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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版解三角形学案

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第11练 解三角形 ‎[明考情]‎ 解三角形是高考的必考内容,以“一大一小”的格局呈现,“一小”以选择题或填空题形式出现,难度为中档.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.正弦定理、余弦定理.‎ ‎2.求三角形的面积.‎ ‎3.解三角形的综合应用.‎ 考点一 正弦定理、余弦定理 方法技巧 (1)分析已知的边角关系,合理设计边角互化.‎ ‎(2)结合三角函数公式,三角形内角和定理,大边对大角等求出三角形的基本量.‎ ‎1.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C等于(  )‎ A.B.C.D. 答案 B 解析 因为a=2,c=,‎ 所以由正弦定理可知,=,‎ 故sinA=sinC.‎ 又B=π-(A+C),‎ 故sinB+sinA(sinC-cosC)‎ ‎=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC ‎=sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC ‎=(sinA+cosA)sinC=0.‎ 又C为△ABC的内角,‎ 故sinC≠0,‎ 则sinA+cosA=0,即tanA=-1.‎ 又A∈(0,π),所以A=.‎ 从而sinC=sinA=×=.‎ 由A=知,C为锐角,故C=.‎ 故选B.‎ ‎2.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cosC,则c等于(  )‎ A.2B.2C.4D.3 答案 B 解析 因为===1,所以2cosC=1,所以C=.又S△ABC=2,则absinC=2,所以ab=8.因为a+b=6,所以c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=62-3×8=12,所以c=2.‎ ‎3.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b等于(  )‎ A.B.C.2D.3‎ 答案 D 解析 由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×,‎ 解得b=3,故选D.‎ ‎4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.‎ 答案  解析 在△ABC中,由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.‎ ‎5.(2017·安徽淮北二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bcsinA,则C=________.‎ 答案  解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,‎ 所以b2+c2-2bccosA=3b2+3c2-2bcsinA,‎ sinA-cosA=,2sin=≥2,‎ 因此b=c,A-=⇒A=,‎ 所以C==.‎ 考点二 求三角形的面积 要点重组 三角形的面积公式 ‎(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).‎ ‎(2)S=absinC=bcsinA=casinB.‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为三角形ABC内切圆的半径).‎ ‎6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是(  )‎ A.3B.C.D.3 答案 C 解析 由c2=(a-b)2+6,得a2+b2-c2=2ab-6,由余弦定理,得cosC==,因为C=,‎ 所以cosC==,得ab=6,则△ABC的面积S=absinC=.‎ ‎7.在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC的面积的最大值为(  )‎ A.B.C.D.3 答案 B 解析 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,‎ ‎∵·=|-|=3,即bccosA=3,a=3,‎ ‎∴cosA=≥1-=1-,‎ ‎∴cosA≥,∴0<sinA≤,∴0<tanA≤.‎ ‎∴△ABC的面积S=bcsinA=tanA≤×=,‎ 故△ABC面积的最大值为.‎ ‎8.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2bcosA,B=,c=1,则△ABC的面积为______.‎ 答案  解析 ∵a=2bcosA,‎ ‎∴由正弦定理可得sinA=2sinB·cosA.‎ ‎∵B=,∴sinA=cosA,∴tanA=.‎ 又∵A为三角形的内角,∴A=.又B=,‎ ‎∴C=π-A-B=,∴△ABC为等边三角形,‎ ‎∴S△ABC=acsinB=×1×1×=.‎ ‎9.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB,·=2,则△ABC的面积为________.‎ 答案 2 解析 因为bcosC=3acosB-ccosB,‎ 由正弦定理得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,‎ 即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB⇒sin(B+C)=3sinAcosB.‎ 又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,‎ 所以sinA=3sinAcosB⇒cosB=,‎ 所以sinB===.‎ 由·=2⇒cacosB=2⇒ac=6.‎ 所以S△ABC=ac·sinB=·6·=2.‎ ‎10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.‎ 答案 8‎ 解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=,‎ S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24,‎ 又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,∴b2+c2=52.‎ 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,‎ ‎∴a=8.‎ 考点三 解三角形的综合应用 方法技巧 利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换并结合平面几何知识,可以解决三角形形状判断、取值范围及实际应用等问题.‎ ‎11.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于(  )‎ A.B.C.-D.- 答案 C 解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,BD=AD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以cosA=-.‎ ‎12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 答案 C 解析 由已知可得b==2ccosA,‎ ‎∴cos2A=,易知cosA>0,∴cosA=.‎ 又∵0°