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- 2021-07-01 发布
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课 题:平移
教学目的:
1.理解向量平移的几何意义;
2.掌握平移公式,并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
教学重点:平移公式.
教学难点:向量平移几何意义的理解.
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
启发学生根据函数图象的平移来理解图形的平移,引导学生弄清图形在平移前后新旧坐标间的关系,深刻理解一个平移就是一个向量,从而掌握向量平移在简化函数解析式的应用.
教学过程:
一、复习引入:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
C
2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积,记作a×b,即有a×b = |a||b|cosq,
(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0
3.向量的数量积的几何意义:
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积
4.两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量
1°e×a = a×e =|a|cosq;2°a^b Û a×b = 0
3°当a与b同向时,a×b = |a||b|;当a与b反向时,a×b = -|a||b|
特别的a×a = |a|2或
4°cosq = ;5°|a×b| ≤ |a||b|
5. 平面向量数量积的运算律
交换律:a × b = b × a
数乘结合律:(a)×b =(a×b) = a×(b)
分配律:(a + b)×c = a×c + b×c
6.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
,
7.平面内两点间的距离公式
(1)设,则或
(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)
8.向量垂直的判定
设,,则
9.两向量夹角的余弦()
cosq=
二、讲解新课:
1.平移的概念
设F为平面内一个图形,将F上所有的点按照同一方向,移动同样的长度,得到,这个过程叫做图形的平移.
在图形平移过程中,自一点都是按照同一方向移动同样的长度,所以我们有两点思考:
其一,平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征,因此,从向量的角度看,一个平移就是一个向量.
其二,由于图形可以看成点的集合,故认识图形的平移,就其本质来讲,就是要分析图形上点的平移.
2.平移公式
设点P(x,y)按照给定的向量a=(h,k)平移后得到新点,
则
容易看到,公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的,从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标,故公式也可变形为
3.图形的平移公式
给定向量a=(h,k),由旧解析式求新解析式时,把公式,代入旧解析式中整理可得;若由新解析式求旧解析式,则把公式代入到新解析式中整理可得.
应当注意,上述点或图形平移,坐标轴并没有移动,平移前后均在同一坐标系上.
三、讲解范例:
例1 (1)把点A(-2, 1)按a = (3, 2)平移,求对应点A’的坐标
(2)点M(8, -10)按a平移后对应点的坐标为(-7, 4),求a
解:(1)由平移公式: 即对应点A’的坐标为(1, 3)
(2)由平移公式:即a的坐标为(-15, 14)
例2 将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到,求的函数解析式
解:设P(x, y)为l上任一点,它在上的对应点为
由平移公式:
代入y = 2x得:- 3 = 2 即: = 2 + 3
按习惯,将、 写成x、y得的解析式:y = 2x + 3
(实际上是图象向上平移了3个单位)
例3 已知抛物线y = x2 + 4x + 7,(1)求抛物线顶点坐标(2)求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式
解:(1)设抛物线y = x2 + 4x + 7的顶点坐标为(h, k)
则h = -2, k = 3 ∴顶点坐标为(-2, 3)
(2)按题设,这种平移是使点(-2, 3)移到O(0, 0),
设= (m, n) 则
设P(x, y)是抛物线y = x2 + 4x + 7上任一点,对应点
则
代入y = x2 + 4x + 7得 = 即y = x2
四、课堂练习:
1.将点P(7,0)按向量a平移,对应点A′(11,5),则a等于( )
A.(2,5) B.(4,3) C.(4,5) D.(5,4)
2.将函数y=f(x)的图象F按向量a=(-3,2)平移后得y=6sin5x的图象,则f(x)等于( )
A.y=6sin(5x+15)+2 B.y=6sin(5x-15)+2
C.y=6sin(5x+15)-2 D.y=6sin(5x-15)-2
3.将函数y=4-n-(x-m)的图象按向量a平移得到的图象的函数为y=4-x,则a等于( )
A.(m,n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-m,-n)
4.按向量a把点A(1,1)平移后得到A′(3,-4),按此平移法,则点B(-2,-1)应平移到 .
5.将一抛物线F按a=(-1,3)平移后,得到抛物线F′的函数解析式为
y=2(x+1)2+3,则F的解析式为 .
6.若在直线l上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),如果按向量a平移后,A点对应点的坐标为(2x1,2y1),则B点对应点的坐标为 .
7.是否存在一个平移,它把点(0,-1)移至(1,0),且把点(-1,3)移至(0,4).
8.将抛物线y=x2-4x+5按向量a平移,使顶点与原点重合,求向量a的坐标.
9.将一次函数y=mx+n的图象C按向量a=(2,3)平移后,得到的图象仍然为C,试求m的值.
参考答案:1.C 2.D 3.C 4.(0,-6) 5.y=2x2 6.(x1+x2,y1+y2)
7.存在 8.(-2,-1) 9.
五、小结 通过本节学习,要求大家理解平移的意义,深刻认识一个平移就是一个向量,掌握平移公式,并能熟练运用平移公式简化函数解析式.
六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记:
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