【数学】2019届一轮复习北师大版 三角函数 学案 21页

第四章 三角函数 三角函数的图象与变换、求三角函数的解析式 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．的图像变换后得到的图像，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，一定要注意顺序，平移时两种平移的单位长度不同．‎ ‎2．对于左右平移时，要记住相对轴而言，一定要在的基础上进行加减．‎ ‎3．确定三角函数解析式，主要有如下结论 由特殊点（优先选最值点）确定．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 三角函数的图像变换时常用到逆推的思想，“左正右负”口诀适用对象是函数中的周期的确定较灵活，如相邻最大值点与最小值点之间相差半个周期．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018河北涞水波峰中 高三上 期联考】已知函数的部分图象如图所示，其中，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 例2．【2018河北衡水金卷】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数（，）的部分图象，可得，∴，根据，∴，故，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，故，故选A．‎ ‎【名师点睛】已知函数的图象求解析式的方法 ‎ ‎（1）根据图象可得到A的值及函数的周期，从而得到的值；‎ ‎（2）确定的方法有两个 ‎ ‎①代点法，若图形中有函数图象的最值点，则将最值点的坐标代入解析式，并根据的范围求得它的值（此法中尽量不将零点的坐标代入）．‎ ‎②“五点法”，结合图象确定出“五点”中的“第一点”，然后根据图中给出的点的坐标可求出．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018浙江杭州模拟】已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的一个可能的取值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎2．【2018四川广元高三第一次高考适应性统考】已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】方法一 由图象得，故，所以．‎ 又点在函数的图象上，故，解得，‎ 所以，又，所以．综上选C．‎ 方法二 由题意得，解得．选C．‎ 三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．“五点作图法”揭示了研究三角函数单调性、奇偶性、对称性和周期性等性质的方法．‎ ‎2．求三角函数的单调性时首先要熟练掌握基本三角函数性质，对较复杂的三角函数要会将处理后的整体当做一个角，再利用基本三角函数的单调性 求．‎ ‎3．正余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图像只是中心对称图形，注意数形结合思想的应用．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 整体思想和等价转化是研究三角函数性质必备思想方法．首先将研究的对象化为形如，或或，再将看做一个角，这样就等价转化为基本三角函数，以下套用基本三角函数相关性质即可．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测】已知为函数的零点，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C 例2．【2018江西省重点中 盟校高三第一次联考】设函数 ，若方程恰好有三个根，分别为 ，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意，则，画出函数的大致图象，如图所示，由图可得，当时，方程恰有三个根，由得；由得，由图可知，与点关于直线对称；点和点关于对称，所以，所以，故选D．‎ ‎ ‎ ‎【名师点睛】对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018福建龙岩高三毕业班教 质量检查】函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】整理函数的解析式有 ‎ 结合三角函数的性质可知，函数的单调递增区间满足 ，‎ 求解不等式可得函数的单调递增区间是 ．本题选择B选项．‎ ‎2．【2018吉林长春十一中、东北师范大 附属中 、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】将函数图像上所有点的横坐标缩短到原 的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数的图像的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得到，则函数的对称中心有，，当 =0时，对称中心为．故答案为 B．‎ 三角函数式的化简与求值 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．给角求值的关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．‎ ‎2．给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，代入或变换，从而达到解题目的．‎ ‎3．给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角对应的区间，从而达到解题目的．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 灵活运用“倍角”的相对关系，善于采用切弦互化、升幂降次、常值代换、化异为同等手段进行有效转化．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018海南二模】已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 故答案为 ‎ ‎【名师点睛】利用sin2 ＋cos2 ＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan 可以实现角的弦切互化．‎ 例2．【2018广东华南师范大 附属中 高三综合测试（三）】如图，将绘有函数 部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、之间的空间距离为，则（ ）‎ A．-1 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设并结合图形可知，即，，故选 ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018山西晋城高三上 期第一次模】已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，故．‎ ‎．‎ ‎2．【2018江苏苏州 业质调研】已知，则的值等于__________．‎ ‎【答案】‎ 正弦定理与余弦定理 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．正余弦定理及面积公式 ‎2．正余弦定理的选用，一般为已知两角时，选用正弦定理，已知一角求边时，选用余弦定理 ‎3．判定三角形形状时，有两种途径，一是化边，二是化角．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 一是方程思想的运用，余弦定理中隐含代数关系式 ，这可和数列、基本不等式等综合应用，二是等价转化的意识，三角形中内角和为，且各内角为正角，这一限制条件会影响三角函数值的取法，进而影响三角函数的性质．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018河南平顶山期末调研】已知，，分别为三个内角，，的对边，．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，的面积为，求，．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析 （1）由题设条件及正弦定理可化简得，即求解角；‎ ‎（Ⅱ）由三角形的面积公式，可得，在由余弦定理得，即可求解的值．‎ 试题解析 ‎ ‎（1）由 及正弦定理得，∵，∴，又，故 ．‎ ‎（Ⅱ）∵ 的面积为，∴ ．