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- 2021-07-01 发布
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第六节 双 曲 线
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
双曲线的定义式
(1)M
为平面内的动点
,F
1
,F
2
为平面内的定点
,
满足下列两个条件的点
M
的轨迹为椭
圆
:
①________________;②_________.
(2)
当
2a
与
|F
1
F
2
|
的大小关系发生变化时
,
轨迹为
:
①2a=|F
1
F
2
|
时
,
轨迹为
_________;
②2a>|F
1
F
2
|
时
,
轨迹
_______.
||MF
1
|-|MF
2
||=2a
2a<|F
1
F
2
|
两条射线
不存在
2.
双曲线中三个参数之间的关系
:c
2
=a
2
+b
2
.
3.
双曲线标准方程的形式
:
(1)
焦点在
x
轴
:
__________________
;
(2)
焦点在
y
轴
:
__________________
.
4.
双曲线的渐近线方程
:
(1)
焦点在
x
轴
:y=± x;
(2)
焦点在
y
轴
:y=± x.
5.
等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
,
其渐近线方程为
______,
离心率
e=
___.
y=±x
【
知识点辨析
】
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
平面内到点
F
1
(0,4),F
2
(0,-4)
距离之差的绝对值等于
8
的点的轨迹是双曲线
.
(
)
(2)
双曲线
=λ(m>0,n>0,λ≠0)
的渐近线方程是
=0,
即
=0. (
)
(3)
与双曲线
=1(mn>0)
共渐近线的双曲线方程可设为
=λ(λ≠0).
(
)
(4)
等轴双曲线的离心率等于
,
且渐近线互相垂直
. (
)
(5)
若双曲线
=1(a>0,b>0)
与
=1(a>0,b>0)
的离心率分别是
e
1
,e
2
,
则
=1(
此结论中的两条双曲线称为共轭双曲线
). (
)
提示
:
(1)×.
由双曲线的定义知
,
当该常数小于
|F
1
F
2
|
时
,
其轨迹才是双曲线
,
而本
题中
|F
1
F
2
|=8,
故本题中点的轨迹为两条射线
.
(2)√.
渐近线方程的求法即为令等式右边常数等于
0,
然后开方即得
.
(3)√.
易知双曲线
=1
与
=λ(λ≠0)
渐近线相同
,
且
=λ(λ≠0)
可表示渐近线为
y=± x
的任意双曲线
.
(4)√.
因为是等轴双曲线
,
所以
a=b,c= a,
离心率等于
,
渐近线方程为
y=±x,
互相垂直
.
(5)√.
由已知
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
不能熟练应用平面几何知识进行条件转化
考点一、
T1
2
条件考虑不全
,
不能正确求解范围
(
例如本题容易漏掉
Δ>0
对
k
的限定
)
考点二、
T2
3
易出现条件转化不全
考点三、角度
3T1
【
教材
·
基础自测
】
1.(
选修
2-1P42
习题
2.3(1)T3
改编
)
双曲线
=1
上的点
P
到点
(5,0)
的距离
是
6,
则点
P
的坐标是
________.
【
解析
】
设
P(x,y),
由已知得
解得 所以
P(8,± ).
答案
:
(8,± )
2.(
选修
2-1P42
习题
2.3(1)T6
改编
)
以椭圆
=1
的焦点为顶点
,
顶点为焦点
的双曲线方程为
________.
【
解析
】
由已知得
a=3,c=5,
则双曲线方程为
=1.
答案
:
=1
3.(
选修
2-1P42
习题
2.3(1)T2(3)
改编
)
经过点
A(-5,-3),
其对称轴都在坐标轴上
的等轴双曲线方程为
________.
【
解析
】
设双曲线的方程为
x
2
-y
2
=λ,
把点
(-5,-3)
代入
,
得
λ=16,
故所求方程为
=1.
答案
:
=1
4.(
选修
2-1P42
习题
2.3(1)T7
改编
)
已知方程
=1
表示双曲线
,
则
m
的取
值范围是
________.
【
解析
】
因为该方程表示双曲线
,
所以
(m+2)(m+5)>0,
即
m>-2
或
m<-5,
即
m
的取值
范围为
(-∞,-5)∪(-2,+∞).
答案
:
(-∞,-5)∪(-2,+∞)
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