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  • 2021-07-01 发布

高中数学必修1教案:第五章(第12课时)平移

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课 题:平移 教学目的:‎ ‎1.理解向量平移的几何意义;‎ ‎2.掌握平移公式,并能熟练运用平移公式简化函数解析式.‎ 教学重点:平移公式.‎ 教学难点:向量平移几何意义的理解.‎ 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:    启发学生根据函数图象的平移来理解图形的平移,引导学生弄清图形在平移前后新旧坐标间的关系,深刻理解一个平移就是一个向量,从而掌握向量平移在简化函数解析式的应用. 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ ‎1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.‎ C ‎2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积,记作a×b,即有a×b = |a||b|cosq,‎ ‎(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0 ‎ ‎3.向量的数量积的几何意义:‎ 数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积 ‎4.两个向量的数量积的性质:‎ 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量 ‎1°e×a = a×e =|a|cosq;2°a^b Û a×b = 0‎ ‎3°当a与b同向时,a×b = |a||b|;当a与b反向时,a×b = -|a||b|‎ ‎ 特别的a×a = |a|2或 ‎4°cosq = ;5°|a×b| ≤ |a||b|‎ ‎5. 平面向量数量积的运算律 交换律:a × b = b × a 数乘结合律:(a)×b =(a×b) = a×(b)‎ 分配律:(a + b)×c = a×c + b×c ‎6.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 ‎,‎ ‎7.平面内两点间的距离公式 ‎(1)设,则或 ‎(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)‎ ‎8.向量垂直的判定 设,,则 ‎ ‎9.两向量夹角的余弦() ‎ cosq=‎ 二、讲解新课:‎ ‎1.平移的概念 设F为平面内一个图形,将F上所有的点按照同一方向,移动同样的长度,得到,这个过程叫做图形的平移.‎ 在图形平移过程中,自一点都是按照同一方向移动同样的长度,所以我们有两点思考:‎ 其一,平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征,因此,从向量的角度看,一个平移就是一个向量.‎ 其二,由于图形可以看成点的集合,故认识图形的平移,就其本质来讲,就是要分析图形上点的平移.‎ ‎2.平移公式 设点P(x,y)按照给定的向量a=(h,k)平移后得到新点,‎ 则 容易看到,公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的,从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标,故公式也可变形为 ‎3.图形的平移公式 给定向量a=(h,k),由旧解析式求新解析式时,把公式,代入旧解析式中整理可得;若由新解析式求旧解析式,则把公式代入到新解析式中整理可得.‎ 应当注意,上述点或图形平移,坐标轴并没有移动,平移前后均在同一坐标系上.‎ 三、讲解范例:‎ 例1 (1)把点A(-2, 1)按a = (3, 2)平移,求对应点A’的坐标 ‎(2)点M(8, -10)按a平移后对应点的坐标为(-7, 4),求a ‎ 解:(1)由平移公式: 即对应点A’的坐标为(1, 3)‎ ‎ (2)由平移公式:即a的坐标为(-15, 14)‎ 例2 将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到,求的函数解析式 解:设P(x, y)为l上任一点,它在上的对应点为 由平移公式:‎ ‎ 代入y = 2x得:- 3 = 2 即: = 2 + 3‎ 按习惯,将、 写成x、y得的解析式:y = 2x + 3‎ ‎(实际上是图象向上平移了3个单位)‎ 例3 已知抛物线y = x2 + 4x + 7,(1)求抛物线顶点坐标(2)求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式 解:(1)设抛物线y = x2 + 4x + 7的顶点坐标为(h, k)‎ ‎ 则h = -2, k = 3 ∴顶点坐标为(-2, 3)‎ ‎(2)按题设,这种平移是使点(-2, 3)移到O(0, 0),‎ 设= (m, n) 则 设P(x, y)是抛物线y = x2 + 4x + 7上任一点,对应点 则 ‎ 代入y = x2 + 4x + 7得 = 即y = x2‎ 四、课堂练习:‎ ‎1.将点P(7,0)按向量a平移,对应点A′(11,5),则a等于( )‎  A.(2,5) B.(4,3) C.(4,5) D.(5,4)‎ ‎2.将函数y=f(x)的图象F按向量a=(-3,2)平移后得y=6sin5x的图象,则f(x)等于( )‎ A.y=6sin(5x+15)+2 B.y=6sin(5x-15)+2 C.y=6sin(5x+15)-2 D.y=6sin(5x-15)-2‎ ‎3.将函数y=4-n-(x-m)的图象按向量a平移得到的图象的函数为y=4-x,则a等于( )‎ A.(m,n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-m,-n)‎ ‎4.按向量a把点A(1,1)平移后得到A′(3,-4),按此平移法,则点B(-2,-1)应平移到 .‎ ‎5.将一抛物线F按a=(-1,3)平移后,得到抛物线F′的函数解析式为 y=2(x+1)2+3,则F的解析式为 .‎ ‎6.若在直线l上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),如果按向量a平移后,A点对应点的坐标为(2x1,2y1),则B点对应点的坐标为 .‎ ‎7.是否存在一个平移,它把点(0,-1)移至(1,0),且把点(-1,3)移至(0,4).‎ ‎8.将抛物线y=x2-4x+5按向量a平移,使顶点与原点重合,求向量a的坐标.‎ ‎9.将一次函数y=mx+n的图象C按向量a=(2,3)平移后,得到的图象仍然为C,试求m的值. 参考答案:1.C 2.D 3.C 4.(0,-6) 5.y=2x2 6.(x1+x2,y1+y2) ‎7.存在 8.(-2,-1) 9. ‎ 五、小结 通过本节学习,要求大家理解平移的意义,深刻认识一个平移就是一个向量,掌握平移公式,并能熟练运用平移公式简化函数解析式.‎ 六、课后作业:‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记: ‎