高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第4课)空间的平行直线与异面直线(1) 7页

课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(一) ‎ 教学目的：‎ ‎1.会判断两条直线的位置关系.‎ ‎2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.‎ ‎3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题. ‎ ‎4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立 ‎ ‎5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；‎ ‎6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角 教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.‎ 教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 内容分析：‎ 本节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念 ‎ 要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？‎ ‎（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）‎ 你还能举出生活中的相关应用的例子吗？‎ 二、讲解新课：‎ ‎1 空间两直线的位置关系 ‎（1）相交——有且只有一个公共点；‎ ‎（2）平行——在同一平面内，没有公共点；‎ ‎（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；‎ ‎2 平行直线 ‎（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：．‎ 说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；‎ ‎（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；‎ ‎（3）如果空间图形的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到的位置，则就说图形 作了一次平移 ‎（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD叫空间四边形的对角线 ‎（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．‎ 已知：和的边，并且方向相同，‎ 求证：．‎ 证明：在和的两边分别截取，‎ ‎∵，‎ ‎∴是平行四边形，‎ ‎∴，同理，‎ ‎∴，即是平行四边形，‎ ‎∴，∴，‎ 所以，．‎ ‎(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.‎ ‎ 指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.‎ ‎3.空间两条异面直线的画法 ‎4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与是异面直线 证明 ：（反证法）假设 直线与共面，‎ ‎∵，∴点和确定的平面为，‎ ‎∴直线与共面于，∴，与矛盾，‎ 所以，与是异面直线．‎ ‎5．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围：‎ ‎6．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作．‎ ‎7．求异面直线所成的角的方法：‎ ‎（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；‎ ‎（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 三、讲解范例：‎ 例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形 分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例 证明：如图，连接BD ‎∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,EH=BD.‎ 又在△BCD中，，∴FG//BD,FG=BD.‎ 根据公理4，EH//FG 又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等 例2 如图，是平面外的一点分别是的重心，‎ 求证：．‎ 证明：连结分别交于，连结，‎ ‎∵分别是的重心，‎ ‎∴分别是的中点，‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴，由公理4知．‎ 例3 如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点 求证：和是异面直线 证（法一）：假设和不是异面直线，‎ 则与在同一平面内，设为，‎ ‎∵，∴，又，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 同理，∴共面于，与已知不共面相矛盾，‎ 所以，和是异面直线 ‎（法二）：∵，∴直线确定一平面设为，‎ ‎∵，∴，∴且，‎ 又不共面，，∴，所以，与为异面直线 例4 正方体中．那些棱所在的直线与直线是异面直线？求与夹角的度数．那些棱所在的直线与直线垂直？‎ 解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，‎ ‎（2）由，可知等于异面直线与的夹角，所以异面直线与的夹角为．‎ ‎（3）直线与直线都垂直 例5 两条异面直线 的公垂线指的是 ( )‎ ‎(A)和两条异面直线都垂直的直线 ‎(B)和两条异面直线都垂直相交的直线 ‎(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段 ‎(D)和两条异面直线都垂直的所有直线翰林汇 答案：B 例6 在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有 ( )‎ ‎ (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条 答案：BB1, CC1, A1B1, C1D1共四条故选C.‎ 例7若a、b是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( )‎ ‎ (A)与a、b都垂直的直线只有一条 ‎ (B)a与b的公垂线只有一条 ‎ (C)a与b的公垂线有无数条 ‎ (D)a与b的公垂线的长就是a、b两异面直线的距离翰林汇 答案：B 例8已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是 ( ) ‎ ‎（A） （B）a （C） （D）翰林汇 答案：A 四、课堂练习：〖课堂小练习〗‎ ‎1 判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”‎ ‎ （1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）‎ ‎ （2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）‎ ‎ （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）‎ ‎ （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）‎ ‎ （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）‎ ‎ （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）‎ ‎（7）向量与，与是两组方向相同的共线向量，那么． （ ）‎ 答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√‎ ‎2．选择题 ‎ （1）“a，b是异面直线”是指 ‎ ‎ ① a∩b=Φ且a不平行于b；② a Ì 平面a，b Ì 平面b且a∩b=Φ ‎③ a Ì 平面a，b Ë 平面a ④ 不存在平面a，能使a Ì a且b Ì a成立 上述结论中，正确的是 （ ）‎ ‎ （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④‎ ‎（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）‎ ‎ （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对 ‎（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）‎ ‎ （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线 ‎ （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 ‎ ‎（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )‎ ‎ （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面 答案：（1）C（2）C（3）A（4）D ‎3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ ‎ 答：不一定，还可能异面．‎ ‎4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？‎ 答：三种：相交，平行，异面．‎ ‎5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．‎ 解：‎ ‎6．选择题 ‎ （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ）‎ ‎ （A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能 ‎ ‎（2）异面直线a,b满足aÌa,bÌb,a∩b=，则与a,b的位置关系一定是（ ）‎ ‎ （A）至多与a，b中的一条相交（B）至少与a，b中的一条相交 ‎ （C）与a，b都相交 （D）至少与a，b中的一条平行 ‎（3）两异面直线所成的角的范围是 （）‎ ‎ （A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°]‎ 答案（1）D（2）B（3）：C ‎7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”‎ ‎ （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）‎ ‎ （2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ）‎ ‎ （3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）‎ ‎ （4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）‎ 答案：×，×，√，×‎ 五、小结 ：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；‎ 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答” ‎ 六、课后作业：‎ ‎1．如图，有哪些直线和直线D‎1C是异面直线，它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小 ‎2．如图正方体中，E、F分别为D‎1C1和B‎1C1的中点，P、Q分别为A‎1C1与EF、AC与BD的交点，‎ ‎（1）求证：D、B、F、E四点共面；‎ ‎（2）若A‎1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线 提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？‎ ‎（2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？‎ 关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感 ‎3．如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，G、H分别为AB、AD上的点，且AG：GB≠AH：HD 证明：GH与EF为异面直线 提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？‎ 考虑：（1）如果直接证明，就必须证明GH和EF不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？‎ ‎（2）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑——平行或相交 ‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