【数学】2019届高考一轮复习北师大版理12-5数学归纳法学案 10页

第5讲　数学归纳法 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)‎ ‎(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)‎ ‎(4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎ 用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)‎ A．a1＋(k－1)d　　　　　　 B. C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：选C.假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.‎ ‎ (2018·台州书生中学月考)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1时，等式左边是(　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ 解析：选C.由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当n＝1时，等式的左边应为1＋a＋a2，故选C.‎ ‎ 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________．‎ 解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，‎ 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，‎ 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．‎ 答案：(2k＋2)＋(2k＋3)‎ ‎ 用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是________．‎ 解析：因为n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；‎ n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；‎ n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立．‎ 所以n的第一个取值应是3.‎ 答案：3‎ 用数学归纳法证明等式 ‎ [典例引领]‎ ‎ 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．‎ ‎【证明】　(1)当n＝1时，左边＝＝，‎ 右边＝＝.左边＝右边，所以等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋ ‎＝＋＝ ‎＝＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)、(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．‎ 用数学归纳法证明等式的注意点 ‎(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．‎ ‎(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．‎ ‎(3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．　 ‎ ‎ 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，‎ 右边＝2＝1，‎ 左边＝右边，等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，‎ 即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)‎ ‎＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ‎＝(k＋1)－k ‎＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)‎ ‎＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，‎ 所以当n＝k＋1时结论仍然成立．‎ 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．‎ 用数学归纳法证明不等式 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ ‎【解】　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，‎ 所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，‎ 所以f(2)＜g(2)；‎ 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，‎ 所以f(3)＜g(3)．‎ ‎(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．‎ ‎①当n＝1，2，3时，不等式显然成立，‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－.‎ 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.‎ 因为－ ‎＝－＝＜0，‎ 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．‎ 由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．‎ 用数学归纳法证明不等式的注意点 ‎(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．　 ‎ ‎ 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N*时，an0，‎ 又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，‎ 所以ak＋10，n∈N*.‎ ‎(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明通项公式的正确性．‎ ‎【解】　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，‎ 即a＋2a1－2＝0，‎ 解得a1＝－1(a1>0)．‎ 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0，解得a2＝－(a2>0)．‎ 同理可得a3＝－.‎ 猜想an＝－.‎ ‎(2)证明：①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k>3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝－.‎ 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式，整理得a＋2 ·ak＋1－2＝0，解得ak＋1＝－，‎ 即n＝k＋1时通项公式仍成立．‎ 由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立．‎ ‎“归纳—猜想—证明”的一般步骤 ‎(1)计算(根据条件，计算若干项)．‎ ‎(2)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论)．‎ ‎(3)证明(用数学归纳法证明)．　 ‎ ‎ 已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.‎ ‎(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明所得的结论．‎ 解：(1)将n＝1，2，3分别代入可得a1＝，a2＝，a3＝，猜想an＝2－.‎ ‎(2)证明：①由(1)得n＝1时，结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2－，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，‎ 且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，‎ 所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，‎ 所以2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，‎ 即当n＝k＋1时，命题也成立．‎ 根据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－都成立．‎ ‎ 归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：‎ ‎(1)归纳假设就是已知条件；‎ ‎(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．‎ ‎ 利用归纳假设的技巧 在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上 归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.‎ ‎(2)推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．‎ ‎1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)‎ A．7　　　　　　　　　　 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：选B.1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少应取8.‎ ‎2．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2‎ D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2‎ 解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.‎ ‎3．当n为正奇数时，求证xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1时命题为真，进而需验证n＝______________，命题为真．‎ 解析：当n为正奇数时，求证xn＋yn被x＋y整除，用数学归纳法证明时，第二步假设n＝2k－1时命题为真，进而需要验证n＝2k＋1时命题为真．‎ 答案：2k＋1‎ ‎4．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．‎ 解析：f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋5，‎ 猜想f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＞4)．‎ 答案：5　(n＋1)(n－2)‎ ‎5．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．‎ 证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，‎ 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)‎ ‎＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)‎ ‎＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)‎ ‎＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2‎ ‎＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．‎ 这就是说当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．‎ ‎6．设实数c>0, 整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.‎ 证明：用数学归纳法证明．‎ ‎①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．‎ ‎②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．‎ 则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.‎ 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，‎ 不等式(1＋x)p>1＋px均成立．‎ ‎7．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．‎ ‎(1)求过点P1，P2的直线l的方程；‎ ‎(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．‎ 解：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.‎ 所以b2＝＝，a2＝a1·b2＝.‎ 所以点P2的坐标为.‎ 所以直线l的方程为2x＋y＝1.‎ ‎(2)证明：①当n＝1时，‎ ‎2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，‎ 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1‎ ‎＝(2ak＋1)＝＝＝1，‎ 所以当n＝k＋1时，命题也成立．‎ 由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，‎ 即点Pn都在直线l上．‎ ‎1．已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N*)．‎ ‎(1)用数学归纳法证明：00，即xk＋1>0.‎ 又因为xk＋1－1＝<0，所以00，解得00，则f′(x)＝－＝>0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)>f(0)＝0，‎ 即ln(x＋1)>，‎ 令x＝，代入上式，得