 所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，‎ 其焦点坐标为(±，0)．‎ ‎2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，‎ 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由 得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎3．从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．‎ 解：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)则ρ·ρ0＝12.‎ 因为ρ0cos θ＝4，‎ 所以ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程．‎ ‎(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，‎ 得x2＋y2＝3x，‎ 即＋y2＝.‎ 知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．‎ 直线l的直角坐标方程是x＝4.‎ 结合图形易得|RP|的最小值为1.‎ ‎4．(2018·沈阳市教学质量检测(一))在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l与圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．‎ 解：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，‎ 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋3ρ＋4＝0，解得ρ1＝－2，ρ2＝－，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝，‎ 因为圆C的半径为1，所以△CMN的面积为××1×sin ＝.‎ ‎5．(2018·河南洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的普通方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin ＝5，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解：(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数)，所以圆心C的坐标为(0，2)，半径为2，圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.‎ ‎(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4，‎ 得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ 设P(ρ1，θ1)，则由 解得ρ1＝2，θ1＝.‎ 设Q(ρ2，θ2)，则由 解得ρ2＝5，θ2＝.‎ 所以|PQ|＝3.‎ ‎1．(2018·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4acos θ(a＞0)，l：ρcos＝4，C与l有且只有一个公共点．‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ 解：(1)由题意，得曲线C是以(2a，0)为圆心，以2a为半径的圆．‎ l的直角坐标方程为x＋y－8＝0，‎ 由直线l与圆C相切可得＝2a，‎ 解得a＝(舍负)．‎ ‎(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，则 ‎|OA|＋|OB|＝cos θ＋cos ‎＝8cos θ－sin θ ‎＝cos，‎ 所以当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值.‎ ‎2．(2018·成都市第二次诊断性检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈(，π)．‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．‎ 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.‎ 由ρ＝2，得sin θ＝，‎ 因为θ∈(，π)，所以θ＝.‎ ‎(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，所以直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.‎ 又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，‎ 联立，得，解得ρ＝4.‎ 所以点B的极坐标为，‎ 所以|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.‎ ‎3．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4.曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1、C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A、B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解：(1)因为C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4，‎ 所以ρ2(cos2θ＋4sin2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x2＋4y2＝4，所以该曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos θ(a为半径)，将D代入，得2＝2a×，所以a＝2，‎ 所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ 所以ρ＝，‎ ρ＝＝.‎ 所以＋＝＋＝.‎