高中数学必修1教案：第五章（第12课时）平移 4页

课 题：平移 教学目的：‎ ‎1.理解向量平移的几何意义；‎ ‎2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.‎ 教学重点：平移公式.‎ 教学难点：向量平移几何意义的理解.‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：    启发学生根据函数图象的平移来理解图形的平移，引导学生弄清图形在平移前后新旧坐标间的关系，深刻理解一个平移就是一个向量，从而掌握向量平移在简化函数解析式的应用. 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.‎ C ‎2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，‎ ‎（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0 ‎ ‎3．向量的数量积的几何意义：‎ 数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积 ‎4．两个向量的数量积的性质：‎ 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ‎1°e×a = a×e =|a|cosq；2°a^b Û a×b = 0‎ ‎3°当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|‎ ‎ 特别的a×a = |a|2或 ‎4°cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b|‎ ‎5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a × b = b × a 数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)‎ 分配律：(a + b)×c = a×c + b×c ‎6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 ‎，‎ ‎7.平面内两点间的距离公式 ‎（1）设，则或 ‎（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)‎ ‎8.向量垂直的判定 设，，则 ‎ ‎9.两向量夹角的余弦（） ‎ cosq=‎ 二、讲解新课：‎ ‎1.平移的概念 设F为平面内一个图形，将F上所有的点按照同一方向，移动同样的长度，得到，这个过程叫做图形的平移.‎ 在图形平移过程中，自一点都是按照同一方向移动同样的长度，所以我们有两点思考：‎ 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量.‎ 其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.‎ ‎2.平移公式 设点P(x,y)按照给定的向量a＝（h,k）平移后得到新点，‎ 则 容易看到，公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的，从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点(新点)坐标减去起点(旧点)坐标，故公式也可变形为 ‎3．图形的平移公式 给定向量a＝（h,k），由旧解析式求新解析式时，把公式，代入旧解析式中整理可得；若由新解析式求旧解析式，则把公式代入到新解析式中整理可得.‎ 应当注意，上述点或图形平移，坐标轴并没有移动，平移前后均在同一坐标系上.‎ 三、讲解范例：‎ 例1 (1)把点A(-2, 1)按a = (3, 2)平移，求对应点A’的坐标 ‎(2)点M(8, -10)按a平移后对应点的坐标为(-7, 4)，求a ‎ 解：(1)由平移公式： 即对应点A’的坐标为(1, 3)‎ ‎ (2)由平移公式：即a的坐标为(-15, 14)‎ 例2 将函数y = 2x的图象l按a = (0, 3)平移到，求的函数解析式 解：设P(x, y)为l上任一点，它在上的对应点为 由平移公式：‎ ‎ 代入y = 2x得：- 3 = 2 即： = 2 + 3‎ 按习惯，将、 写成x、y得的解析式：y = 2x + 3‎ ‎（实际上是图象向上平移了3个单位）‎ 例3 已知抛物线y = x2 + 4x + 7，(1)求抛物线顶点坐标(2)求将这条抛物线平移到顶点与原点重合时的函数解析式 解：(1)设抛物线y = x2 + 4x + 7的顶点坐标为(h, k)‎ ‎ 则h = -2, k = 3 ∴顶点坐标为(-2, 3)‎ ‎(2)按题设，这种平移是使点(-2, 3)移到O(0, 0)，‎ 设= (m, n) 则 设P(x, y)是抛物线y = x2 + 4x + 7上任一点，对应点 则 ‎ 代入y = x2 + 4x + 7得 = 即y = x2‎ 四、课堂练习：‎ ‎1.将点P(7，0)按向量a平移，对应点A′(11，5)，则a等于（ ）‎  A.(2，5) B.(4，3) C.(4，5) D.(5，4)‎ ‎2.将函数y=f(x)的图象F按向量a=(-3,2)平移后得y=6ｓｉｎ５ｘ的图象，则f(x)等于（ ）‎ A.y=6sin(5x+15)+2 B.y=6sin(5x-15)+2 C.y=6sin(5x+15)-2 D.y=6sin(5x-15)-2‎ ‎3.将函数y=4-n-(x-m)的图象按向量a平移得到的图象的函数为y=4-x，则a等于（ ）‎ A.(m,n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-m,-n)‎ ‎4.按向量a把点A(1，1)平移后得到A′(3,-4)，按此平移法，则点B(-2，-1)应平移到 .‎ ‎5.将一抛物线F按a=(-1,3)平移后，得到抛物线F′的函数解析式为 y=2(x+1)２＋３，则F的解析式为 .‎ ‎6.若在直线l上有两点A(x１，y１)和B(x２，y２)，如果按向量a平移后，A点对应点的坐标为(2x１，２y１)，则B点对应点的坐标为 .‎ ‎7．是否存在一个平移，它把点(0，-1)移至(1，0)，且把点(-1，3)移至(0，4).‎ ‎8.将抛物线y=x２－4x＋5按向量a平移，使顶点与原点重合，求向量a的坐标.‎ ‎9.将一次函数y=mx+n的图象C按向量a=(2,3)平移后，得到的图象仍然为C，试求m的值. 参考答案：1.C 2.D 3.C 4.(0,-6) 5.y=2x2 6.(x1+x2,y1+y2) ‎7.存在 8.(-2,-1) 9. ‎ 五、小结 通过本节学习，要求大家理解平移的意义，深刻认识一个平移就是一个向量，掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数解析式.‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记： ‎