高中数学北师大版新教材必修一同步课件：5-2-2　用函数模型解决实际问题 38页

2.2 　用函数模型解决实际问题 必备知识 · 自主学习 1. 几种常见函数模型 (1) 常见函数模型 ①正比例函数模型 :y=kx(k≠0); ② 反比例函数模型 :y= (k≠0); ③ 一次函数模型 :y=kx+b(k≠0); ④ 二次函数模型 :y=ax 2 +bx+c(a≠0); 导思 1. 如何构建函数模型解决实际问题 ? 2. 各种常见函数模型之间有什么区别 ? ⑤ 指数函数模型 :y=m·a x +b(a>0, 且 a≠1,m≠0); ⑥ 对数函数模型 :y=mlog a x+c(m≠0,a>0, 且 a≠1); ⑦ 幂函数模型 :y=k·x n +b(k≠0). (2) 本质 : 许多实际问题 , 一旦认定是函数关系 , 就可以通过研究函数及其性质 , 使问题得到解决 . (3) 应用 : 用来解决实际生活中常见的函数类型问题 . 【 思考 】 选择函数模型时应注意什么问题 ? 提示 : 选择函数模型时 , 要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合 , 根据散点图选取适当的函数模型、通过待定系数法求解析式 , 再通过数据验证 . 2. 数学建模 (1) 定义 : 用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程 , 叫作数学建模 . (2) 过程 : 如图所示 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”). (1) 函数 y=x 2 比 y=2 x 增长的速度更快些 .( 　　 ) (2) 当 a>1,n>0 时 , 在区间 (0,+∞) 上 , 对任意的 x, 总有 log a x0), 为了保证鱼群的生长空间 , 实际养殖量 x 小于 m, 以便留出适当的空闲量 . 已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率 ( 空闲率是空闲量与最大养殖量的比值 ) 的乘积成正比 , 比例系数为 k(k>0). (1) 写出 y 关于 x 的函数关系式 , 并指出该函数的定义域 ; (2) 求鱼群年增长量的最大值 . 【 解析 】 (1) 根据题意知 , 空闲率是 , 故 y 关于 x 的函数关系式是 y=kx · ,0≤x , 所以 t> . 即 小时也就是 36 分钟后 , 学生才能回到教室 . 【 解题策略 】 1. 在实际问题中 , 常常遇到有关平均增长率的问题 , 如果原来产值的基础数为 N, 平均增长率为 p, 则对于时间 x 的总产值或总产量 y, 可以用下面的公式 y=N(1+p) x 表示 . 解决平均增长率的问题 , 要用到这个函数式 . 2. 对数函数模型可设为 y=klog a x+b. 利用条件确定系数 , 对数函数模型解题的关键是对数运算 . 【 跟踪训练 】 　燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 , 研究燕子的科学家发现 , 燕子的飞行 速度可以表示为函数 v=5log 2 ( 单位 :m/s), 其中 Q 表示燕子的耗氧量 . (1) 求燕子静止时的耗氧量是多少个单位 ; (2) 当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时 , 它的飞行速度是多少 ? 【 解析 】 (1) 由题知 , 当燕子静止时 , 它的速度 v=0, 代入题中给出的函数关系式 , 可得 0=5log 2 , 解得 Q=10. 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位 . (2) 将耗氧量 Q=80 代入题中给出的函数关系式 , 得 v=5log 2 =5log 2 8=15. 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时 , 它的飞行速度为 15 m/s. 课堂检测 · 素养达标 1. 已知变量 y=1+2x, 当 x 减少 1 个单位时 ,y 的变化情况是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y 减少 1 个单位 B.y 增加 1 个单位 C.y 减少 2 个单位 D.y 增加 2 个单位 【 解析 】 选 C. 结合函数 y=1+2x 的变化特征可知 C 正确 . 2. 下列函数中 , 增长速度最快的是 ( 　　 ) A.y=2 021 x B.y=x 2 021 C.y=log 2 021 x D.y=2 021x 【 解析 】 选 A. 指数函数 y=a x , 在 a>1 时呈爆炸式增长 , 并且随 a 值的增大 , 增长速度越快 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品 , 试销中发现 , 这种商品每天的销量 m( 件 ) 与售价 x( 元 / 件 ) 之间的关系满足一次函数 :m= 162-3x. 若要使每天获得最大的销售利润 , 则该商品的售价应定为 ( 　　 ) A.40 元 / 件 B.42 元 / 件 C.54 元 / 件 D.60 元 / 件 【 解析 】 选 B. 设每天获得的销售利润为 y 元 , 则 y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42) 2 + 432(30≤x≤54,x∈N), 所以当 x=42 时 , 获得的销售利润最大 , 故该商品的售价应定为 42 元 / 件 . 4. 如图 , 一动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发 , 沿正方形的边界逆时针运动一周 , 再回到点 A. 若点 P 经过的路程为 x, 点 P 到顶点 A 的距离为 y, 则 y 关于 x 的函数关系式是 　　　　 .  【 解析 】 ① 当 0≤x≤1 时 ,AP=x, 也就是 y=x. ② 当 1