由余弦定理得，故 ．解得．‎ 例2．【2018山西晋中市高三1月高考适应性调研】如图，在中，角，，的对边分别为，，，． ‎ ‎[ ]‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析 ‎ ‎(1) 在中，由， ‎ ‎，‎ 又 ．‎ 又， ．‎ ‎（2）在中，，由余弦定理可得，又，为等腰直角三角形，‎ ‎，‎ 当时，四边形面积有最大值，最大值为．‎ ‎【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是 ‎ 第一步 定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出 ，然后确定转化的方向．‎ 第二步 定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．‎ 第三步 求结果．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018广东惠州第二次调研考试】（本小题满分12分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）如果，，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析 （Ⅰ）三角形中求角问题，已知是三边的关系，可用余弦定理求解；（Ⅱ）有两角和一角对边，可用正弦定理求得另一角的对边，这时可再结合已知求出第三边，选用公式 得面积．‎ 试题解析 （Ⅰ）∵∴…………3分 ‎∵………4分 ‎∴……5分 ‎（Ⅱ）由正弦定理得 ……6分∴………8分 ‎∵∴………9分解得 ∵‎ ‎∴……10分∴的面积……12分 ‎2．【2018河北冀州中 高三上 期第二次阶段考试】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大 与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大 ．其中，，．‎ ‎（Ⅰ）求大 与站的距离；‎ ‎（Ⅱ）求铁路段的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎（II）∵，且为锐角，∴，在中，由正弦定理得，，‎ 即，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，又，∴，在中，，由正弦定理得，，‎ 即，∴，即铁路段的长为．‎ ‎[ ]‎ （一） 选择题（12 5=60分）‎ ‎1．【2018海南高三阶段性测试（二模）】已知为锐角，，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，可得 ，又，∴，∴的取值范围为，故选C．‎ ‎2．【2018衡水金卷】将函数图像上的所有点向右平移个单位长度后得到函数的图像，若在区间上单调递增，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】右移个单位得到，根据余弦函数的图像可知，，即时递增，故的最大值为．‎ ‎3．【2018福建漳州高三1月调研】函数在[－π，π]上的图象大致为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题易得函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除选项B、C，当 ‎ 时，f(x)>0，排除选项A．故选D．‎ ‎4．【2018浙江宁波模拟】下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎5．【2018广西防城港市高中毕业班1月模拟】若函数是偶函数，则的最小正实数值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由辅助角公式可得 ，函数为偶函数，则当时，，令可得 的最小正实数值是．本题选择B选项．‎ ‎6．【2018广西壮族自治区玉林高中模拟】已知函数的最小正周期为，则函数的图像（ ）‎ A．可由函数的图像向左平移个单位而得 B．可由函数的图像向右平移个单位而得 C．可由函数的图像向左平移个单位而得 D．可由函数的图像向右平移个单位而得 ‎【答案】D ‎【解析】∵函数的最小正周期为，∴，∴，‎ ‎∴，∴函数的图像可由函数的图像向右平移个单位而得．选D．‎ ‎7．【2018湖南株洲高三教 质量统一检测（一）】已知的图像关于点对称，且在区间上单调，则的值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】的图像关于点对称，，解得，令 π≤ωx≤π+ π，解得， ∈ ；∴f（x）在 上是单调减函数，∵f（x）在上单调， 又∵ω＞0，∴ω= ，故选D ‎8．【2018山西孝义市高三下 期名校最新高考模拟卷（一）】已知函数，若，的图象恒在直线的上方，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】的图象恒在直线的上方，即恒成立，‎ ‎ ‎ ‎，当 =0时，的取值范围是．故答案为 C．‎ ‎9．【2018广东深圳高三第一次调研】函数 (，是常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数的图象( )[ , , ]‎ A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎【答案】A ‎【解析】由图象可得，，，则时，时，可得，，将向左平移个单位，可得，所以为得到函数，只需将函数的图象向左平移个长度单位，故选A．‎ ‎10．【2018山西晋城高三上 期一模】已知函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像关于直线对称，若，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，，，故 ，又 ，， ，故选C．‎ ‎11．【2018山西晋城高三上 期一模】已知函数的图像的一个对称中心为，其中为常数，且，若对任意的实数，总有，则的最小值是（ ） ‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎12．【2018河南濮阳高三第一次模拟】已知中，，，成等比数列，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可知，即，，即，，‎ 原式等于，设 ‎ 即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于，所以原式的取值范围是，故选B．‎ ‎【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为，再利用余弦定理求角的取值范围，二是将转化为的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了．‎ （一） 填空题（4 5=20分）‎ ‎13．【2018江苏南京师范大 附属中 、天一、海门、淮阴四校高三联考数 调研测试】已知，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，解得．‎ ‎∴．‎ ‎14．【2018江苏淮安等四市高三上 期第一次模拟】若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是 ‎，，，则实数的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以．‎ ‎15．【2018江苏省苏州市 业质调研】已知为非零实数，，且同时满足 ①，②，则的值等于__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由，可得，‎ ‎ 又，即，所以，‎ ‎ 则，即，解得或，‎ ‎ 又，所以，所以，所以．‎ ‎16．【2018河北衡水中 高三上 期二调考试】已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，设，的外接圆的半径为1，．由正弦定理得，∴，由，得 ‎．‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎∵，∴，∴，∴．‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】本题考查平面向量数量积的运算，解题时先由正弦定理把△ABC的边a，c用含有A的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求出角A的范围，把向量的数量积利用三角变换转化为关于A的三角函数，最后利用三角函数的取值范围求解．‎