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- 2021-07-01 发布
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第11练 解三角形
[明考情]
解三角形是高考的必考内容,以“一大一小”的格局呈现,“一小”以选择题或填空题形式出现,难度为中档.
[知考向]
1.正弦定理、余弦定理.
2.求三角形的面积.
3.解三角形的综合应用.
考点一 正弦定理、余弦定理
方法技巧 (1)分析已知的边角关系,合理设计边角互化.
(2)结合三角函数公式,三角形内角和定理,大边对大角等求出三角形的基本量.
1.(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C等于( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 因为a=2,c=,
所以由正弦定理可知,=,
故sinA=sinC.
又B=π-(A+C),
故sinB+sinA(sinC-cosC)
=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC
=sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC
=(sinA+cosA)sinC=0.
又C为△ABC的内角,
故sinC≠0,
则sinA+cosA=0,即tanA=-1.
又A∈(0,π),所以A=.
从而sinC=sinA=×=.
由A=知,C为锐角,故C=.
故选B.
2.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cosC,则c等于( )
A.2B.2C.4D.3
答案 B
解析 因为===1,所以2cosC=1,所以C=.又S△ABC=2,则absinC=2,所以ab=8.因为a+b=6,所以c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab=62-3×8=12,所以c=2.
3.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b等于( )
A.B.C.2D.3
答案 D
解析 由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×,
解得b=3,故选D.
4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
答案
解析 在△ABC中,由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,由正弦定理得b==.
5.(2017·安徽淮北二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bcsinA,则C=________.
答案
解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,
所以b2+c2-2bccosA=3b2+3c2-2bcsinA,
sinA-cosA=,2sin=≥2,
因此b=c,A-=⇒A=,
所以C==.
考点二 求三角形的面积
要点重组 三角形的面积公式
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).
(2)S=absinC=bcsinA=casinB.
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形ABC内切圆的半径).
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.C.D.3
答案 C
解析 由c2=(a-b)2+6,得a2+b2-c2=2ab-6,由余弦定理,得cosC==,因为C=,
所以cosC==,得ab=6,则△ABC的面积S=absinC=.
7.在△ABC中,·=|-|=3,则△ABC的面积的最大值为( )
A.B.C.D.3
答案 B
解析 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵·=|-|=3,即bccosA=3,a=3,
∴cosA=≥1-=1-,
∴cosA≥,∴0<sinA≤,∴0<tanA≤.
∴△ABC的面积S=bcsinA=tanA≤×=,
故△ABC面积的最大值为.
8.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2bcosA,B=,c=1,则△ABC的面积为______.
答案
解析 ∵a=2bcosA,
∴由正弦定理可得sinA=2sinB·cosA.
∵B=,∴sinA=cosA,∴tanA=.
又∵A为三角形的内角,∴A=.又B=,
∴C=π-A-B=,∴△ABC为等边三角形,
∴S△ABC=acsinB=×1×1×=.
9.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB,·=2,则△ABC的面积为________.
答案 2
解析 因为bcosC=3acosB-ccosB,
由正弦定理得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,
即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB⇒sin(B+C)=3sinAcosB.
又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,
所以sinA=3sinAcosB⇒cosB=,
所以sinB===.
由·=2⇒cacosB=2⇒ac=6.
所以S△ABC=ac·sinB=·6·=2.
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为________.
答案 8
解析 ∵cosA=-,0<A<π,∴sinA=,
S△ABC=bcsinA=bc×=3,∴bc=24,
又b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,∴b2+c2=52.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=52-2×24×=64,
∴a=8.
考点三 解三角形的综合应用
方法技巧 利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换并结合平面几何知识,可以解决三角形形状判断、取值范围及实际应用等问题.
11.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于( )
A.B.C.-D.-
答案 C
解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=,BD=AD=BC,DC=BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tanA==-3,所以cosA=-.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
答案 C
解析 由已知可得b==2ccosA,
∴cos2A=,易知cosA>0,∴cosA=.
又∵0°